基于斜坡渐变扰动的新型电力系统等效惯量评估

2024-03-26谭林林

电力自动化设备 2024年3期

刘勃，陈中，王毅，周涛，谭林林

（1.东南大学电气工程学院，江苏南京 210096；

2.智能电网保护和运行控制国家重点实验室（国网电力科学研究院有限公司），江苏南京 211106；3.南京理工大学自动化学院，江苏南京 210094）

0 引言

伴随我国构建新型电力系统进程的不断加快，基于变流器的可再生能源发电机组接入容量与占比将进一步提高［1］。同时，由于非同步机电源与电力系统频率解耦，其在有功扰动下不具备向系统提供惯量支撑的能力［2］，造成整个系统惯量水平降低。中国“9·19”锦苏直流故障、英国“8·9”及南澳“9·28”电网大停电事故引起了国内外学者对惯量水平问题的重视［3］。因此，准确评估与掌握系统惯量水平对于保障新型电力系统在低惯量场景下的安全运行具有重要意义。

目前，系统层面的等效惯量评估方法大多基于阶跃扰动和类噪声扰动展开研究［4］。基于阶跃扰动的等效惯量评估方法主要依据频率事件中的有功不平衡量与初始频率变化率（rate of change of frequency，RoCoF）之间的比值确定系统等效惯量［5］。文献［6］依据联络线上的功率变化与主导机组频率提出了基于差值计算的区域电力系统等效惯量评估方法。文献［7］分析了不平衡扰动功率大小对惯量评估结果准确度造成的影响。文献［8］提出了基于RoCoF 对意外跳闸的同步机损失功率进行估计，并将获得的损失功率用于事故后的系统惯量评估。文献［9］引入改进的消除趋势波动分析方法，并设定具体的频率波动门槛值，当检测值大于门槛值时，判定该扰动可用于系统惯量评估。同理，可粗略地认为当RoCoF 值大于0.04 Hz／s 时，即可判定为扰动发生的初始时刻，然后基于系统等值摇摆方程对系统惯量水平进行评估［10］。文献［11］提出对频率量测数据进行二次微分，以准确确定大扰动发生的初始时刻，进而为准确评估系统惯量水平奠定基础。综上，基于频率事件的惯量评估方法面临阶跃扰动场景稀少、准确获取不平衡功率信息难度大、初始时刻RoCoF测量不准确三方面的问题。

为了摆脱对阶跃大扰动下频率事件的依赖，基于电力系统正常运行状态下的机组出力变化、负荷开关动作等引起的类噪声扰动，文献［12-13］提出使用准稳态下相量测量单元（phase measurement unit，PMU）量测的系统负荷功率偏差与系统频率偏差分别作为受控自回归模型的输入与输出，从而获取系统功率-频率响应模型，然后将所获得模型降阶至合理阶次，以便从中提取系统的等效惯量信息。文献［14］建立含新能源机组的系统频率响应模型，将系统等效惯量作为待辨识的参数，基于所建立的系统频率响应模型采用动态回归扩展与混合方法对作为待辨识参数的系统等效惯量进行辨识。文献［15］构建惯量与频率的马尔可夫切换模型，采用历史数据对构建的模型进行训练和修正，从而达到在准稳态下依据PMU 频率量测数据实现对系统惯量水平连续跟踪的目的。文献［16］将联络线功率与所研究区域内的负荷扰动作为输出误差模型的输入量，系统频率偏差作为输出量，实现区域等效惯量水平的在线连续估计。但是基于准稳态或类噪声方式下的惯量评估方法仅能计及同步机的转动惯量，无法考虑到各种类型虚拟惯量对系统的影响，尤其是电流源型虚拟惯量；同时也面临量测数据质量要求高与处理方式复杂的问题。

