领会基本解法，提高核心素养

谢应梅

【摘要】解一元二次方程是初中数学的重要内容，是方程里最重要的代数运算，也是学好后续内容的必备知识．对于刚接触一元二次方程的学生来说，掌握一元二次方程的四种解法及根与系数的关系是解题的基础，但要提高到“运用”层次并形成解题能力光有这些还远远不够．我们还要精选典型例题，加以分析训练，完成知识到素养的迁移．本文选择若干例题进行分类解析，以培养学生的符号意识、抽象能力、运算能力、数据观念、应用意识等核心素养．

【关键词】初中数学；一元二次方程；解题技巧

1  直接开平方法

将方程转化为x2＝p的形式，当p＞0时，x1＝p，x2＝-p；当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，原方程无实数根.

例1  数学课上马小虎同学解方程（x-4）2＝（5-2x）2时，直接得出x-4= 5-2x，老师指出来，说漏掉了一个方程，这个方程应该是．

解析  开平方，得x-4＝±（5-2x），

所以x-4=5-2x或x-4＝-（5-2x），

所以漏掉的方程为x-4＝-（5-2x）．

点评  本题根据学生平时出现的错误设置问题，重点考查学生的纠错能力．虽然没有直接解一元二次方程，但突出了直接开方法的关键步骤，属创新试题．

2  配方法

用配方法解一元二次方程时，要知道使用配方法的方程的特征：二次项的系数化为1，一次项的系数不变，两边同时加上一次项系数一半的平方．

例2  若A＝x2-x+（3－k2），无论x取何实数，多项式A的值都不是负数，则k的取值范围是．

解析  因为A＝x2-x+（3－k2）

＝x2-x+14－14+（3－k2）

＝（x－12）2－14+（3－k2），

若x取任何实数，A的值都不是负数，

所以－14+（3－k2）≥0，

解得：k≤112．

点评  此题同样考查学生对配方法的灵活运用，涉及配方思想、完全平方式、建立不等式模型并解不等式等众多知识与方法，突出对数学内部知识的综合与联系．

3  公式法

当Δ≤0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根为x＝－b±b2－4ac2a．

例3  已知关于x的一元二次方程（x-3）.（x-2）-p2=0，下列结论：

①方程总有两个不相等的实数根；

②若两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1＞3，x2＜3；

③若两个根为x1，x2，则（x1-2）（x2-2）=（x1-3）（x2-3）；

④若x＝5+p2+12（p为常数），则代数式（x-3）（x-2）的值为一个完全平方数．

其中正确的结论是 ．

解析  由（x-3）（x-2）-p2＝0得x2-5x+6-p2＝0，

①Δ＝25-4×（6-p2）＝1+4p2＞0，

所以（x-3）（x-2）-p2＝0总有两个不相等的实数根，故①正确；

②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x-3）（x-2）＝0，

若两个根为x1，x2，且x1＞x2，

则x1＝3，x2＝2，

这与x1＞3不符合，故②不正确；

③若x2-5x+6-p2＝0的两个根为x1，x2，

则x1+x2＝5，x1·x2＝6-p2，

則（x1-2）（x2-2）＝x1·x2-2（x1+x2）+4＝6-p2-2×5+4＝-p2，

（x1-3）（x2-3）＝x1·x2-3（x1+x2）+9＝6-p2-3×5+9＝-p2，

所以（x1-2）（x2-2）＝（x1-3）（x2-3），

故③正确；

④因为x＝5+p2+12（p为常数），

所以（x-3）（x-2）＝x2-5x+6

＝（x－52）2－14

＝（5+p2+12－52）2－14

＝p24

＝（p2）2，

当p为奇数时，p2不是整数，此时（x-3）（x-2）不是完全平方数，故④不正确．

故答案为：①③．

点评  本例题源于课本，是一道课本改编题，还涉及的知识点较多，如根的判别式、乘法公式、配方法、韦达定理等，涉及举反例、两边推证等解题策略，有较大难度．

4  因式分解法

将方程化成一边为0，另一边为一个多项式的形式，再运用因式分解法对多项式进行因式分解．

例4  我们给“倍根方程”的定义是：若ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则此方程为“倍根方程”．例如，x2－6x+8=0就是倍根方程．

（1）若一元二次方程x2-3 x＋c＝0是“倍根方程”，则c=．

（2）判断方程x2－x－2=0是不是倍根方程？并说明理由．

解析  （1）设方程x2-3 x＋c ＝0的两根为m，

分别代入原方程得：

m2－3m ＋c＝0，4m2－6m ＋c＝0，

两式相减，解得m＝1或0（0舍去），所以c＝2．

（2）因为x2－x－2=0，

因式分解得（x+1）（x－2）=0 ，

解得x1＝－1，x2＝2，

所以x2x1=2－1=－2 ，

所以方程x2－x－2=0不是倍根方程；

点评  本题是典型的新定义问题，读懂新定义，运用新定义，将原问题转换为我们熟悉的问题是解题的根本，要注意分类讨论求代数式的值．

5  结语

解题教学是课堂教学的重要内容，如何发挥题目的作用是课堂成败的关键．因此，精选典型好题，通过“做”题的过程，建立对某一个主题的系统学习，高屋建瓴地为学生建立知识框架，培养学生应用数学、建立数学模型的意识，发展学生的转化思想和模型思想，提高学生的运算能力和推理能力.围绕具有一定批判性的学科主题核心知识，积极参与，完成知识构建，回归学科本质内容，体验成功并获得发展的有意义学习过程，获得适应终身发展和社会发展的必备品格和关键能力.