余弦定理的一种面积证法

高聪云 张勇

［摘  要］ 勾股定理是余弦定理的特例，欧几里得采用“向外作正方形”的方法证明了勾股定理.研究者利用GeoGebra软件进行动态探究，帮助学生加深理解.

［关键词］ 勾股定理；余弦定理；GeoGebra

欧几里得对勾股定理的证明

勾股定理被称为千古第一定理，是培養学生几何推理证明的典型素材［1］. 目前关于它的证明方法大约有四百余种，其中，欧几里得的证明方法是最早的证明方法之一，他的证明思路如下：

用“向外作正方形”的方法证明余弦定理

高中阶段，学生进一步认识到勾股定理是余弦定理的特例. 关于余弦定理，常见的证明方法有作高法、坐标法和向量法. 事实上，作为勾股定理的推广，余弦定理也可以采用“向外作正方形”的方法来证明：

如图2所示，以平行四边形ABCD的四边向外作正方形，设P，Q，R，S为正方形的中心，将其顺次连接，得到四边形PQRS.

（1）确定四边形PQRS的形状.

如图3所示，连接AR，AS，DR，DQ，借助正方形和平行四边形的性质，证明△RAS≌△RDQ（SAS）. 所以，RS=RQ，∠ARS=∠DRQ，∠SRQ=90°，故四边形PQRS是正方形.

（2）代数表示四边形PQRS的面积.

如图4所示，连接BS，BP，CP，CQ，证明△RAS≌△RDQ≌△PCQ≌△PBS.

用GeoGebra软件动态探究四边形PQRS的形状与面积

注意到四边形PQRS的面积与平行四边形的两边长及其夹角有关，借助软件GeoGebra，从动态的角度带领学生继续研究四边形PQRS的形状与面积.

打开GeoGebra，创建滑动条m，n，选定一点A；以A为端点，作定长为m的线段，记线段的另一端点为B；以A为圆心，n为半径作圆，在其上任选一点，记为D；连接AD，AB；分别过点B和点D作线段AD和AB的平行线，其交点记为C；连接CB，CD，得到平行四边形ABCD；之后以各边为边长向外作正方形，连接四个正方形的中心，得到四边形PQRS.？摇

如图5所示，拖动滑动条m，n，改变平行四边形ABCD的边长，或者拖动点D，改变邻边的夹角θ，可以发现无论边长和夹角怎样变化，总是能得到△RAS≌△RDQ. 根据上述证明，可以得出结论：四边形PQRS的形状不随平行四边形ABCD的边长或其夹角的大小而改变，总是正方形.

勾股定理是余弦定理的特例，类比勾股定理的面积证法，发现同样可以通过“向外作正方形”的方法来证明余弦定理，进一步，利用软件GeoGebra进行动态探究，可以从直观上帮助学生加深理解，体会数学知识间的紧密联系.

参考文献：

［1］ 庞月，李春兰. 我国初中几何教科书中勾股定理证明方法编排之变迁（1951—2000）［J］. 数学通报，2018， 57（03）：9-15+61.

［2］ 欧几里得. 欧几里得·几何原本［M］. 兰纪正，朱恩宽，译. 西安：陕西科学技术出版社，2003：41-42.