为了避免对量测频率数据进行微分这一操作，进而避免其引起的潜在噪声阶跃，同时亦为弱化上述2 类系统惯量评估方式的不足，提出基于可再生能源发电机组主动输出斜坡渐变扰动的惯量评估方法，该类型扰动易于监测且在实际场景中发生较为频繁，同时能够激发（电流源型）虚拟惯量控制环节的响应，减轻了对阶跃扰动的依赖。首先建立斜坡渐变扰动与RoCoF的关系。其次采用递归最小二乘自适应滤波器（recursive least squares adaptive filter，RLS-AF）滤除量测数据中的噪声，使用q轴电压分量变化量替代RoCoF 以弱化RoCoF 噪声阶跃的影响。然后基于改进的非线性最小二乘（nonlinear least square，NLS）拟合q轴电压分量变化量与时间之间的非线性表达式并从中提取系统等效惯量。最后通过仿真算例验证所提方法的有效性。

1 斜坡渐变扰动下的等效惯量评估机理

1.1 系统等效惯量组成及定义

惯性作为物体（能量）的固有属性，其主要表现为抑制外部因素试图改变物体当前状态的能力。以同步机为主体的电力系统惯性主要体现为同步机转子所具有的旋转动能。惯量作为刻画惯性的量度，一般采用惯量时间常数（s）或旋转动能（MW·s）作为其单位。同步机惯量时间常数Hsg的数学表达式为：

式中：Ssg为同步机额定容量；Jsg为同步机的机械转动惯量；Ω为同步机的机械角速度。

在碳达峰、碳中和的背景下，以变流器为接口的可再生能源发电单元渗透率不断提高。为变流器附加模拟惯量控制后，可再生能源发电单元可为外部电网提供一定的惯量支撑，此时仅计及同步机的转动惯量将无法反映新型电力系统的真实惯量水平。同时还需要考虑多样化资源对新型电力系统惯量的潜在贡献。因此，新型电力系统的等效惯量可以描述为新型电力系统多元形式的能量抵御因不平衡有功功率扰动而引发的系统频率变化的能力，包括同步机转动惯量、基于变流器控制的各类型虚拟惯量以及负荷惯量等。

1.2 斜坡渐变扰动下的有功-频率动态模型

可再生能源占比高是新型电力系统的主要特征之一，因此考虑基于可再生能源在一定场景下主动输出的斜坡渐变扰动功率的特点对系统进行等效惯量评估。为实现新型电力系统在斜坡渐变扰动下的惯量评估，须刻画出含惯量时间常数的同步机动态模型。系统遭受扰动后的有功与频率之间的动态关系可由同步机转子运动方程体现，因此可对同步机的转子运动方程进行等效处理，从而获得系统层面所需要的有功-频率动态模型。

对于系统中某台同步机，在系统遭受扰动后的初始阶段，且同步机调速器还未介入时，计及同步机的阻尼效应，其转子摇摆方程可被描述为：

式中：Hsg，i为同步机i的惯量时间常数；Ssg，i为同步机i的额定容量；Pm，i为同步机i的机械输入功率；Pe，i为同步机i输出的电磁功率；ΔPi为同步机i的不平衡功率；Δfi为同步机i并网点的频率变化量；f0为系统的额定频率；Di为同步机i的阻尼系数。

在一定条件下，系统整体或区域系统可看做一台等值同步机［17-18］。故系统等值摇摆方程可描述为：

式中：Hsys为系统的等效惯量时间常数；Ssys为系统的额定容量；Pm，sys为系统的机械输入功率；Pe，sys为系统输出的电磁功率；ΔPsys为斜坡渐变扰动功率，表示扰动发生时整个系统内的不平衡功率；Δfcoi为系统惯量中心的频率变化量或者电源母线处的平均频率变化量；fcoi，0为等值后系统的额定频率；Dsys为系统等效阻尼系数。

