一道高校创新班招生试题的探究

张志刚

解题教学在高中数学教学中具有不可替代的作用.对于典型问题，教师要引导学生挖掘本质，捕捉信息，抓住关键，寻求联系，触发灵感，构建方案.让学生在感知确认、抽象概括、合情推理、操作运算等思维活动中，全方位、多角度、多层次地思考问题，逐步学会有逻辑地思考数学问题.同时，教师追根溯源可以洞悉命题意图，横跨纵联利于培养学生的发散思维.

1 试题呈现

本题是2023年中国科学技术大学创新班初试第4题，为函数与数列的综合问题.试题结构精炼，情境新颖，突出对数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查，呈现出更强的综合性与选拔性，具有较高的研究价值.

2  解法探究

第（1）问 本小问要求证明不等式恒成立，可考虑构造函数，通过导数讨论其单调性证明.

首先证明：当x>0时，sinx

设fx=sinx－xx>0，f′x=cosx－1≤0，所以fx在0，+∞上单调递减，所以当x>0时，fx

第（2）问 本小问是数列不等式的证明问题，综合性较强.解答时应注重借助第（1）问的结论，结合数学归纳法与放缩进行证明.

3 命制背景

本题第（1）问不等式的高等数学背景是正弦函数的泰勒（Taylor）展开式.

用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容［2］.学生在“导数的几何意义”一节已学习了切线拟合——以直代曲，即用曲线上某点处的切线近似代替此点附近的曲线.例如，函数y=sinx点0，f0附近的图象可用切线y=x拟合.然而，切线拟合在很多场合中并不能满足精确度要求，需用二次或高于二次的多项式逼近.切线拟合启发我们：既然用一阶导数逼近就可在切点附近达到一定的精度，那么多次求导，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，应会提高精确度．这正是泰勒公式的核心思想：图1先把函数转换（改写）为多项式形式，

其中多项式的系数求导得到.然后用多项式拟合函数，其误差是关于x－x0n的高阶无穷小量.例如，由麦克

此外，将上式中的高次项舍弃，保留前部片段就得到一些常用的不等式.例如，保留展开式的前一项即得sinx

诸多高考题和模拟题以泰勒公式为科学背景；或是直接应用泰勒公式，或是研究泰勒公式，考查数学抽象、逻辑推理、直觀想象、数学建模等核心素养.下面列举两例，体会泰勒公式在比较大小、不等式恒成立等问题中的功用.

A.a

C.c

本题以分数，指数式和对数式为载体，考查比较大小的问题，属于探索创新情境.常见解法是构

造函数fx=1－xex－1，gx=xex+ln1－x，利用导数讨论其单调性，进而判定代数式的大小.下面利用泰勒展开式给出两种解法.

点评：上述两种解法借助泰勒公式近似计算或放缩，论证简洁高效，彰显了泰勒展开式在函数拟合与近似计算中的独特价值.

例2 （2020年新高考Ⅰ卷第21题）已知函数fx=aex-1－lnx+lna.（1） 当a=e时，求曲线y=fx在点1，f1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2） 若fx≥1，求a的取值范围.

本题第（1）问变为利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，较为容易.第（2）问为考查不等式恒成立求参数范围问题，常见的解答思路有同构变形、虚设零点等.下面利用分类讨论思想尝试作答.

综上，a的取值范围是1，+∞.

4 延伸思考

尔问题.

欧拉将方程与巴塞尔问题，创造性地把有限多项式的因式乘积形式类比至无限项多项式中，成功地把无穷级数和数字π联系起来，彰显了独特的原创性和简洁性，也成为近年高考模拟考试的热点命题素材，下面再举一例.

例3 （2023年湖南省永州市第三次适应性测试第22题）已知函数fx=xe－x·lna，gx=sinx.

（1）若x=0是函数hx=fx+agx的极小值点，讨论hx在区间－∞，π上的零点个数；

参考文献

［1］ 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.7.