基于“四基”与“四能”培养的数学教学实践与思考

施佳璐

［摘  要］ 在发展学生数学核心素养的目标基础上，促进“四基”与“四能”的发展是新课标对高中数学教学提出的要求，也是时代赋予教师的责任. 研究者以高三一轮专题“直线与圆”的复习为例，具体从“适度开放，发现问题”“由浅入深，提出问题”“中度开放，分析问题；深入探究，解决问题”“适当拓展，巩固提升”等方面展开教学实践，并提出一些思考.

［关键词］ 四基；四能；直线与圆；复习教学

新课标将发展学生的“四基”与“四能”提到重要位置，“四基”是指基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；“四能”是指从数学的角度发现、提出、分析与解决问题的能力. 如何在数学教学中不偏离、不动摇发展学生的数学素养，培养学生的“四基”与“四能”呢？这是笔者近些年一直在研究的问题之一. 本文以高三一轮专题“直线与圆”的复习为例，具体谈一谈操作方法，并提出一些思考.

基本情况

授课对象：高三学生，学生認知处于中等水平.

教学目标：①要求学生灵活掌握直线与圆位置关系中的一些基础问题；②要求学生掌握直线与圆问题中的定点、定值与范围最值类问题；③夯实学生的“四基”，提升学生的“四能”，促进学生数学素养的形成与发展.

教学重点与难点：灵活掌握直线与圆问题中的“三动三有”问题，通过课堂教学培养学生的“四能”.

教学简录

1. 适度开放，发现问题

课堂导入的成功与失败，对一堂课的教学有直接影响. 本节课为专题复习课，导入充满“数学味”的问题情境直接切入主题.

呈现条件：已知点P（2，1）与圆C：x2+（y－4）2=4.

师：请各小组内部讨论，结合以上两个条件，可以提出一些怎样的问题？

（学生讨论）

第一组呈现出这样的问题：过点P（2，1）的直线与圆C：x2+（y－4）2=4存在哪些位置关系？

师：大家分析一下这个问题，说说你们的看法.

生1：我认为存在相切、相离与相交三种位置关系.

师：这三种位置关系是怎么得来的？

生2：转动过点P（2，1）的直线，就可以得到这三种位置关系.

师：很好，这是根据此问的“形”直接获得了三种位置关系，之前我们学过，还可以通过什么办法来判断一条直线与一个圆的位置关系呢？

生3：一般情况下，通过对d（圆点到直线的距离）与r（圆的半径）的大小比较进行判断，即d=r时，直线与圆为相切的关系；d＞r时，直线与圆为相离的关系；而d＜r时，直线与圆为相交的关系.

师：非常好！这种判断方法最常用，我们称为“几何法”. 除了以上方法外，还有其他方法吗？

生4：还可以把直线的方程代入圆的方程，消除其中一个变量后，得到关于另一个变量的方程，然后利用判别式即可判断两者的位置关系.

师：不错，这种方法就是我们熟悉的“代数法”，该方法的应用体现了一种重要的数学思想——方程思想.

教师板书：判断直线与圆的位置关系有几何法与代数法.

设计意图 课堂伊始，用两个简单的条件吸引学生的眼球，通过适度开放的问题培养学生发现问题并提出问题的能力. 同时，方程思想、数形结合思想等，自然而然地融合到问题的分析过程中，为问题的解决奠定了基础.

2. 由浅入深，提出问题

师：根据初始条件，大家还能提出其他问题吗？

生5：当过点P（2，1）的直线和条件中的圆C的位置呈相交的关系时，可提出求该直线斜率范围的问题；如果相交时的弦长是定值，可提出求直线方程的问题.

生6：当过点P（2，1）的直线和条件中的圆C的位置呈相切的关系时，可提出求直线方程和切线长的问题.

教师板书：“相交”求直线斜率范围和弦长；“相切”求切线长和切线方程.

师：若生5所提问题中的弦长为，则直线方程是什么？此问请女生来完成，男生来完成生6提出的问题.

（学生解题，教师巡视，随机抽取两位学生的解题方法投屏并点评.）

师：通过以上分析，大家觉得解决直线和圆相交或相切的问题时，最关键的条件是什么？

生7：弦心距. 只有知道了弦心距，才能构造出关于斜率的方程.

教师板书：弦心距是解决直线与圆相交或相切问题的关键.

设计意图 通过开放问题的设计，引导学生自主回顾直线与圆位置关系的常见题型，让学生自主提出问题，并经过自主分析获得解决问题的关键量——弦心距. 这种设计，一方面帮助学生把握“四基”，另一方面提升学生的“四能”，为数学建模奠定基础.

3. 中度开放，分析问题

师：若点P是位于直线x－2y=0上的一个动点，由此大家能提出什么问题？

（小组讨论）

生8：若点P是位于直线x－2y=0上的一个动点，连接点P与圆心C，PC的最小值是多少？（点P运动，PC也随之运动.）

生9：如图1所示，若点P是位于直线x－2y=0上的一个动点，过点P作两条直线，与圆C：x2+（y－4）2=4相切于点A，B，则四边形BPAC面积的最小值是多少？

生10：结合以上条件，还可以提出求AB长度范围的问题.

板书：点P移动导致以下量发生变化：①PC的长度；②PA，PB的长度；③四边形BPAC的面积；④AB的长度.

师：当点P移动时，还有什么量会随之发生变化呢？

生11：四边形BPAC的周长、∠ACB的大小.

师：非常好！现在请一组、二组的同学完成生9提出的问题，三组、四组的同学完成生10提出的问题.

