试从不同视角理解辅助角公式的由来

强睿琦

【摘要】辅助角公式俗称“二合一”公式，对正弦、余弦两个异名同角三角函数的和进行合二变一起到了重要的作用.然而辅助角公式在实际教学中地位略显尴尬，因此如何建立合适的教学表征，让学生从本质上理解辅助角公式，在实际教学中就显得尤为重要.

【关键词】高中数学；辅助角公式；教学表征

1  引言

辅助角公式是三角函数这一章节中的一个重要公式，它是由李善兰先生提出的一种高等三角函数公式.辅助角公式的具体表达式是asinθ+bcosθ=a2+b2sinθ+φ，其中φ为引入的辅助角，因而得名“辅助角公式”.其中角φ是由cosφ=aa2+b2与sinφ=ba2+b2共同决定的.辅助角公式在对正弦、余弦两个异名同角三角函数的和进行合二变一起到了相当重要的作用，因此也将辅助角公式称为“二合一”公式.利用辅助角公式可以将asinθ+bcosθ的形式化为Asinθ+φ的形式，为后续三角函数式的化简以及研究三角函数图象的周期、单调区间、最值都提供了极大的便利.辅助角公式在历年高考题中都是必考内容之一，由此可见，辅助角公式在高中阶段是一个极其重要的公式.

在实际教学中，多数一线教师会把辅助角公式放在一个重要的位置，因为考试需要这个公式，然而这个公式对学生来说不好记，对教师来说不好教，但对教材编者来说，不能拔得太高，因为这是一个派生公式.因此，教材与考试在这个公式上就有了一定的分歧，所以迫切需要从本质上研究这个公式，使之易于教学.

2  教科书中的辅助角公式

“教材是教与学的基本依据，它为教学活动的开展提供了基本依据，是学生学习的重要资源.”同时，章建跃老师对概念教学提出必须体现概念的形成过程.基于此，首先对2019年人教A版教科书以及沪教版教科书中辅助角公式的呈现方式进行研究，试从教材入手，从本质上理解辅助角公式.

辅助角公式表达式1：

asinθ+bcosθ=a2+b2sinθ+φ.

辅助角公式表达式2：

acosθ－bsinθ=a2+b2cosθ+φ.

辅助角公式对三角函数中的化简、求值、证明、单调性、周期性以及奇偶性等问题的解决都起到了极大的作用，对于辅助角公式的推导，人教A版教材与沪教版教材使用了不同的方法，现将两版教材中辅助角公式的内容呈现如下.

2.1  人教A版教科书

人教A版教科书在推导辅助角公式的过程中使用的是“待定系数法”：

设asinx+bcosx=Asinx+φ，

则asinx+bcosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ，

于是Acosφ=a，Asinφ=b，

于是A2cos2φ+A2sin2φ=a2+b2，

所以A2=a2+b2，

取A=a2+b2，

則cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，

于是有asinx+bcosx=a2+b2sinx+φcosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2.

2.2  沪教版教科书

沪教版教科书在推导辅助角公式的过程中使用的是“三角换元法”：

asinα+bcosα=a2+b2aa2+b2sinα+ba2+b2cosα.

注意到aa2+b2，ba2+b2为单位圆上的一点，由正弦与余弦的定义，存在唯一确定的角α∈0，2π，

使得cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2，于是有

asinα+bcosα=a2+b2sinαcosφ+cosαsinφ

=a2+b2sinα+φ.

两版教材意图是通过适当的变形，通过逆用两角和与差的正弦与余弦公式，将两个不同三角比的和式化为一个三角比.通过有层次的变式，逐步引导学生看到为了逆用两角和与差的正弦与余弦公式，就要从系数入手，生成a2+b2，然而能否生成又如何生成a2+b2是一难点也是一重点.因此，为了让学生明白a2+b2是如何得到的，我们就需要从本源上去认识这个公式，生成最合适的教学表征［1］.

3  辅助角公式中a2+b2的本质

从两版教材对辅助角公式的呈现来看，虽然在教学中做了一定的铺垫，但是学生还是不能从方法水平上理解上述做法，只能当作一种问题解决的技巧来认识，这表明了逻辑方法的局限性.人教A版教材与沪教版教材对于“辅助角公式”的推导过程看似不同，实则本质相同，都是对于两角和与差的正弦与余弦公式的逆用，因此我们不妨抓住本质，追根溯源，从两角和与差的正弦与余弦公式入手，让学生明白a2+b2是如何得到的，探明a2+b2的本质，利用类比思想直接推导出辅助角公式.

