不同类型绝对值不等式问题的解法
2024-04-10郭翠芳
郭翠芳
【摘要】不等式在中职数学中一直是不容忽视的存在,可以结合不同知识点采用不同形式考查,如与导数有关的不等式恒成立问题、与函数有关的不等式求解集问题.其中与绝对值有关的不等式求解集问题属于一类基础性问题,是学生应该学习和掌握的题型.根据绝对值不等式解析式的不同形式,本文主要分为三种不同类型进行分析解答,以此帮助学生了解掌握解答绝对值不等式问题的思路,达到解题效率和准确率的提升.
【关键词】高中数学;绝对值不等式;解题技巧
解绝对值不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号,将绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式.现举例谈谈解绝对值不等式的几种常用方法.
1 fx≤≥a型
形如fx≤≥a的不等式求解集,求解时一般会根据绝对值的性质去掉绝对值符号,得到类似-a≤fx≤a的常规不等式后,运算求解即可得到具体解集.求解这类不等式,具体步骤为:①将不等式绝对值符号去除,得到形如-a≤fx≤a的不等式;②运算求解等价转化的常规不等式,即可求得不等式的解集.
例1 解不等式x-22x-12≤0.1.
剖析 首先将绝对值符号里的不等式化简,其次去掉绝对值符号得到等价转化的常规不等式-110≤-1x≤110,求解该常规不等式得到的具体解集,即对应原不等式的解集.
解 因为
x-22x-12=x-22x-x2x
=-1x,
所以解原式等价于解-1x≤110,
则有-110≤-1x≤110,
解不等式可得x≥10或x≤-10,
故不等式解集为xx≤-10或x≥10.
变式 求不等式3x+2<4的解集.
解 去掉绝对值符号可得-4<3x+2<4,
解不等式得-2<x<23,
所以不等式解集为x-2<x<23.
2 fx≤≥gx型
当不等式形式与fx≤≥gx类似时,可以通过分类讨论来求解相关解集,在不同范围对应的fx的取值不同,可以将其不等式等价转化为fx>gx(fx>0)和fx<-gx(fx<0)两个常规不等式后,进而解答得到具体解集.解该类不等式的一般步骤为:①令绝对值解析式为0,得到变量具体值;②根据绝对值内容大于0或小于0的情况,将不等式看作两个常规不等式并解答;③综合所有解集,得到满足题意的不等式解集即可.
例2 求不等式x-1>2x+3的解集.
剖析 首先对绝对值内解析式进行分析,令x-1=0可知具体分界点,其次将绝对值内x-1分为两种情况得到对应常规不等式,即x-1>2x+3和1-x>2x+3,分别求出对应解集,综合分析即可得到满足题意的不等式解集.
解 令x-1=0可得x=1,
①当x<1时,x-1<0,
则不等式等价于1-x>2x+3,
解得x<-23,
故不等式解集为xx<-23;
②当x>1时,x-1>0,
则不等式等价于x-1>2x+3,
解得x<-4与x>1矛盾,故不等式解集为空集,
综上,不等式解集为xx<-23.
变式 解不等式x2-2x>2x-3.
解 令x2-2x=0,
可得x=0或x=2,
①当x≤0或x>2时,x2-2x>0,
则不等式等价于x2-2x>2x-3,
解得x<1或x>3,
②当0<x<2时,x2-2x<0,
则不等式等价于2x-x2>2x-3,
解得-3<x<3,
综上不等式的解集为:
xx≤0或x>3或0<x<3.
3 fx≤≥gx型
求解形如fx≤(≥)|g(x)|的绝对值不等式问题,一般有两种求解思路:一种是考虑采取不等式两边同时平方,根据平方后得到的不等式运算求得解集,适用于解析式较为简单的不等式;另一种则是根据解析式画出对应图象,结合图象求解符合题意的解集,适用于平方后不等式复杂不能解答的一些绝对值不等式.根据绝对值不等式的具体结构特点,应采用不同思路求解对应解集.
例3 解不等式x-2>2x+1.
剖析 采取不等式两边同时平方思路求其解集,两边平方后可去掉绝对值符号得到不等式x-22>2x+12后,展开化简,求得不等式解集,即对应原绝对值不等式的解集.
解 两边平方可得x-22>2x+12,
化简可得x2+83x-1<0,
配方可得x+432<259,
解得-3<x<13,
故不等式解集为x-3<x<13.
变式 求不等式x+2<x2+4x的解集.
解 分别画出fx=x+2和gx=x2+4x的图象,如图1所示,
令x+2=x2+4x,
解得x=±17-32,
令-x-2=x2+4x,
解得x=±17-52,
结合图象可得gx图象要在fx图象上方,
则有x>17-32,
或x<-17-52,
图1
或-17-32<x<17-52,
故不等式解集为
xx<-17-52或-17-32<x
<17-52或x>17-32.
4 结语
去掉绝对值符号是求解绝对值不等式解集的关键,不同类型的绝对值不等式去除绝对值符号方式不同.熟悉并掌握每一种绝对值不等式类型,有助于学生对绝对值不等式求解集问题的理解,同时能提高解题的效率,应引起学生的关注和重视.
参考文献:
[1]侯有岐.绝对值不等式中求参数范围问题常见题型分类解析[J].高中數理化,2023(5):1-4.