对式（3）进行拉氏变换得到频域内系统频率变化量与系统等效惯量的关系，如式（4）所示。

式中：s为拉氏算子。

不同于阶跃扰动，斜坡渐变扰动功率ΔPsys是一个随时间变化的量，如式（5）所示。

式中：k为斜坡渐变扰动功率的斜率，可由RLS-AF中的PMU 功率数据确定；t为斜坡渐变扰动持续时长。对式（5）进行拉氏变换可得：

将式（6）代入式（4）可得斜坡渐变扰动下的频率变化量与斜坡渐变扰动斜率、系统等效惯量及系统等效阻尼系数之间的关系，如式（7）所示。

对式（7）进行拉氏反变换，可得频率变化量在时域内的表达式，如式（8）所示。

对时域内的频率变化量进行微分，获得RoCoF与斜坡渐变扰动功率斜率、系统等效惯量及系统等效阻尼系数之间的关系，如式（9）所示。

上述过程建立了斜坡渐变扰动功率下有功-频率动态模型，式（9）即为所需的系统等效惯量基础评估模型。考虑到RoCoF噪声阶跃易导致等效惯量评估误差较大的不利因素，需要寻求可替代频率变化量的变量。因此在下文引入双二阶广义积分锁相环（double second-order generalized integral phaselocked loop，DSOGI-PLL）中的q轴电压分量变化量替代RoCoF 以弱化RoCoF 在惯量评估中存在的不足。

2 q轴电压分量变化量替代RoCoF机制

2.1 DSOGI-PLL建模

锁相环可为电力电子设备电源并网提供电网频率与相位信息，用来控制电网与电力电子设备电源之间的功率流动。相较于常规的单同步锁相环，DSOGI-PLL在跟踪电网频率与相位信息的过程中可有效减少三相电压不平衡及谐波带来的影响。其主要架构见附录A图A1。

为了有效应对电网中三相电压Usabc不平衡的情况，基于对称分量法可得三相电压的正序分量为：

式中：ε=ej2π/3。对获取的三相电压正序电压分量进行Clark变换，可得的αβ轴正序分量为：

基于式（10）—（12）可得α β轴静止坐标系下正序分量与电压分量Usαβ的变换关系为：

式中：δ=e-jπ/2，可理解为对信号进行滞后90°的偏移操作。

由式（13）可知，要提取αβ坐标系下的正序电压分量，需要基于Usα、Usβ及其滞后90°相位的正交相量。DSOGI-PLL 通过二阶广义积分器（second-order generalized integral，SOGI）获取90°相位偏移的正交信号，同时也可去除谐波信号。SOGI 相关内容限于篇幅不再赘述，可参考文献［19］。

再由αβ轴静止坐标系变换到dq轴旋转坐标系，可得dq轴旋转坐标系下电压分量Usdq表达式为：

式中：θ为初始状态下d轴与α轴之间的夹角，即锁相角。在系统稳态情况下，q轴电压分量Usq为0。而当系统频率发生改变时，经过比例积分（proportional integral，PI）控制器输出的角频率变化量Δω与q轴电压分量Usq存在如下关系：

式中：kp、ki分别为PI控制器的比例、积分项常数。

锁相角与电网频率之间的关系为：

式中：ωff为额定基准角频率。

2.2 含q轴电压分量变化量的等效惯量评估模型

在2.1 节中完成了对DSGOI-PLL 的建模，根据建模过程与DSGOI-PLL 跟踪电网频率信息过程可知，对式（15）进行微分可得系统RoCoF 与平均电源母线q轴电压分量变化量ΔUsq，ave之间的线性关系，如式（17）所示。

式中：Usq，m为第m条电源母线的q轴电压分量变化量；nu为电源母线数量。

将式（17）与式（9）联立可获取含平均电源母线q轴电压分量变化量ΔUsq，ave的等效惯量评估数学模型，如式（18）所示。

所构建的系统等效惯量评估模型阐释了ΔUsq，ave、斜坡渐变扰动功率的斜率k与系统等效惯量Hsys之间的数学关系，可避免在惯量评估模型中使用RoCoF 这一变量，从而提高系统等效惯量评估的准确性。而且可再生能源集群并网点主动输出的斜坡渐变扰动功率更加符合新型电力系统中实际发生扰动的情况，相较于系统内阶跃扰动发生的随机性以及较难观测性，可再生能源集群并网点输出的斜坡渐变扰动功率具有明显的可观可测性。因此所建立的惯量评估模型既有理论方面的优势，又有实际工程场景方面的支撑。

3 RLS-AF与改进非线性拟合方法机理

3.1 RLS-AF数据滤波机理

为了处理量测数据中所含的噪声信号，一般多采用低通滤波器滤除高频噪声［20］，但该种做法依赖数据的统计特性。为了克服这一不足，本文引入RLS-AF 去除量测数据中的噪声，最大限度还原真实信号的特征，以用于后续改进的NLS 算法。自适应滤波器基本架构图见附录A图A2。