（学生解题，教师巡视，投影答案.）

在投影的同时，要求学生对自己的解法进行思考并提出新的问题.

师：从以上投影可以发现面积、角度、长度等都有变化，从本质上来看，是什么引起的？

生12：所有这些变化，都是由点P的运动引起的.

师：确实，点P的运动，引出了很多范围和最值问题，这也是本节课的重点内容“动中有界”.

教师板书：动中有界.

设计意图 在学生对基础知识与基本技能梳理顺畅的基础上，化静为动，提出点P运动会引起哪些量的变化，意在引发学生对长度、角度、周长与面积进行观察与分析，自然而然地牵引出最值和范围问题.

评析 这种开放式的问题导学，不仅成功地帮助学生提取原有认知结构中关于直线与圆关系的动点问题，还有效启发学生思维，让学生通过自主探究，理顺了整个知识脉络，发现此类问题万变不离其宗——动中有界. 由此使学生体验到自主命题与解题带来的快乐，学会自主梳理题型、整理解题方法以及触类旁通的学习能力.

4. 深入探究，解决问题

师：综上发现，点P位置的变化，会引发很多量随之变化. 现在请大家讨论一下，是否有定量不会随着点P位置的变化而变化呢？

（学生激烈讨论，时间稍长.）

生13：经过讨论，我们发现直线AB恒过一个定点. 由于点B，P，A，C共圆，因此线段AB可理解为圆C与该圆的公共弦，两圆的方程相减，即可获得直线AB的方程，确定直线AB恒过一个定点.

师：还发现有其他定量吗？

生14：在点B，P，A，C处于同一个圆的背景下，设点P（2t，t），那么x（x－2t）+（y－4）（y－t）=0为该圆的方程，发现该圆恒过定点.

教师板书：动中有定：①直线AB恒过定点；②四点共圆恒过定点.

師：非常好！现在请一组、三组的同学解决直线AB恒过定点的问题；二组、四组的同学解决四点共圆恒过定点的问题.

（学生解题，教师巡视，投影典型解法，师生点评.）

师：如图3所示，假设点N为AB的中点，当点P运动时，点N会怎样？

师：非常好！由此我们还发现“动中有轨迹”（板书）. 据此，大家还能联想到什么问题？

生16：还可以求PN的最小值.

（学生解题，教师巡视，投影典型解法，师生点评.）

设计意图 引导学生通过自主探究与讨论，获得“动中有定”与“动中有轨迹”的结论，对问题产生更深层次的认识与研究，并再次验证“动中有界”的结论.

评析 课堂教学是动态发展的过程，也是不断生成的过程. 此教学环节，在教师循循善诱的引导下，学生的思维进入了更广阔的空间，通过自由讨论，不仅提出了高质量的问题，还针对这些问题开展了合理的分析与总结，由此充分体现了“以生为本”的教学理念.

课堂在教师的引导下，赋予学生充足的时间与空间进行思考，随着一个个问题的提出、分析与解决，不仅有效地激发了学生的潜能，还让学生获得了更多的成就感，建立了学习信心，为学生“四能”的提升夯实了基础.

5. 适当拓展，巩固提升

问题：在平面直角坐标系xOy中，直线l：ax+by+c=0，点P（-1，0），Q（2，1），已知实数a，b，c为等差数列，如果点P在直线l上的射影是点H，线段HQ的取值范围是什么？

（学生解题、板演，教师点评.）

设计意图 这是本节课的最后一个问题，具有总结、巩固与提升的意图. 直线l的“动”，意在巩固“动中有定”；点H的“动”，意在巩固“动中有轨迹”；求线段QH的取值范围，意在巩固“动中有界”. 此问的设置，主要是为了帮助学生总结、巩固本节课的教学重点与难点“三动三有”，进一步提升学生对此类问题的理解与解决能力.

教学思考

1. 循序渐进，促进思维发展

新课标提出：高中数学课堂教学，需要培养学生对数学学科的兴趣，循序渐进地帮助学生建立学习信心，以不断提高学生的实践能力，形成正向的世界观与数学观.

本节课，每一个问题都具有一定的开放性，学生经历问题“轻度开放—中度开放—深度开放”的过程，通过逐层递进的方式，使学生的思维沿着问题的阶梯拾级而上，逐渐形成良好的学习自信，同时也充分展示学生自主提出、分析、讲解与拓展问题的思维历程，切实达成培养学生“四基”与“四能”的目标.

2. 结合实际，掌握问题的“度”

当然，设置开放问题时要掌握好一个“度”，一定要结合学生的实际认知结构与教学内容提问. 假设本节课不是复习课，而是新课，若采用上述教学方法，不仅会让学生听得云里雾里，课程无法推进，更谈不上培养学生的“四基”与“四能”.

3. 分层教学，促进全面发展

观察学生所提出的每一个问题，都是之前教学中涉及的常规问题，并没有出现太多具有挑战性与创新性的新题型. 由此可见，教师应将培养学生的“四基”与“四能”的理念落实在每一堂课中，只有具备了一定的知识储备与能力基础，才能提出具有创造性的问题. 在复习教学中，教师也可以利用学生的差异性提出不同的问题，生成更多、更好的探究资源，让课堂充满活力与智慧，促进学生全面发展.

总之，在新课标引领下的高中数学课堂教学离不开问题的驱动，而问题的设置值得每一个教师精心预设与思考. 开放性问题能有效激发学生的潜能，让学生提出更多值得探索的新问题，为“四基”与“四能”的发展奠定基础.