立足圆锥曲线定义巧用几何运算解析探索

王秀利

【摘要】本文基于圆锥曲线的定义，通过巧妙的几何运算解析方法，对其进行深入的探索.首先，介绍圆锥曲线的定义和相关性质，然后通过对比分析，阐述解析探索的重要性.接着，运用几何运算，如相似三角形、中位线定理等，对圆锥曲线进行深入的解析.最后，通过具体的实例，展示这种方法的有效性和实用性.立足圆锥曲线定义巧用几何运算解析探索不仅可以深入理解圆锥曲线的性质，而且可以提供有效的解题方法，对解决相关的几何问题具有重要的理论和实践意义.

【关键词】圆锥曲线；几何运算；解题技巧

1  引言

在数学领域，圆锥曲线是二次曲线的一种，具有极高的研究价值.例如，在天文、物理、工程等领域中，可以使用圆锥曲线来描述行星的运动轨迹、机械振动的规律等.此外，圆锥曲线还在密码学、计算机图形学等领域中有所应用.从古至今，众多数学家对圆锥曲线进行了深入的研究和探索.研究圆锥曲线的方法主要包括几何计算、代数、物理实验、数值模拟和计算机代数等方法.其中基于圆锥曲线定义巧用几何计算的解析探究是一个既有理论价值又有实践意义的研究领域.圆锥曲线问题的求解，若能回到几何的本质，不仅能减少计算，也有利于渗透数形结合的思想，给解题带来方便，使问题获得巧解、妙解，通过几何计算，可以精确地确定曲线的形状和性质，从而更好地理解圆锥曲线的定义.

2  例题探究

圆锥曲线的统一定义：圆锥曲线，也称为二次曲线，是指平面上与一个固定点（焦点）的距离与到一条固定直线（准线）的距离之比为常数（小于1）的点的轨迹，如图1.这个常数被称为离心率，而焦点和准线之间的距离被称为焦距.根据离心率和焦距的不同，圆锥曲线可以划分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型.下面我们首先将以椭圆为例来探究如何运用几何运算解析圆锥曲线的定义.

图1

当离心率e小于1时，焦点和准线之间的距离小于焦点到平面上任意一点的距离，此时形成的轨迹为椭圆.通过解析法，我们可以将几何问题转化为代数问题，来探究椭圆的定义.

例1  动点Mx，y到定点F－4，0的距离与M到定直线l：x=－254的距离的比等于45，求动点M的轨迹方程.

解析  根据题意可得x+42+y2x+254=45，

平方化简可得9x2+25y2=25×9，

x225+y29=1.

这道例题中我们将几何问题：平面上与一个固定点（焦点）的距离与到一条固定直线（准线）的距离之比为常数（小于1）的点的轨迹解析成坐标系中的代数问题，利用几何运算两点间距离公式、点到直线的距离公式求解，成功地探讨到除教材定义之外的椭圆的方程.

例2  已知圆M与圆O：x2+y2=1内切，且圆M与直线x=2相切，求圆M的圆心的轨迹方程．

解析  设M（x，y），点M到直线x=2的距离为d，

如图2，点M只能在直线x=2的左侧，则d=2－x.

因为圆O：x2+y2=1的圓心为O0，0，半径为1，

所以依题意可得|MO|+1=d，

图2

即x2+y2=（2－x）－1，

化简可得y2=1－2x，

故圆M的圆心的轨迹方程为y2=1－2x．

本例题将圆和圆相切、圆和直线相切的几何性质，解析为点到点的距离、点到直线的距离公式，将几何问题转化为代数问题，从而更容易地揭示曲线的性质，进而巧妙地利用几何运算求出轨迹方程，帮助我们更好地理解曲线的性质，并为我们提供了丰富的解题工具.

例3  已知P为双曲线x2a2－y2b2=1右支上的一个动点（不经过顶点），F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，△PF1F2的内切圆圆心为I，过F2作F2A⊥PI，垂足为A，下列结论错误的是（  ）

图3

（A）I的横坐标为a.

（B）S△PIF1－S△PIF2S△IF1F2=ac.

（C）OA=a.

（D）S△PF1F2S△IF1F2=a+cc.

解析  设△PF1F2的内切圆在PF1，PF2，F1F2上的切点分别为D，C，B，如图3.

设切点B的坐标Bm，0，

因为|PF1|－|PF2|=|BF1|－|BF2|=2m=2a，

所以m=a，

因为IB⊥F1F2，I的横坐标为a，所以（A）正确；

因为S△PIF1－S△PIF2S△IF1F2=12rPF1－PF212rF1F2=ac，所以（B）正确；

延长F2A交PF1于E点，因为PA为∠F1PF2的角平分线，且PA⊥AF2，故PF2=PE．

所以PF1－PF2=EF1=2OA=2a，

所以OA=a，所以（C）正确．

S△PF1F2S△IF1F2=PF1+PF2+F1F2F1F2

≠a+cc，（D）错．

故选：（D）．

本例题中（A）（C）选项利用双曲线的定义，线线垂直，解析转化为所求的线段长度，坐标值.（B）选项利用三角形内切圆的圆心到各边的距离相等、双曲线的定义巧妙地将三角形的面积之比转化为双曲线的长半轴和焦距的一半的距离之比.（D）选项利用三角形面积的割补法，转化为其他三角形的面积之比，再利用双曲线定义，进而转化为线段长度之比，展示了几何运算在解析探索中的有效性和实用性.

通过这些实例的分析，我们可以清晰地看到几何运算在解决各种问题时的强大能力.这种方法不仅可以帮助我们快速解决问题，提高我们的解题效率和质量，而且还可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识.因此，我们应该充分认识到几何运算的重要性，积极运用它来解决各种问题.

3  结语

本文通过立足圆锥曲线定义巧用几何运算解析探索的方法，深入研究了圆锥曲线的性质和解题方法.通过对比分析，我们阐述了解析探索的重要性，并展示了几何运算在解析探索中的有效性和实用性.这种方法不仅可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的性质，而且可以提供有效的解题方法，对解决相关的几何问题具有重要的理论和实践意义.

参考文献：

［1］汤锐.一道圆锥曲线定点定值问题的探究与拓展［J］.新世纪智能，2023（Z9）：35-37.

［2］林秋林.再谈圆锥曲线焦点弦长的统一公式［J］.中学数学研究，2023（09）：26-29.

［3］吴悦彤.利用同构法探究圆锥曲线双切线问题［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（21）：47-50.