挑战、开放与创新：数学创思作业设计策略

张春莉 张艳 王敏庄

北京师范大学教育学部课程与教学研究院院长，教授、博士生导师；中国教育学会小学数学教学专业委员会副秘书长，中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会副理事长，中国少数民族教育学会数学教育专业委员会副理事长；主持的课题有全国教育科学“十一五”规划教育部重点课题“新课程小学数学、语文学科能力评价研究”、全国教育科学“十二五”规划教育部重点课题“读懂中小学生数学学习过程的方法研究”，以及国家自然科学基金面上项目“复杂情境下学生数学创造性思维的认知及脑机制研究”等；著有《小学生数学能力评价研究》《小学数学互动式教学》《学习者视角下的学习历程分析》等专著，发表学术论文100余篇。

张春莉

作业设计是“双减”政策背景下基础教育课程改革研究领域的热点和难点，是全社会共同关注的话题。素养导向下，教师应将作业作为创造性学习活动，重新审视作业的功能与定位，设计能激发学生思考、活跃学生思维的作业，引领学生探索和创造，而非让学生被动地做大量的机械练习。笔者认为，具有知识容量大、无明确或固定答案、能生成问题串等特征的数学“创思作业”能体现作业的挑战性、开放性与创新性，有利于培养学生的创造性思维。本文从挑战、开放与创新三个维度，探讨小学数学“创思作业”的设计与开发策略。

一、以变式问题提高作业的挑战性

数学学习内容应是现实、有意义且富有挑战性的，要有利于学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学活动。小学数学“创思作业”首先要具有挑战性。挑战性问题融汇了数学思想方法和数学知识技能，是驱动学生学习的载体，是课堂教学的线索，更是教学目标落实的着力点。

挑战性作业设计对教师和学生都提出了更高的要求。编制具有挑战性的作业，要求教师不唯书、不唯上，自觉打破常规的作业设计思路，用专业思维综合分析作业设计中存在的只注重增长知识而忽视发展能力、只注重个人成长而忽视团体合作、只关注形式多样而忽视价值内涵的问题，把握知识本质，厘清思维层次。教师设计“创思作业”时，既要保证作业处于合适的难度区间，又要着眼于学生的最近发展区，保证作业有利于培养学生独立解决问题的能力，有利于发展学生的创造性思维。完成挑战性作业要求学生调动脑海中已有的多学科知识和概念，运用内化于心的理论逻辑和知识体系应对新问题。

挑战性问题设计应遵循以下原则：一是基础问题与变式问题相结合，二是直观性与抽象性相结合。教师结合上述原则设计挑战性作业时，可从基础问题出发，通过设置相应的变式问题，提高题目的挑战性，引导学生思考问题的本质，促进学生思维进阶。笔者以下题为例展开分析。

假设有一把两端都被折断了的尺子（图略），尺子剩余部分的刻度起点是3cm，终点是6cm。

问题1：请用这把尺子画出长为2cm的线段，并说一说你是如何画的。

问题2：请用这把尺子画出长为5cm的线段，并说一说你是如何画的。

该问题体现了测量的本质——相同计量单位的累加。用没有零刻度线的断尺分别完成问题1（画出短于断尺的一条线段）和问题2（画出长于断尺的一条线段），有一定的挑战性。在此基础上，教师还可设置探究性问题，如用身体上的“尺子”和身边的物体进行测量，进一步提高问题的挑战性。

波利亚曾比喻，好的题目如同蘑菇一样是成串生长的，在找到一个题目以后，应该四处看看，很可能在很近的地方又找到更好的题目。小学数学“创思作业”的设计也应通过基于母题的一连串变式问题，提高题目的挑战性，激发学生的创造性思维。这要求教师先由基本的测量问题出发，生成层次性强的问题链，促进学生思维进阶；然后，设计变式问题，引导学生在分析、解决变式问题的过程中寻找解决此类问题的基本支架；最后，变换测量工具，让学生感悟无论测量工具如何变化，测量的本质都是相同计量单位的累加。

二、以结构改造增强作业的开放性

按照问题情境的开放程度，数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题。结构良好问题往往是常规问题，相对封闭；结构不良问题属于非常规问题，更加开放。小学数学“创思作业”中的开放题分为“条件不完备问题、解法不唯一问题、结论不确定问题”三类，分别指向条件开放、解题策略开放和结论开放。数学开放题有更加复杂的问题空间和思维内容，常常具有丰富的思维材料、多样的思维方向和解题途径，能驱动学生自主探究、亲身实践、合作交流，让学生感受发现的乐趣，获得丰富的数学学习体验。

开放题和封闭题在数学教学中应并存，而不能相互排斥。设计和开发旨在培养学生创造性思维的数学开放题，应遵循以下原则：一是开放题应具有现实背景，体现灵活性；二是开放题应具有多种水平层次的答案；三是开放题的解答应能推导出一般结论，或启发学生产生新思考，进而生成新问题；四是开放题的解答要体现学生的主体性。

