核心素养下提升中学生数学阅读能力的活动设计

吴从兵 欧阳尚昭

基金项目：北京市教育科学“十三五”规划2020年度一般课题——核心素养下提升中学生数学阅读能力的方法与策略研究（CDDB2020347）.

作者简介：吴从兵（1971— ），男，正高级教师，主要从事数学教育教学研究；

欧阳尚昭（1964— ），男，正高级教师，北京市特级教师，主要从事数学教育教学研究.

摘  要：阅读是学生获得知识与方法的主要途径，数学阅读有不同于一般阅读的特殊性. 教师应该创设不同的阅读情境，提升中学生的数学阅读能力，让学生主动参与数学阅读，亲身经历数学化活动，真正形成数学核心素养.

关键词：核心素养；数学阅读；活动设计

中图分类号：G633.6      文献标识码：A     文章编号：1673-8284（2024）01-0033-06

引用格式：吴从兵，欧阳尚昭. 核心素养下提升中学生数学阅读能力的活动设计［J］. 中国数学教育

（高中版），2024（1）：33-38.

虽然很多学生有较强的语言文字阅读领悟能力，但是在数学阅读理解上却有一定的困难. 其实，数学阅读的过程与其他阅读过程一样，是一个完整的心理活动过程，包含语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的感知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素. 同时，它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程. 同时，由于数学语言具有符号化、逻辑性、严谨性和抽象性等特点，所以数学阅读又有不同于其他阅读的特殊性. 首先，由于数学语言的高度抽象性，数学阅读需要较强的逻辑思维能力；其次，数学阅读要求精确、细致，要求阅读者对每个句子、名词术语、图表等都细致地阅读分析，领会其内容和含义；再次，数学阅读过程往往是读写结合的过程；最后，数学阅读过程中语义转换频繁，要求阅读者思维灵活，如需要把用符号语言或图形（图表）语言表述的关系转化为用文字语言的形式进行表述，或把用文字语言表述的关系转化为用符号或图形（图表）语言进行表述.

苏霍姆林斯基认为，学会学习首先要学会阅读. 阅读是自学的主要形式，自学能力的核心是阅读能力，阅读能力能且只能在阅讀活动中提升. 因此，中学数学教育者应该在教学中创设数学阅读活动，提升中学生的数学阅读能力.

一、数学教材的阅读设计

数学教材由数学课程教材编写专家在充分考虑学生身心发展特征、教育教学原理和数学学科特点等诸多因素的基础上精心编写而成，它不仅是教师的教学内容，更是学生学习知识、培养数学核心素养的载体，具有极高的阅读价值.

但是，很多教师往往不重视对数学教材的阅读与分析，对教材的编写意图也不甚了解，整日纠缠于各种教辅资料，忙于找题、解题、讲题，课堂上很少用教材，布置的作业往往只是做题，很少要求学生课后阅读，由此导致学生不读数学教材，没有把数学教材作为最基本而重要的学习资源. 章建跃博士认为，教师、学生不读教材是导致当前数学教学中存在各种问题的重要原因. 在注重发展学生综合实践能力的课改要求下，回归教材，重视引导学生阅读和理解教材是一件刻不容缓的事情.

案例1：人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A版教材”）必修第一册“3.2.2 奇偶性”自主学习阅读设计.

活动1：阅读偶函数图形语言的特征.

问题1：画出函数[fx=x2]和函数[gx=2-x]的图象，如图1所示. 观察这两个函数的图象，你能发现有什么共同特征吗？

【设计意图】通过绘制和展示优美的函数图象，渗透直观想象素养，加强学生对数学美的体验. 但是，直观并不一定真实，激发学生从“数”的角度来刻画偶函数应该满足的条件.

活动2：探究偶函数的文字语言表达.

问题2：观察表1，取自变量的一些特殊值，相应的函数值有什么关系？

不难发现，当自变量取互为相反数的两个值[x]和[-x]时，对应的两个函数值相等. 即对于[?x∈R，] 都有[f-x=][-x2=x2=fx，] 称函数[fx=x2]为偶函数. 同理，对于[?x∈R，都有g-x=2--x=2-x=gx，] 称[gx=2-][x为偶函数.]

