一道高考线段比值问题的一般化推广

陈恬

1．試题解析

2022年全国甲卷数学第16题考查解三角形、函数最值等内容，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．

2．试题转化

在解决了问题后，由于BD与CD虽然有二倍的关系，但都是变动的，是否有办法把问题转化为更简洁的单变量问题，于是作转化：如图2，过B作AC

这个结论非常优美，几何构造也非常简单，从直观上很容易想到背后可能存在更一般化的几何性质．进而思考当线段的比值改变或夹角改变的情况下，结论是否成立．

3．一般化推广

3．1 推广结论的验证

分析：由于给出的条件是一般化的，结论是否成立还不确定，想要从平面几何直接处理是有难度的，采用解析几何运算来定量分析；又考虑到需要找到点A的位置，因此借助直线参数方程来解决．

解析：如图5，以D为原点，以BC为x轴，建立平面直角坐标系．设B（－m，0），C（n，0）．

先考虑特殊情况：

结合参数方程的几何意义，进而探究t1，t2的具体涵义．

推广结论 如图6，在△ABC中，已知边BC上一点D，BD=m，CD=n，∠ADB=θ，其中m≠n且0°<θ<180°．则

①若θ为锐角或钝角时，设线段BC的垂直平分线与直线AD的交点为E，则以E为圆心，以EB为半

当然，可以将θ为直角时的情况看作圆心E在无穷远处，半径为无穷大，则A1对应是D点，A2对应无穷远点处．

3．2 推广结论的平几探索

上述方法虽然能够准确得到取值的变化规律，但对于只求最值的问题来说相对复杂．在得到结论的基础上，尝试用平面几何方法找出最值位置．

同理可得当θ为钝角时的情况．

4 结语

直观想象核心素养是高考考查的重要内容，几何中的最值问题往往存在一个更一般化的几何性质作为命题背景，教师与学生在日常教学中不应只停留在解出问题的表面，还应该鼓励师生进行深入探索，培养坚忍不拔的探索精神，形成做研究的习惯，促进数学学科素养的提升．