聚焦结构化教学，建构算理“学路”——以“三位数乘两位数”为例

文| 孙 华

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确指出，要对课程结构进行优化。就理论意义来看，即教师加强年段同类型知识之间的联系，加强数学学科知识与其他学科知识之间的联系，使所学知识具有完整性和一致性；就实践意义来看，教师通过深度研读教材，了解教学知识编排的理由，适度调整教学节奏，选择最适合的教学方式，达到传道、授业、解惑的目的。这不仅强化了教师对知识本质的感悟，也提升了教师的教学能力。学生是结构化教学的最终受益者，其通过观察、探究、总结，将零碎的知识关联起来，形成结构化脉络，达到学习迁移的目标，使学习更加得心应手，所学知识结构化，学习方法结构化，学习经验结构化，将知识越学越薄，从而变被动学习为主动探究，促进数学核心素养的生成。这是教师不断更新教学理念的动力，也是教师现阶段探究的重要问题。

教师聚焦结构化教学，建构算理“学路”成为现代教育重要的实践方向。教师结合教学过程中的亲身经验及他人示范课中的感悟，通过深研新版课标、教材、学生后，对苏教版四年级“数与运算”板块的“三位数乘两位数”的结构化教学有了更深刻的认知。教师的“收、放”适度，让学生的数学观察能力、思维能力、归纳能力、知识建构等能力得到提升，新的学习思路得以形成。

一、教学过程

片段一：知识唤醒，重敲算法

师：请你计算黑板上的题目：45×12。（学生自主计算）完成后与同桌交流你是怎么算的。

生1：（板书）把12 拆成10 和2，先算2×45 等于多少，再算10×45 等于多少，把两个结果加起来，就是45×12 的得数。

师总结，并引导别的学生讲述。

生2：先算出2×45＝90，写下来，再用十位上的1×45＝45，写在下面，因为是用十位上的1 乘的，所以只写“45”，“45”的末位要写在90 的十位下面，再把它们加起来，得出540。

师（追问）：为什么乘10 的时候，末位的5 要写在十位上？

生2：因为在十位上，表示45 个10，所以要写在十位上。

师：这是我们学过的内容，今天我们要学习的是“三位数乘两位数”。

（设计意图：教师用已学过的两位数乘两位数的计算进行知识唤醒，算法呼之欲出，绝大部分学生瞬间运用在新的内容上，但是对算理的表述可能会有不清晰之处。教师用鼓励性的语言激发学生表达的欲望，在多名学生阐述完以后，学生都能清晰地知道两位数乘两位数的算法。这样的知识唤醒夯实了计算的算理，强调了注意事项，为后续建构知识之间的联系做了铺垫，摸索知识本质，初探算理“学路”。）

片段二：算法精用，构建体系

师板书（145×12）后请学生自主完成并汇报。

生：把12 分成10 和2，先用2×145＝290，再用十位上的1，也就是1 个10 乘145，算出145 个10，145 的5 要写在十位上，最后290＋1450＝1740，所以145×12＝1740。

师核对答案后询问算法。

生1：我觉得它俩方法一样，都是把两位数拆成两个数，第一个数和第二个数分别和145 相乘。

生2：45×12 和145×12 相比，只是在百位上多了一个“1”，它们的计算方法是一样的。

师：就是多了一个数位，多了一个“1”，这两个算式比较起来，你们的第一步都是怎么做的？

生齐答：都是拆，把12 拆成10 和2。

师：拆完以后怎么办？

生齐答：对应相乘，最后合起来。

师反问：一拆一算一合，就能算出答案吗？

生：能。

师：现在会算三位数乘两位数了，你们觉得还会学习什么多位数乘法呢？

生1：三位数乘三位数。

生2：四位数乘三位数。

生3：四位数乘四位数。

生4：五位数乘四位数。

师（设置悬念）：像这样可以无穷无尽地学下去，我有一种预感……

（教师的话被学生的举手打断）

生：我觉得它们的算法是一样的。

教师设疑，学生继续解释：把其中一个数拆开，再把它们分别和另一个数相乘（即：计算），最后把得数加起来。

学生用掌声表示同意该生的理解。

师（追问）：不管是几位数乘几位数，它们的方法都是什么样的？

生（齐答）：先拆分，对应计算，再合。

（教师根据学生的回答凝练板书：拆 算 合）

师（任意报出）：378×635，你会怎么算？

生：先把635 拆开，再分别乘378，5×378 得数的末位写在个位上，十位上的3×378 得数的末位写在十位上，百位上的6×378 得数的末位写在百位上，最后合起来。

师升级计算题：7365×6787，学生齐答算理。

师：三年级学习“两位数乘两位数”，四年级学习“三位数乘两位数”，“三位数乘三位数”几年级学？

生（自信地说）：不学了，因为我们已经学会了多位数乘多位数的算法。

师：这些算式的算法都以谁为基础？

生：两位数乘两位的“拆、算、合”。

师：“拆、算、合”为后续学习提供帮助，那前面的知识有没有这样的痕迹呢？

师生共同研究：45×2。生辩论。

生1：不拆，可以直接算。

生2：是将45 拆成40 和5，分别乘2。

生3：不拆，看成2 个45 的和。

师（总结）：都对。这个计算的源头是什么？

生：由乘法口诀衍生出两位数乘一位数，到两位数乘两位数，再到三位数乘两位数等。

师：后续的学习中，哪一个算式最重要？

生：两位数乘两位数最重要，因为它的“拆、算、合”的方法要应用到多位数乘多位数。

（设计意图：学生总结、凝练多位数乘多位数的算法是“拆、算、合”，并通过对比的思辨方式，自主联系学过的乘法知识，发现源头是乘法口诀。两位数乘两位数是乘法学习的转折点，既涉及乘法口诀，也为后续的多位数乘多位数提供了计算方法；三位数乘两位数的计算则是学生要经历的第一重升级，以及要攻克的思维难关。学生会用、精用算法，即构建了整数乘法的知识体系，挖掘知识本质，走稳算理“学路”。）

