排列、组合在实际问题中的应用探究

韦天君

【摘要】排列、组合问题是中职数学数理统计的重点知识，问题种类多，数量关系复杂，稍不注意就容易出错，因此熟练掌握排列、组合的运用是学好数理统计的基础.本文将排列、组合的知识分而论之，分析核心知识点，归纳解题方法，以期望帮助学生对排列、组合问题有更全面的了解.

【关键词】排列；组合；高中数学；解题技巧

1  排列问题的应用

中职数学的排列问题通常是常见策略针对问题，或者有限制条件的排列问题.常与分类计数原理和分步计数原理综合运用，一般事件对应的方法种数不多，多以选择题或填空题的形式出现，有时也作为求分布列或概率的步骤之一，在解答这类问题的时候注意分类与分步区别，运用正确的策略［1］.

1.1  方法提炼

对于有限制条件的排列问题，解题思路如图1.

图1

1.2  实例讲解

例1  设有6个数字，分别为0，1，2，3，4，5，将其随机组成五位数，要求这个五位数中没有重复的数字，求其组成的数字中大于40000的偶数共有多少个？

分析  特殊情况优先安排，若问题中出现特殊“情况”，比如某些不同元素，或某些不同位置，则优先进行处理，然后排列非特殊的元素或位置.在本题所给的6个数字中，第一个特殊情况是要求比40000大，因此只能以4或5开头；第二个特殊情况是限制条件“偶数”，决定了组成的数字末位只能为0，2，4.以此展开分析，问题便会迎刃而解.

解  数字0，1，2，3，4，5中仅有0，2，4三个偶数，比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.

其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾，有2A34=48个；同理，以5开头的有3A34=72个.

因此共有48+72=120个.

2  组合问题的应用

中职数学的组合问题多以列举生活实例进行考查，多为选择题和填空题，有时作为求分布列、期望、方差的解答题中的步骤之一，要求学生熟练掌握基本概念与运算方法［2］.

2.1  方法提炼

（1）解决组合问题的几种常见方法：正难则反、树形图和分类讨论.

（2）组合问题的限制条件，主要是取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用以下两种方法：

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT直接法：分析清楚组合方式，直接列算式进行计算；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT间接法：从正向进行分析，组合方法多而杂的时候，如“至多”或“至少”类问题，则从问题的逆向进行分析，求出易计算的反面组合方法，用总的方法数减去反面组合方法数，即可得到题目要求的正面组合方法数.

（3）分组问题，有关分组的问题有不平均分组、平均分组两种情况：

①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT非均匀不编号分组：n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为A=Cm1nCm2n－m1Cm3n－m1－m2…Cmmn－m1－m2－…－mm－1（其中m1，m2……mm中任何两个元素都不相等）；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMAT均匀不编号分组：将n个不同元素均匀分成m组，不管是否分尽，其分法种数为AAmm（其中A=Cm1nCm2n-m1Cm3n-m1-m2…Cmmn-m1-m2-…-mm-1）［3］.

2.2  实例讲解

例2  6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有多少种？

解  第一步，安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有C16=6种；

第二步，安排乙场馆的志愿者，则乙场馆的安排方法有C25=10种；

第三步，安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有C33=1种.

所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.

例3  高三（1）班和（2）班分别有2个同学和4个同学获得科技比赛的参赛资格，但是最终只能选3个人参加，且高三（1）班至少有1个同学入选，请问共有多少种不同的选法.

解  从全部6位同学中选3人共有C36=20种选法，而其中选出的3人都是高三（2）班的选法有C34=4种，所以至少有1位高三（1）班同学入选的选法有20－4=16种.

3  排列、组合综合问题

排列、组合的综合问题是中职数理统计的重点，多以选择题、填空题的形式对学生进行考查，难度不大，多为中档题.

3.1  方法提炼

解排列、组合综合问题要从“分析”“分类”“分步”的角度入手，如图2.

图2

3.2  实例讲解

例4  4个大学生想要向公众宣传环保知识，现选定3个居民小区进行宣传，为了提高效率，它们决定分头行动，每个学生挑1个小区进行宣传，每个小区至少要有1个学生去，请问共有多少种不同的安排方法？

解  因为每个小区至少安排1名同学，所以4名同学的分组方案只能为1，1，2.

所以不同的安排方法共有

C14·C13·C22A22·A33=36种.

例5  现有两组数字，分别为“1，3，5，7，9”和“0，2，4，6”，从每组数字中任意取出2个数字组成四位数，要求这个四位数没有重复数字，请问共有多少种组合方法？

解  含有数字0的没有重复数字的四位数共有C25·C13·A13·A33=540个；

不含数字0的没有重复数字的四位数共有C25·C23·A44=720个，

因此一共可以组成540+720=1260个没有重复数字的四位数.

參考文献：

［1］刘世森.高中生排列组合学习障碍的干预研究［D］.济南：山东师范大学，2022.

［2］张若琦.高考中排列组合问题的解法归类研究［J］.数学学习与研究，2021（36）：150-152.

［3］杨卫.高中数学课堂排列组合教学研究［J］.数理天地（高中版），2022（22）：4-5.