以滤波处理平均电源母线q轴电压分量变化量Usq，ave为例，在本文中的实际应用与具体的推导过程见附录B式（B1）—（B10）。

3.2 改进的NLS算法拟合机制

由于式（18）是非线性函数，因此本文在常规拟合算法的基础上引入障碍函数形成改进的NLS拟合算法，消除约束条件对最优化问题的影响，以提升拟合性能。主要步骤如下。

步骤1，确定所需拟合非线性模型的形式。首先，对式（18）进行改写，可得量测数据值Usq，ave为：

在上述理论分析中，系数A与C应一致，但在非线性拟合过程中，当两者存在较小的差异时，也认为两者近似相等，以进一步提高数据拟合的准确性。

步骤2，确定代价函数计算拟合误差。对式（18）进行构造模型函数f(A，B，C)，如式（21）所示。

式中：Ûsq，ave为模型估计值。定义残差r为：

非线性最优化拟合过程中，构造的代价函数F(A，B，C)为：

式中：r为以残差r为元素的矩阵。

步骤3，计算用于更新迭代步长的雅可比矩阵J、梯度矩阵g与海森矩阵H。对构造模型函数f(A，B，C)中的A、B、C分别求偏微分以获得雅可比矩阵J为：

对代价函数F(A，B，C)中的A、B、C分别求偏微分以获得梯度矩阵g，如式（25）所示。

进一步，代价函数的海森矩阵H表达式为：

基于高斯牛顿法计算更新步长x为：

在改进的非线性NLS拟合算法中加入正则化系数，根据代价函数的变化修正正则化系数λ，并确定迭代步长x是否更新，此时x如式（28）所示。

式中：I为单位矩阵。如果经迭代计算后的代价函数新值大于上一步计算的代价函数值，则进行如下更新：

式中：x̂'、x̂分别为这一步、上一步计算的迭代步长。否则，进行如下更新：

步骤4，构造非负约束，将求解问题转换成无约束问题求解。需说明的是：当可再生能源集群并网点的渐变扰动功率降低时，k取负值，此时A与C均小于0，反之，A与C均大于0，而B一直大于0。含约束条件的最优化问题模型可通过障碍函数构造辅助函数进行求解，以消除约束条件的影响，转换成无约束条件下的最优化问题。构造原模型函数含障碍函数的辅助函数G(A，B，C，μ)为：

式中：μ为惩罚因子；gi（A，B，C）为约束条件；β（A，B，C）为障碍函数。因此，原代价函数修正为：

同时，迭代步长x的计算公式修正为：

最后根据式（28）—（30）进行更新，直到代价函数F（A，B，C）满足精度要求，输出A、B、C确定式（19）的具体表达式。

4 算例分析

4.1 算例参数设置及描述

为了验证所提系统等效惯量评估方法的有效性，基于PSASP 7.50 仿真平台，搭建附录C 图C1 所示的含双馈感应风机（doubly-fed induction generator，DFIG）、电池储能系统（battery energy storage system，BESS）及高压直流（high voltage direct current，HVDC）输电线路的EPRI-36 系统，并进行仿真验证，其中DFIG 及BESS 与所替换的同步机具有相同的容量。系统总容量为5 114 MV·A，负荷总量为2 568 MW，剩余同步机的加权平均惯量时间常数为245.17 s，基准容量为100 MV·A。DSOGI-PLL 中的比例项常数kp与积分项常数ki分别设置为0.001、0.036 53。母线3、4 处的同步机被同容量的DFIG 替换，母线7 处的同步机被同容量的BESS 替换，母线33 与母线34 之间的交流线路替换成HVDC 输电线路。本文量测的电源母线额定电压均为220 kV。

4.2 场景1：风储不含虚拟惯量控制

在t=5 s 时，母线3 处的DFIG 并网点在5 s 内渐变减少50 MW 有功功率，基于平均量测、低通滤波和RLS-AF 这3 种方法处理数据，所得对比结果如图1 所示，图中ΔPpcc为DFIG 并网点斜坡渐变扰动功率。由图可知：经RLS-AF 获取的ΔPpcc数据质量最高，便于计算单位时间内ΔPpcc变化情况。