结合上述原则，教师可参考弱因法、隐果法、索因法和建模法，通过改造传统的封闭题来编制开放题，并注意规避题目表述死板、冗杂的命题习惯，力求简洁。具体案例如下。

把一个正方形纸裁成四块面积相等的小正方形。

以上案例是一道封闭题，教师可使用隐果法对此题进行改编。隐果法即把原题的结论隐去，使其结论待定或多样化，以体现解题策略的开放性。如把“四块面积相等的小正方形”改成“四块面积相等的图形”，题目结论就会变得丰富多彩。实际教学中，一名学生这样阐释作答思路：“我先把这个正方形平均分成16个小正方形，以每4个小正方形为1份，就可以形成很多种将正方形面積均分为4份的方法。”受此启发，其他学生进一步思考得出：存在无数种四等分正方形面积的方法；分出的四块面积相等图形的形状可能相同，也可能不同。可见，这样的数学“创思作业”能有效促进学生创造性思维的发展。

三、以真实情境体现作业的创新性

创新性作业是一类学生原创的且能激发创造性思维的题目，也是学生运用已有知识能够解决的具有挑战性的题目。创新性作业适合学有余力的学生作答，甚至需要通过生生、师生进行一段时间的协作交流才能完成，多在研究性学习、项目式学习中出现，可帮助学生学会从数学的角度思考问题、提出问题。教师可通过鼓励学生反思拓展原题、自主创编新题、撰写包含一些小观点的数学报告等，引导学生创造性地生成与解决问题，让学生感受到完成作业即进行了一次创作。

创新性作业的设计应遵循以下原则：一是基于真实情境，贴近学生生活；二是结合学生的实际需求与个性发展需要；三是能激发学生的学习兴趣；四是能培养学生的创造性思维，提高学生的实践能力。教师结合以上原则设计创新作业时，要基于现实问题引发学生的探究欲望，要结合真实情境设置关键问题，引导学生自主分析问题、拓展问题，进而创造性地生成问题、解决问题，并在问题生成与解决的过程中感受知识间的逻辑，进行高层次的思维加工，达到发展创新思维、提升数学核心素养的目标。

创新性作业的具体命题策略如下。首先，以真实情境为依托，将学生引向真实探究。明确作业目标后，教师要先寻找应用目标的真实情境，选择能激发学生兴趣和好奇心、最终带给学生成就感的典型场景，并将学生要解决的问题嵌入情境中。其次，以项目为抓手，聚焦问题提出和问题解决。创新始于问题，从某种程度上讲，提出问题比解决问题更重要，所以，创新性作业设计要重视引导学生提出问题。最后，以核心问题为引领，突出思维的连续和进阶。教师要基于核心问题生成问题串，将问题具体化，引导学生逐步开展问题的探索与解决等学习活动。笔者以如下“一叶知多少？”作业为例做具体阐释。

北京的春天，杨絮满天飞，给人们带来不适和烦恼，引发市民在人民网留言区留言：建议城市园林绿化部门改良树种，逐步取消杨树（砍掉或换掉杨树）。小组讨论，说说你们是否赞同此建议，为什么。

问题1：你们小组同意换掉杨树吗？请在学习单一（略）上打“√”，并说明理由。

问题2：如果你是城市园林绿化部门的工作人员，需要写信回复网友的留言，你要怎样说明杨树在净化空气方面的贡献呢？提出你想要研究的问题。

问题3：如果每平方米杨树叶每天大约吸收100克二氧化碳，释放73克氧气，那么，要解决问题2中你所提出的问题，最关键的问题是什么？

问题4：想一想，做一做。一片杨树叶有多大？把你的思考过程和结果写在學习单二（略）上。（每组有数片大小不同的杨树叶）

对于问题1，经过讨论，教师统计得出大部分学生的观点“保留杨树”，以及学生提到最多的、最重要的理由“杨树吸收二氧化碳并释放氧气，在净化空气方面发挥重要作用”。这与园林绿化部门的考量因素和决定一致。

对于问题2，学生提出，有证据的回复才有说服力，可用杨树在净化空气方面的数据作为回信的依据。学生通过思考，提出了有利于佐证“保留杨树”观点的若干研究问题：一棵杨树一天释放的氧气够一个人呼吸几天？一棵杨树一天能吸收多少克二氧化碳，释放多少克氧气？一棵杨树一年能释放多少克氧气？一片杨树林一年能释放多少克氧气？一棵杨树和一棵银杏树相比，谁一天释放的氧气更多？

对于问题3，学生通过分析上述问题，发现解题的关键是要知道一片杨树叶的大小，由此提出核心问题“一片杨树叶有多大”。

对于问题4，有的小组将树叶按面积大小依次排列，用中间的树叶面积代表“一片杨树叶”的面积；有的小组将得到的最大树叶的面积和最小树叶的面积加起来求平均数，用平均数代表“一片杨树叶”的面积；有的小组将大小不一的多片杨树叶的面积加起来求平均数，用平均数代表“一片杨树叶”的面积；有的小组将更多的杨树叶面积加起来求平均数，认为更多数据的平均数更有代表性；等等。在此基础上，教师引导学生思考一棵杨树、一片杨树林吸收二氧化碳并释放氧气的量等相关问题的解法，最终完成回信。整个学习过程，通过核心问题“一片杨树叶有多大”引导学生思考和解决问题，发展创造性思维。

该作业属于项目式学习中的问题。此类问题往往是开放的，可设计个性化的解决方案。教师要引导学生合作探究，并关注学生合作探究学习的过程，让每名学生都有提出方案和建议的机会，都能获得成功的体验。在小组合作中，学生可通过与同学交流、论证方案，提高语言表达、问题解决、沟通决策等能力，增强学习的获得感和自信心，发展创造性思维。

（张艳系西昌学院彝语言文化学院讲师，王敏庄系北京师范大学教育学部硕士研究生）

责任编辑  刘佳