3.1  向量a，b的模

在人民教育出版社出版的2017年版《普通高中教科书数学（A版）》必修四的内容中，对于两角和与差的正弦与余弦公式采用向量进行推导.因此我们不妨类比两角和与差的正弦与余弦公式的推导方法，试着推导出辅助角公式.具体推导如下：

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边，先作出角π2－θ，

其终边与单位圆相交于点

P1cosπ2－θ，

sinπ2－θ，

再作出角φ，其终边经过点P2a，b，

则∠P1OP2=π2－θ－φ.

由于余弦函数是周期为2π的偶函数，因此只需讨论0≤π2－θ－φ≤π的情况.

设向量OP1=cosπ2-θ，sinπ2-θ，OP2=a，b，

则OP1·OP2=OP1·OP2cos∠P1OP2=

a2+b2cosπ2－θ－φ=a2+b2sinθ+φ.

另一方面，根据向量数量积的坐标表示，有OP1·OP2=cosπ2－θ，sinπ2－θ·a，b=acosπ2－θ+bsinπ2－θ=asinθ+bcosθ.所以，asinθ+bcosθ=a2+b2sinθ+φ，其中tanφ=ba.

上述推导过程中使用向量的数量积以及向量的坐标表示进行推导，最终得到了辅助角公式.从整个推导过程中不难看出，其中a2+b2的本质是向量a，b的模.

3.2  点到原点之间的距离

同样的，在人民教育出版社出版的2019年版《普通高中教科书数学（A版）》的内容中，对于两角和与差的正弦与余弦公式的推导进行了修订，使用了两点之间的距离公式进行了推导，故而我们同样可以从该角度入手，推导辅助角公式.具体推导如下：

在直角坐标系xOy中，任取一点P，则点P的坐标为a，b.

以点O为圆心，OP为半径作圆，交x轴于点A，不难得到点A的坐标为a2+b2，0.

再作角π2－θ，其终边与圆O交于点

P1a2+b2cosπ2－θ，a2+b2sinπ2－θ.

设∠AOP=－φ，

则∠P1OP=π2－θ－φ=π2－θ+φ.

将直线POP1绕点O旋转φ角后直线与圆相交于点P2，

则∠AOP2=π2－θ+φ，

于是有P2a2+b2cosπ2－θ+φ，

a2+b2sinπ2－θ+φ.

因为弧PP1与弧AP2相等，则PP1=AP2，根据两点之间的距离公式，

得a－a2+b2sinθ2+b－a2+b2cosθ2

=a2+b2－a2+b2sinθ+φ2+

0－cosθ+φ2，

化简得：acosθ+bsinθ=a2+b2sinθ+φ，tanφ=ba.

同样的，上述推导过程中使用了两点之间的距离公式，通过观察不难看出，其中a2+b2的本质是点到原点之间的距离.

3.3  简谐振动“合振动”的振幅

此外，我们可以建立学科之间的联系，将数学与物理相结合进行探究.历史上，物理是产生数学与应用数学最重要的领域.从物理角度看数学，不仅能了解数学知识的直观背景，还能知晓数学知识在物理上的广泛应用.由于三角函数是匀速圆周运动的本质表现，因此我们不妨从数学的角度刻画匀速圆周运动，进而推出辅助角公式.

三角函数是匀速圆周运动的本质表现，因此我们可以利用三角函数从数学的角度刻画匀速圆周运动.

设点A与点B分别在半径为a和b的圆上做匀速圆周运动.点A的初相为a，点A与点B的相位相差π2.

根据简谐振动的定义，我们不难得到y=asina表示质点A以单位速度在半径为a的圆上做匀速圆周运动时，质点在y轴上的投影所做的是简谐振动.同理，y=bcosa表示质点B以单位速度在半径为b的圆上做匀速圆周運动时，质点在y轴上的投影所做的是简谐振动.

将上述两个简谐振动合成后得到的依旧是一个简谐振动.于是有OC= OA+OB，OC的运动表示了振动对应的匀速圆周运动.在矩形AOBC中，OC表示的质点在半径为a2+b2的圆上做匀速圆周运动，质点的相位是∠xOC=∠xOA+∠AOC=a+arctanba，即表示的简谐振动为

y=a2+b2sina+arctanba.

所以asina+bcosa=a2+b2sina+arctanba，

其中a2+b2的本质是简谐振动“合振动”的振幅.

综上可知a2+b2可以表征为三重意义：一是向量的模；二是点到点的距离；三是简谐振动“合振动”的振幅.这样就说清楚了辅助角公式的由来，特别是a2+b2的意义.

4  结语

著名数学家波利亚曾经说过“数学是一门演绎的学问”.因此从多角度探究辅助角公式并非吹毛求疵，而是力求吃透一个知识点，正是因为多角度的探究，才使得我们更加透彻地理解了辅助角公式.

参考文献：

［1］徐章韬.asinθ＋bcosθ=a2＋b2 sinθ＋arctan ba的推导——生成合适的教学表征的一个案例［J］.中学数学教学参考（上半月高中），2009（06）：13-14.