图1 母线3并网点5 s渐变减少50 MW有功功率扰动下的3种数据处理方式效果对比Fig.1 Comparison of effect of three kinds of data processing method under disturbance of gradual reduction of 50 MW active power within 5 s at Bus 3

系统在5 s 内渐变减少50 MW 的有功功率扰动下，电源母线频率变化情况见附录C 图C2，从额定频率50 Hz 降至49.88 Hz。图2 描述的是电源母线的平均频率变化量Δfave与平均RoCoF 值Δfave的情况。由图可知：平均RoCoF波形存在噪声阶跃（分别出现在t=7 s 与t=7.5 s 左右），该噪声阶跃易导致基于RoCoF的惯量评估方式出现误差较大的情况。当系统遭受阶跃扰动时，初始时刻的RoCoF 存在噪声阶跃的现象更为明显。

图2 电源母线平均频率偏差与RoCoF波形Fig.2 Waveforms of average frequency deviation of generation unit buses and RoCoF

由图1 中的ΔUsq，ave与图2 中的ΔPave对比分析可知：两者趋势一致，且两者之间的关系符合上文分析的线性关系。而且经RLS-AF 滤波处理的ΔUsq，ave噪声阶跃相较于ΔPave不明显。因此选取平均电源母线q轴电压分量变化量在基于斜坡渐变功率扰动的惯量评估方法中替代RoCoF是合理的。

选取斜坡渐变功率扰动后5.2～6.2 s内的平均电源母线q轴电压分量变化量ΔUsq，ave数据进行非线性拟合，结果如图3 所示。本文舍弃部分扰动初始时刻的数据，由于初始时刻ΔUsq，ave较小，不利于拟合，因此舍去扰动初始时刻后0.2 s 的数据，舍弃数据后拟合结果及对比优势的分析过程见附录C 图C3 及式（C1）—（C3）。采用改进NLS 拟合算法，拟合的目标模型为式（18）所示非线性模型，从拟合的非线性模型参数中提取系统等效惯量。图3 中拟合量对应的拟合模型为：

图3 电源母线平均q轴电压实测量与拟合量对比Fig.3 Comparison of fitted quantities and actual measurements of average q-axis voltage at generation unit buses

为了定量评价所拟合的非线性模型与实际量测数据之间的关系，基于确定系数（coefficient of determination，R-square）与均方根（root mean squared error，RMSE）对拟合模型进行评价［21］。所拟合非线性模型的R-square 为0.934 5，RMSE 为0.317。其中RMSE 取值越小表明量测数据与拟合数据的离散程度越低，R-square取值越接近1则表明模型自变量对因变量的解释性越强，模型对数据拟合效果越好。

进一步，根据待定系数法可知系统等效惯量为256.661 s（以100 MV·A为基准），与同步机惯量的加权平均值245.17 s相比，误差约为4.687 %。

同理，在t=5 s 时，母线4 处的DFIG 并网点在1 s内渐变减少30 MW 有功功率，系统响应量Δfbus（电源母线的频率变化量）、ΔPpcc、ΔUsq，ave、Δfave、ΔRave变化情况详见附录C 图C4 — C6。采用改进NLS 拟合算法对5.2～6.2 s 内的q轴电压分量变化量实测平均数据进行拟合，对比结果见附录C图C7。图C7中拟合量对应的拟合模型为：

所拟合非线性模型的R-square 为0.953 2，RMSE为0.286。基于上述2 个指标可说明模型对数据的拟合效果较好。同时，根据待定系数法可知系统等效惯量为260.363 s（以100 MV·A为基准），与同步机惯量的加权平均值245.17 s相比误差约为6.197 %。

为了进一步突出本文所提方法在场景1 下的优越性，对比以下3 种系统等效惯量评估方法的结果：方法1，本文所提系统等效惯量评估方法；方法2，通过拟合电源母线ΔRave与时间的非线性模型表达式，从而提取系统等效惯量；方法3，基于阶跃扰动的系统等效惯量评估方法，在t=5 s时分别设置50 MW 与30 MW负荷突增扰动。

