一道椭圆联考题的求解、溯源与改编

柏世豪

近年来，圆锥曲线问题的考查，计算量越来越大，无论是基于考运算还是思维，都体现了数学解题的综合性与应用性. 我们在平时的解题教学中，应关注热点问题的求解，学会挖掘题干的命题背景，多角度出发，达到简化计算、强化思维的目标. 笔者基于一道高三联考题的求解探究，进而进行改编调整，以期实现解题训练的价值.

一、试题展示与解析

（1）求证：点R为线段PQ的中点；

（2）记△MPR、△MRN、△NRQ的面积分别为S1、S2、S3，试探究：是否存在实数λ使得λS2=S1+S3？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.

二、命题溯源与结论

除齐次化消元外，借助曲线系方程也可以简化计算. 在本题的求解中，还存在极点极线、斜率之积为定值等常见应用.

追根溯源，在解构本题时，结合GeoGebra作图过程，包含以下几个方面：

1. 极点极线的应用拓展

2. 椭圆的第二定义

3. 对焦连线，互相垂直

椭圆左焦点弦端点M、N与右顶点A连线AM、AN交相应准线于点P、Q，则PF⊥QF.

通過GeoGebra软件作图时，关注到以PQ为直径画圆与焦点弦MN相切，进而从几何特征上进行解题优化.

结论综述与推广：如图1，椭圆左焦点弦端点M、N与右顶点A连线AM、AN交相应准线于点P、Q，则以PQ为直径画圆与焦点弦MN相切于焦点F；若记圆心为R，则RM、RN与椭圆相切，且RF⊥MN；若△RMN、

同理，如图2在双曲线中上述结论也成立.

三、试题切入与改编

以命题背景来看，本题的命题者花了很大的心思去研究试题的构成，但从实际检测的结果来看，区分度不高，难以发挥其价值. 结合解题过程，笔者从如下几个角度进行命题改编，进行再次创作.

从对焦连线、互相垂直入手，先引导学生证明垂直条件，进而启发学生进行垂直关系的等价翻译，得到以PQ为直径的圆经过焦点F，再通过求证与焦点弦相切于F，若利用圆心到直线的距离等于半径，即只需要证明PQ中点R与切点F连线与MN垂直即可.

从椭圆的准线出发，不考虑顶点，探讨准线上一点（有范围限制）与焦点弦连线所构成的三角形的面积范围问题. 故结合双曲线焦点三角形内切圆圆心轨迹为过双曲线实顶点的两条平行且垂直于实轴的开线段（长为2b），以极线极点为背景，从准线上一点S出发作椭圆的两条切线SM、SN，借助切点弦过焦点F 且SF⊥MN刻画三角形面积的取值范围.

分别记为M、N，求△MNS的面积取值范围.

从面积比值为定值出发，以过焦点且相互垂直的两直线模型切入，通过准线上一动点画圆与作垂线刻画线段等量关系，本质还是考查椭圆的第二定义反映的几何特性. 解题时也可从比值定值破题，借助特殊位置求解.

解题教学是高中数学能力提升的重要环节，在有限的探究中发挥典型问题的价值，既可提高学生学习数学的兴趣，也能在能力培养上纵深挖掘. 在新高考改革的背景下，相对固化的试题形式在调整，试题的开放性越来越大，把握考试内容改革的方向与核心要求，在命题与解题上下苦功，以期实现“一题一课、多题一解”教学相长实效.

参考文献

［1］闻杰. 神奇的圆锥曲线与解题秘诀［M］. 浙江大学出版社，2021.