【设计意图】通过数学运算，启发学生根据数量关系判断函数图象关于y轴对称的本质特征，在此基础上建构偶函数的定义.

活动3：类比函数单调性的符号定义，用抽象符号语言刻画偶函数的定义.

一般地，设函数[fx]的定义域为[I]，如果[?x∈I]，都有[-x∈I]，且都有[f-x=fx]，那么函数[fx]就叫做偶函数．

【设计意图】运用数形结合思想，通过阅读函数的图形语言和符号语言，经历从特殊到一般、从具体到抽象的研究过程，进一步体验研究函数性质的一般方法.

案例2：人教A版教材选择性必修第一册中的“阅读与思考：圆锥曲线的光学性质及其应用”的阅读设计.

该阅读材料介绍了椭圆、双曲线和抛物线的光学性质. 为了激发学生的阅读兴趣，助力学生了解数学的价值，教师可以设计“抛物线的光学性质”一课，通过举一反三，鼓励学生查阅文献，类比探索椭圆和双曲线的光学性质.

活动1：提出问题. 太阳灶、卫星天线等为何设计成抛物面的形状？

【设计意图】引导学生用数学的眼光观察现实世界，也让学生体会数学源于对现实问题的抽象，数学与人类生活和社会发展紧密关联.

活动2：直观猜想. 如图2，从焦点F发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.

活动3：操作验证. 学生通过画图或借助信息技术软件可以验证猜想.

【设计意图】学生借助画图几何直观验证猜想，渗透从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法，也是后面探索和形成论证思路及进行数学推理的思维基础.

活动4：严谨证明.

证明：如图3，建立平面直角坐标系.

设抛物线的方程为[y2=2px p>0]，F为抛物线的焦点，M为抛物线上一点，MT是抛物线的切线，[MN⊥MT]，法线MN与x轴相交于点N，光线FM在点M处反射后的光线是MA（即[∠FMN=∠NMA]）.

设点M的坐标为[x0，y0 y0≠0]，

则过点M的切线方程为[y-y0=kx-x0].

将[x=y22p]代入上式，可得[ky2-2py+2py0-kx0=0.]

由[Δ=0，且y02=2px0]，化简，得[k=py0].

则法线MN的方程是[y-y0=-y0px-x0].

令[y=0]，得到法线MN与x轴的交点[Nx0+p，0].

所以[FN=ON-OF=x0+p-p2=x0+p2].

由抛物线的定义，可知[FM]等于点M到准线的距离.

因此[FM=x0+p2].

所以[FM=FN].

由此得到[∠1=∠2=∠3].

所以MA与 x 轴平行，即反射光线平行于抛物线的轴.

【设计意图】引導学生对猜想的正确性进行反思，培养学生敢于质疑、善于思考的科学精神和逻辑推理能力.

活动5：形成结论. 反射光线平行于抛物线的轴.

活动6：实际应用.

人教A版教材选择性必修第一册复习参考题3的第15题：综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜. 这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚. 例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m的反射式望远镜，其光学系统的原理（中心截口示意图）如图4所示. 其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：mm），分别求抛物线和双曲线的方程.

【设计意图】将教材上的练习设计成学生活动，激发思考，开放思维，提高学生的数学应用能力，培养学生勇于探索的科学精神.

活动7：推广创新. 类比抛物线的光学性质，探索椭圆和双曲线的光学性质并证明.

【设计意图】让学生从更高的视野来观察问题，用更深的思维来分析问题，用更广的思路来解决问题，从而激发学生探索椭圆和双曲线的光学性质，查阅文献，培养数学阅读的习惯，提升直观想象和数学运算素养.

华罗庚主张读书的第一步是“由薄到厚”. 也就是说，读书要扎扎实实，每个概念、定理都要追根溯源，彻底清楚. 这样一来，本来一本较薄的书，由于增加了不少内容，就变“厚”了，这是“由薄到厚”. 这一步之后还有更为重要的一步，即在第一步的基础上能够分析归纳，抓住本质，把握整体，做到融会贯通. 经过这样认真分析，提炼内容要点和关键，得出精神实质，就会感到真正应该记住的东西并不多，这就是“由厚到薄”的过程，才能真正提高阅读效率.