由附录C 表C1 中系统等效惯量评估结果对比可知，基于本文所提惯量方法所得结果与系统内同步机加权惯量平均值最为接近，而基于阶跃扰动的常规惯量评估方法所得结果相对误差最大。从而说明本文所提系统等效惯量评估方法合理且有效。

4.3 场景2：风储含虚拟惯量控制

为了进一步验证所提系统等效惯量评估方法的有效性，对母线3、4 处的DFIG 附加虚拟惯量控制，控制结构详见文献［22］，母线7 处的BESS 采用虚拟同步机组网型控制结构。DFIG 与BESS 的虚拟惯量参数分别设置为10 s和8 s。

在t=5 s 时，母线4 处的DFIG 并网点在1 s 内渐变减少40 MW 有功功率，系统响应量Δfbus、ΔPpcc、ΔUsq，ave、Δfave、ΔRave变化情况见附录C 图C8—C10。采用改进NLS 拟合算法对5.2～6.2 s 内的q轴电压分量变化量实测平均数据进行拟合，对比结果见附录C图C11。图C11中拟合量对应的拟合模型为：

所拟合非线性模型的R-square 为0.945 8，RMSE为0.297。进一步根据待定系数法可知5.2～6.2 s 内的系统等效惯量为339.954 s（以100 MV·A为基准）。

DFIG 在附加虚拟惯量控制下的等效惯量呈现时变特性［23-24］，因此含DFIG 等效惯量的评估结果与系统内的同步机加权平均惯量直接进行对比是不合适的。为了验证所提方法评估结果的合理性，采用以下2种方法验证。

1）直接计算方法。将式（9）变换成系统等效惯量与其他参数之间函数关系，即：

直接计算方法需要基于改进NLS 算法，将系统的等效阻尼参数拟合出来，然后代入式（37），其次将获取到的平均RoCoF 值ΔRave或平均q轴电压分量变化量ΔUsq，ave代入式（37）对等效惯量进行计算，所得等效惯量随时间变化的曲线见附录C 图C12。由图可知：时变的计算等效惯量在式（36）中提取出的拟合惯量值（339.954 s）附近波动，可说明所提惯量评估方法的合理性。

2）间接对比方法。在系统遭受有功扰动的初期，由于RoCoF仅与系统等效惯量相关，可以通过对比RoCoF的动态特性间接说明惯量评估结果的合理性。由于上文已验证RoCoF 与ΔUsq，ave的线性关系。通过式（36）所拟合的非线性模型，预测其他不同程度斜坡渐变扰动下的ΔUsq，ave情况，再与实测ΔUsq，ave数据对比，间接说明所得系统等效惯量的合理性。

设置系统发生如下2 种扰动：①扰动1，系统在1 s 内渐变减少50 MW 有功功率；②扰动2，系统在1 s内渐变减少30 MW 有功功率。2种扰动下ΔUsq，ave的变化如图4 所示。若预测量与量测量结果较为接近，则可间接说明在一定时长内所得系统等效惯量是合理的，反之，则不合理。

图4 2种扰动下验证系统等效惯量评估结果的合理性Fig.4 Rationality of system equivalent inertia evaluation results of two kinds of disturbances

依旧采用R-square、RMSE 指标定量说明预测量与实测量之间的关系：图4（a）中ΔUsq，ave的预测量与量测量之间的R-square 为0.922 3、RMSE 为0.251；图4（b）中的R-square 为0.931 5、RMSE 为0.298。以上定量结果进一步说明当母线4 处的DFIG 并网点在1 s内发生渐变减少40 MW 的有功功率扰动时，系统在5.2～6.0 s内所得的平均等效惯量为339.954 s是合理的。

同理，为了进一步突出本文所提方法在场景2下的优越性，基于上文提及的3 种方法所获得的系统等效惯量，预测母线4 处的DFIG 并网点在1 s 内渐变减少50 MW 有功功率扰动下系统的ΔUsq，ave，再与实测的ΔUsq，ave进行对比，3 种方法下的对比结果见附录C 图C13。由图可知：基于方法1（本文所提方法）所获得的预测值能够较好地与实测数据吻合；随着时间的变化，基于方法2 所获得的预测值略微偏离实测数据；基于方法3 所获得的等效惯量结果预测性能最差，偏离实测数据最为严重。