巧用反比例函数的几个结论

孙乾

有些初中生對于函数的学习一直是比较困惑的，反比例函数看似简单，实际上却不是那么容易，特别是与图像的结合，在学习过程中掌握几个结论有助于提高学生学习兴趣和解题能力。

一、双曲线与正比例函数图像的两个交点关于原点对称

结论1  如图1，双曲线y＝[kx]（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）相交于A、B两点，则A、B关于原点对称。

证明 1  反比例函数的图像是中心对称图形，正比例函数图像是一条直线，也可看成是中心对称图形，对称中心是原点，所以两个交点一定关于原点对称。

证明2  双曲线y＝[kx]（k≠0）与直线y＝mx（m≠0）相交于A、B两点，则联立解方程组得，

A（[km]，[mkm]），B（[-km]，[-mkm]）

∴ A、B关于原点对称。

说明  本题把k，m都按正数考虑的，如果k，m为负数道理一样。

练习

1.正比例函数y＝mx和反比例函数y＝[kx]的一个交点为（1，2），则另一个交点是   。

答案 （-1，-2）

2.如图2，反比例函数y＝[kx]（k＜0）的图像与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点坐标为（-2，1），那么B点的坐标为     。

答案    （2，-1）

特别提醒  如图3所示，一次函数y＝kx-3（k≠0）与y＝[mx]（m≠0）的图像相交于点A（-2，3），B两点，则B点坐标为     。

本题中直线AB不是正比例函数图像，所以，A、B两点没有关于原点对称，只能通过解方程组而得到B点坐标（1，-6）。

二、面积转化

结论2   如图4，点A在反比例函数y＝[1x]的图像上，CD⊥y轴，垂足为D，AB，CO相交于点P，则

①S△APO ＝S四边形BDCP ；②S△ACO＝S梯形BDCA

证明 ∵ SRt△ABO ＝ SRt△CDO ＝ [12k]

∴ SRt△ABO－SRt△PBO ＝ SRt△CDO－SRt△PBO

∴ S△APO ＝S四边形BDCP，即①成立

∴ S△APO＋S△APC ＝S四边形BDCP＋S△APC

∴ S△ACO＝S梯形BDCA，即②成立

例1  （2015年眉山）如图5，A、B是双曲线y＝[kx]上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C。若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）。

A. [43] B. [83] C. 3 D. 4

分析  过点B作BE⊥x轴于点E，由结论2结论可知S△ADO ＝S四边形BDCE，根据D为OB的中点可知，CD是△OBE的中位线，再由△ODC∽△OBE，其相似比是[12]，利用相似三角形面积比是相似比的平方构造方程，面积为1求出k的值，即可得出结论。

解  过点B作BE⊥x轴于点E，

∵ D为OB的中点

∴ CD是△OBE的中位线，即CD＝[12]BE

∴ △ODC∽△OBE，其相似比是[12]

∴ S△ODC ∶S△OBE＝1∶4

∵ S△ADO ＝1

∴ S四边形BDCE＝1

∵ S△BOE＝[12k=12]k

∴（[12]k－1）∶（[12]k）＝1∶4， 解得k＝[83]

故答案选B。

练习 （2019年沈阳）如图6，正比例函数y1＝k1x的图像与反比例函数y2＝[k2x]（x＞0）的图像相交于点A（[3]，2[3]），点B是反比例函数图像上一点，它的横坐标是3，连接OB，AB，则△AOB的面积是 。

分析   可以分别过A、B两点向x轴作垂线，把求三角形面积转换为求梯形面积，直接用梯形面积公式计算，答案为2[3]。

三、相似转化

结论3   如图7所示，一次函数和反比例函数相交于B、C两点，和两坐标轴分别相交于D、A两点，则AB＝CD。

证明  如图8所示，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是E、F、G、H，BE CH交于点M。

由k的几何意义知，

S四边形BEOF＝S四边形CGOH＝k

∴ S四边形BMHF＝S四边形CGEM

∴ HM·BM ＝EM·MC

∴[HMMC=EMBM]

又∵ ∠HME＝∠CMB

∴ △HEM∽△CBM

∴ ∠EHM＝∠BCM

∴ HE∥BC

又∵ BE∥AH，HC∥ED

∴ 四边形ABEF、四边形CDEH都是平行四边形，

∴ AB＝EH，CD＝EH

∴ AB＝CD

例2  如图9所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，边OB在x轴上，反比例函数y＝[kx]（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，如果AC∶CD＝2∶3，S△OBD＝[72]，则k的值为（）。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

分析  如图10，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，只要求出△ODE的面积即可。

解  由上图结论知AC＝BD，

∵ AC∶CD＝2∶3

∴ AC∶CD∶DB＝2∶3∶2

∴ BD∶BA＝2∶7

∵ DE∥AO

∴BE∶BO＝BD∶BA＝2∶7

∴ BE∶EO＝2∶5

∴ S△DBE ∶S△DEO＝2∶5

∴ S△DEO＝[57]S△OBD＝[57]×[72]＝[52]

∴ k＝5