二、数学概念的阅读设计

概念的生成都有丰富的现实意义和历史背景. 数学教材注重通过文字语言、图形语言和符号语言来表述有关概念. 用多元联系表示的方式呈现内容，可以促进对概念本质的理解.

案例3：人教A版教材必修第一册“3.1.1 函数的概念”的阅读设计.

活动1：整体阅读，初识概念.

问题1：自主阅读教材中的四个现实的问题“复兴号高速列车路程和时间的关系”“电气维修公司工人工资与工作天数的关系”“北京空气质量指数和时间的关系”“恩格尔系数和年份的关系”，这四个问题中的函数有哪些共同特征？

【设计意图】指导学生开展数学的整体阅读，通过“划重点”“找关键词”培养学生自觉、有效地获取信息.

活动2：深度阅读，辨析概念.

问题2：问题“复兴号高速列车路程和时间的关系”“电气维修公司工人工资与工作天数的关系”中的函数有相同的关系式，你认为它们是同一个函数吗？能写出问题“北京空气质量指数和时间的关系”“恩格尔系数和年份的关系”中的函数解析式吗？能概括这四个问题中的函数的本质特征吗？

【设计意图】通过深度阅读，让学生从实际问题中理解用集合与对应关系的语言定义函数的必要性，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

活动3：精细阅读，理解概念.

问题3：函数概念的关键词有哪些？

函数概念涉及两个实数集，而且这两个实数集都不是空集，这是函数概念的前提. 两个实数集之间要有一种确定的对应关系 f，这里“确定”的意思是实数集A中的每一个实数 x，在对应关系 f 的作用下，在实数集B中都有唯一确定的实数 y 与 x 对应；“每一个”“唯一确定”是函数概念中的两个关键词. 一方面，对于实数集A中的任何一个实数 x，在实数集B中都要有实数与之对应；另一方面，在实数集B中有且只有一个实数 y 与 x 对应，实数集B中不能有两个或者两个以上的实数与同一个 x 对应.

【设计意图】数学概念都具有高度的抽象性，叙述精练但含义深刻，所以要精读概念的语句、推敲关键字眼和深挖符号含义，从而准确理解概念的内涵.

活动4：课后阅读，拓宽视野.

教师让学生课后阅读人教A版教材必修第一册第75页的“阅读与思考：函数概念的发展历程”，进一步了解函数概念的发展历程.

【设计意图】“阅读与思考”中简单介绍了函数定义的演变过程，以言简意赅的语言介绍了几位伟大的数学家给出的函数定义，介绍了函数概念的重要性与函数概念发展的长期性. 指导学生课后阅读能使学生了解函数概念的发展历程，深刻理解函数概念的发展与生产、生活及科学技术的实际需要紧密相关. 随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，进而让学生体会数学家的研究过程.

三、数学习题的阅读设计

在数学解题中，学生不是对数学试题或命题的已知条件熟视无睹，就是对试题或命题的结论丢三落四.学生对数学中的文字语言、符号语言和图形语言的阅读存在比较大的困难，尤其表现在对符号语言的阅读和理解上.

数学习题的阅读设计关键是培养学生的数学抽象能力，以及如何从题目的文字语言、符号语言和图形（表格）语言中抽象出所需要的数据和变量的关系.

案例4：（2020年高考数学北京卷第15题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改. 设企业的污水排放量[W]与时间[t]的关系为[W=ft]，用[-fb-fab-a]的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱. 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图5所示．

给出下列四个结论：

① 在[t1，t2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

② 在[t2]时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③ 在[t3]时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；

④ 甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是________．

【设计意图】对该题进行阅读设计的关键是培养学生的数学抽象能力，即如何从题目中的文字语言、符号语言和图形（表格）语言中抽象出所需要的数据和變量的关系. 突破口是理解符号[-fb-fab-a]是图象上任意两点连线斜率的相反数. 因此，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强．而在某一时刻，企业的污水治理能力是该点切线斜率的相反数，所以在[t2]时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在[t3]时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标. 综上所述，该题的正确答案是①②③.

