省时便捷，简单高效

叶陈琛

内容摘要：学数学，不仅仅只是学知识，更是在于自身思维能力的构建和提升。学数学离不开解题，通过解题锤炼思考、积累经验、培养核心素养才是根本目标。

关键词：特殊值  特殊位置  从特殊到一般的思想

著名数学家希尔伯特曾说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。”在解题时，我们常常会遇到这样的情况：就是知道用严谨的推理可以求解，但过程相当繁琐，亦或是用现有知识无法解决。在这种情况下，我们可以考虑另辟蹊径，比如对某些量赋以特殊值或以特殊位置，把问题变得具象和简单，降低认知起点，便于学生由浅入深，从而有利于问题的解决。平时教师多关注这种特殊方法的教学，培养学生从特殊到一般的思想方法，提高学生的解题速度的同时，增强学生的解题信心和学习数学的兴趣，对学生形成深厚的数学素养起着重要的作用。

一、特殊值为起点，打开解题思路

例题1  （选自2020年随州中考题23题部分内容）

勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理。在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今。

如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图2所示的“勾股树”。在如图3所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，

则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①[a2+b2+c2+d2=]_______；

②b与c的关系为_______，a与d的关系为_______。

解析  勾股树是根据勾股定理画出来的可以无限重复的图形，主要考查的是勾股定理的运用，第①问较简单，在学生平时的练习中也常涉及，图中以直角边为边长的两个小正方形面积之和等于以斜边为边长的大正方形的面积，容易得出最终结果为m2；而第②小问比较新颖，探究的是每个小正方形边长之间独立的关系，这就跳离了学生的“舒适圈”，由于未知的变量如此之多，让不少同学无从下手。这时如果联想到特殊值法，抓住问题中变量的关键，赋予特殊值，得到其余变量的具体的值，那么问题就迎刃而解了。

取特殊值  令∠α=30°，m=2，则最下方三角形的直角边分别为1和[3]，继续往下就可以求出a，b，c，d的值，其中，b=c=[32]，a=[32]，d=[12]，则a+d=2=m。

还可以继续改变m的值以及∠α的度数（比如同是特殊角45°），从而再取两三对特殊值计算结果，观察验证结论。

解后反思  像这样从特殊到一般，其实是不完全归纳法的一种演绎。可能有些学生会有疑问，在没有验证其余所有的情况下，是否有以偏概全之嫌。我们不妨作进一步探究，由特殊情况的求解过程，可以发现a，b，c，d的取值变化，其实是基于角的大小变化和正方形M的边长m的变化，由此可以类比得出一般的验证方法。

利用三角函数，保留字母，也可以表示出最下方三角形的直角边分别为[mcosα和msinα]

继而求得，

[b=c=mcosαsinα]

[a=mcos2α]

[d=msin2α]

所以，[a+d=mcos2α+msin2α=m]

此题还有另一种几何解法，过程比较繁琐，这里笔者就不再说明。

此题为填空题，采用特殊值法化繁为简，更容易计算，极为方便、快捷。当类似地碰到问题中存在两个或多个变量的时候，可以抓住问题中变量的一个特殊值，简单、快捷地解决相关问题。那为什么学生想不到从特殊值的角度来解决此问题呢？平时我们在数学教学中往往更多地引导学生进行严格的逻辑推理计算，小心谨慎地看待问题，学生自然也就产生了思维惯性，不会灵活变通。客观题的特殊性决定了其解法的特殊性，教学中，我们应更多地关注简便方法的应用，帮助学生在考场上省时高效地解题，可以省出时间思考其他的问题。

二、特殊位置为临界，解析动态过程

例题2   如图4所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N。在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）。

A. 一直增大

B. 一直减小

C. 先减小后增大

D. 先增大后减小

取特殊位置  首先根据矩形的性质，容易得出：[S△AOB=S△BOC=S△COD=][S△AOD=14S矩形ABCD]

（1）起点位置，如图5所示，即点P与点A重合，点Q與点B重合时，

[S阴影部分=S△AOB+S△COD=12S矩形ABCD]

（2）中点位置，如图6所示，点P到达AB的中点，点Q到达BC的中点时，

[S阴影部分=14S矩形ABCD]

（3）终点位置，如图7所示，点P到达点B，点Q到达点C时，

[S阴影部分=S△BOC+S△AOD=12S矩形ABCD]

所以，在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是先减小后增大，故选C。

解后反思 动点问题一直是学生学习的困惑点，如果抓住特殊位置，将动点的位置进行特殊处理，化动为静，往往能找到解题的突破口。本题中，如果直接去求面积比较麻烦，运算量较大，不妨从特殊位置、特殊点着手，求点P与点Q位于起点、中点、终点三个临界处时相应的面积大小，比较面积的变化，答案自然也就水落石出了。

例题3结合例题2，进一步思考：长方形台球桌ABCD上，一球从AB边上某处P击出，分别撞击球桌的边BC、CD、DA各1次后，又回到出发点P处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（如图8所示，∠α=∠β），若AB=4，BC=6，则此球所走路线的总长度（不计球的大小）为_______。

取特殊位置  令点P为AB的中点，则不难得出此时存在△PBQ≌△PAS≌△RDS≌△RCQ，用勾股定理即可求出PS=RS=PQ=RQ=[13]，所以总路程为[413]。

解后反思  这是金华、丽水中考模拟卷中的一道题，测验中，学生的错误率极高。在考场上，考生要在短时间内完成一个复杂条件下的计算，相当不容易，而本题常规的解法一般学生又极难想到，如果此时能从特殊点出发，根据动点的运动轨迹，选取图形的特殊位置进行计算、推理，从而避开繁琐的求解过程，就可以快速、正确地得出答案。

总之，数学核心素养的形成，不能依赖机械的模仿或记忆，它应该是日积月累的，是思维与经验的积累。基于核心素养教学，教师除了教给学生知识，更要教会学生积极面对问题，而且不要只会从“正向”一个方向思考问题，要灵活选取方法，学会简单、高效地解决问题。通过问题的解决，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养。