片段三：学习迁移，结构升华

师：请同学们完成习题“连一连”（见图1）。5 分钟以后汇报交流。

图1

生1：没算完，计算得有些费劲。

生2：除了最后两题，其他题目都能估算。

生3：128×75，看128×5，五八四十，末位是0，所以连9600。

生4：651×498，只有这题是三位数乘三位数，所以得数最大，连324198。以此类推，113×5 是唯一的三位数乘一位数，得数最小，所以连565。

生5：195×19 看成200×20=4000，与4000 最接近的是3705，所以连3705。

生6：199×15 连2985，因为末位相乘，末位是5，只有2985 了，所以连2985。

生7：这里的算式只要计算436×63 和849×32。

师：学完了这些，我们看到了整数乘法的全貌，整数乘法不是都要计算，数学是有规律的、简洁的，我们要学会发现规律，学数学就会越来越简单。

（设计意图：教师精选的练习，包括了三位数乘一位数，三位数乘两位数，三位数乘三位数，集“旧知—新知—未知”于一题，这里不是单纯地考验学生对本节课学习知识的应用能力，还要学会如何“事半功倍”，学生则想出了两个办法：（1）只计算个位，看末位；二是估算，排除。学生多维思考，整合知识，综合运用，把数学越学越简单，不仅增强了学习的自信心，还达到了学习迁移的效果，即学生自主地将已学的知识和未学的知识进行结合，从而将知识的结构化升级，活用数学知识，延伸算理“学路”。）

二、教学反思

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》将数学知识分成了四大板块，并且将板块内的知识分散到不同的学段，有一些知识点甚至只在小学阶段出现，这种看似碎片化的知识其实有着本质上的联系，教师要将这些零散的知识化零为整，这就需要教师助力学生再“跳一跳、够一够”。

（一）视情定框，谋定结构化起点

这里的“情”指的是学生对已学知识的熟练情况与现在的学习力情况。教师在备课时要先备学生，以学生的认知情况为基础，关注学生在学习中真实的起点和要达到的落脚点，再将现阶段的知识与先前所学习的知识之间进行关联，制订结构化的目标，教师要做到心中有数，以学定教。这里需要注意的是，教师在调研学情时的方法要可操作性强，能够真实、有效地反映情况，这样才能够选用最合适的方式进行课堂导入，为后续知识的结构化奠定基础，激发学生产生新的学习思路。如教学“三位数乘两位数”时，教师进行了前测，让学生用尽可能多的方式计算：126×3 和35×17。并对学生的计算情况进行了数据分析，发现三位数乘一位数口算的人多，两位数乘两位数笔算的人多。由此可知，当口算出现困扰的时候，学生便能想到别的解决办法，这两道题学生的正确率很高，传递的信息是学生已经掌握整数的笔算技能，其中两位数乘两位数是学习三位数乘两位数的关键之处。

（二）聚点画面，完善结构化过程

无数个点组成了直线，无数条直线也能构成一个面，散落在不同年段的同板块的知识，就像是点，它们之间的共通之处就是线，通过对比、联系将看似无关联的知识串联成面，构成完整的知识网络。在课堂中，教师要给予学生足够的自主空间，让其主动发现知识间的共同特征，再发现、再完善，形成知识结构，产生新的学习思路，促进学生核心素养的提升。如教师让学生在两位数乘两位数的算法基础上自主总结出三位数乘两位数的计算方法，归纳出多位数乘多位数的算法。虽然本节课的重点之一就是学会算法，但教师用风趣的语言引导学生猜测，以后还会学习几位数乘几位数，在不断的列举中学生发现，其实我们不学也会算。学生就此对整数乘法的知识进行了梳理，发现它们之间的联系不言而喻。教师步步引导，让学生明白了这是小学阶段最后一次学习整数乘法，通过“拆、算、合”的方法可以计算出任意多位数乘多位数，体现了算理和算法的一致性。

（三）活学善用，升华结构化终点

一节课中学习到的技能不是为了解决课堂上的一个问题，而是为了解决一类问题。这要求学生在基础技能上，通过观察、分析、探究，归纳出新的规律，并解决多类型的问题，将思维发散开来，举一反三。如本课的练习设计就涵盖了小学阶段所学习的整数乘法及三位数乘三位数。学生在规定时间内单一地进行笔算没有办法解决所有的题目，教师给了学生一个垫脚石，让他们开始探索，结合之前学习过的估算，估算出得数的大小再排除，观察末位相乘的积，多种方法的结合，大大降低了计算所耗费的时间，迅速完成了所有的题目。学生在无形中将整数乘法与其他知识点结合在了一起，将原本的知识网络搭建得更加密集，学生的综合能力得到了提升，跳出固化的学习方式，形成新的学习思路。

教师应深入思考，合理地运用旧知，引导学生自主地进行学习方法的迁移，并在其运用所学知识解决问题遇到困难时加以优化，将“事倍功半”变成“事半功倍”，将“一学一用”变成“一学多用”，整合零碎的知识，搭建结构化的支架，延展算理“学路”，提升学生的数学核心素养。