四、数学史（数学文化）的阅读设计

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，数学文化融入课程内容，要使学生初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用. 目前，大多数教材中以“阅读与思考”“探究与发现”等设计丰富的数学史阅读材料，这些都是很好的数学阅读材料.

案例5：人教B版《普通高中教科书·数学》必修第四册“拓展阅读：我国古代数学中球的体积公式”的阅读设计.

活动1：教师补充相关数学史材料，激发学生的阅读兴趣.

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学. 数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律. 数学与人类生活和社会发展紧密关联. 其中，公元前19世纪至公元前6世纪的古巴比伦的数学以计算为主. 公元前6世纪的古希腊数学以研究空间形式为主，形成了严密的公理化体系. 公元前2世纪前后，以探讨数量关系为主的中国数学后来居上. 从公元前3世纪至14世纪初，中国传统数学一直走在世界的前列. 其中，东汉数学名著《九章算术》在许多方面（如解联立方程，分数四则运算，正、负数运算，几何图形的体积和面积计算等）都属于世界先进之列. 南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅利用刘徽创造的“牟合方盖”圆满地解决了球体积的计算问题，得到了正确的球体积公式. 他们当时采用的一条原理是“幂势既同，则积不容异”. 这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等. 大家称这个原理为祖暅原理，也称祖氏原理，又名等幂等积定理. 这一原理，国外一般称之为卡瓦列里原理，但是卡瓦列里的发现要比我国的祖暅晚1 100多年.

【设计意图】通过补充阅读材料，向学生渗透爱国主义教育，激发学生奋发拼搏的精神，赶超世界数学先进水平.

活动2：阅读“拓展阅读：我国古代数学中球的体积公式”.

【设计意图】通过阅读并推导球的体积公式，感受中国古代在数学方面的伟大成就.

案例6：人教A版教材必修第一册“文献阅读与数学写作：对数概念的形成与发展”的阅读设计.

活动1：通过互联网、书店、图书馆等多种途径搜集素材，了解对数是如何产生和发展的，对数在数学和人类社会的发展历史中起了什么作用.

【设计意图】通过对“对数概念的形成与发展”的研究，渗透数学文化，使学生了解对数概念在数学和人类文明进步中的地位和作用，了解数学知识的发展变化，提高学生学习数学的兴趣．

活动2：查阅与对数有关的文献，围绕对数产生的背景、对数发明的过程、对数对简化运算的作用等写一篇数学小论文.

【设计意图】通过写作数学小论文让学生了解数学这门科学产生与发展的历史过程，培养学生正确的数学思维方式，让其切实感受到生活中处处皆数学，人人都能参与数学学习研究，体会数学对人类文明发展的作用，感受数学家严谨的治学态度和锲而不舍的探索精神.

总之，数学阅读有独特的魅力. 通过数学阅读，学生熟悉有关数学语言，掌握数学知识，并且运用数学知识解决生活中的问题. 而提升中学生的数学阅读能力是一项长期而艰巨的任务，需要我们在教学中不断加强数学阅读研究，深入指导，具体到个人、明确到课堂. 只有在学生的主观意识中播下数学阅读的种子，才能使数学阅读成为学生的自觉行为，并在此基础上培养他们敏锐的观察力，在阅读中提高学生的数学表达能力、分析能力和推理能力，渗透数学核心素养，真正让不同的学生在数学上获得不同的发展.

参考文献：

［1］邵光华. 数学阅读——现代数学教育不容忽视的课题［J］. 数学通报，1999（10）：16-18.

［2］章建跃. 学会阅读数学教材［J］. 中小学数学（高中版），2020（11）：64，66.

［3］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］克莱因. 古今数学思想：第一册［M］. 张理京，张锦炎，江泽涵，等译. 上海：上海科学技术出版社，2014.

［5］邓宗琦. 数学家辞典［M］. 武汉：湖北教育出版社，1990.