数学“反证法”理论的分析及其在中学数学中的应用

陈悦 赵临龙

摘  要：反证法作为中学数学中一种常见的证明方法，常应用于解决难以直接证明的题目，它可以十分高效地给出问题的答案，并且对于学生的逻辑思维能力以及学生学习的积极性的提高有很大的帮助，也能够推动数学教育的发展。本文介绍了反证法的相关概念、逻辑原理以及分类。分析了反证法理论在目前中学数学中的应用，旨在帮助学生提高对反证法理论的认知及更好的运用这种方法处理问题。

关键词：反证法；逆向思维；中学数学；教学；实例

1研究背景

随着新课程改革的不断深入，数学证明题型作为其重点之一，在中考和高考中占据非常大的比例。

所谓数学证明，就是在一个特定的公理或定理系统中，根据一定的标准或者规则，由定理推出命题的过程。在中学数学中，应用数学证明方法解决一些问题的过程中，可以培养学生创新精神，增强他们对未知事物的求知欲。

于中学生而言，数学证明题型不仅复杂而且具有一定的抽象性。在面对不同的类型，需要采用的方法也往往不相同，常见的证明方法有综合法、反证法、分析法、类比法、归纳法等[1]。其中反证法作为数学中极其常见的证明方法之一，对于解题有着巨大的作用。它不但是一种方法，还是一种独特的思维方式。

一般来说，通常应用于从正面难以解答的问题当中，也就是“逆证”，这是通过得出与题目相矛盾的结论（即反论题）的错误来确立原命题的真实性的证明方法。其具体论证过程如下：首先提出命题假设，然后对命题的结论进行否定（也就是反设），然后再根据推演的规则进行合情推理从而得出相应的结果，以此来证明出反论题的错误。最后再依据排中律（见后面具体内容），即反论题为假，则说明原命题是真的，从而完成原命题的证明。

由于反证法具有独特的解题方法和思维特点，对于解题有很大的帮助。对于中学生来说，面对问题，大部分学生总是局限于固有的思维模式，习惯于从正面出发，从所给问题的已知条件推出结论。然而对于一些复杂难解的问题，从正面出发寻求问题的答案往往比较困难，这就需要从问题的反面入手，去分析问题、解决问题，这样就会使得复杂的问题简单化，从而得到正确的结论。因而熟知和掌握反证法的思维方式对于中学生的学习和成长起着至关紧要的地位。

2.反證法的来源

2.1.古希腊的反证法

反证法最早起源于古希腊，由于毕达哥拉斯学派的影响，倡导“一切事物都是整数”，其数学知识都是真实和确切的[2]。但是由于第一次数学危机的爆发，随着 的发现，使希腊人重新审视了他们自己的数学，从此以后他们对于以数作为基础的几何做出了摒弃的选择。把计算当做几何证明之后的应用，他们更加注重演绎和证明，指出了“不要近似”，也就是需要达到“明确的形式证明以及公理的使用”。

在此背景下，反证法这一概念慢慢被各种著作所提出。以下命题最初是由古希腊数学家欧几里得（Euclid of Alexandria，约前公元330～约前275）在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法，证明了“素数有无穷多个”；欧多克斯（Eudoxus，约公元前400～约347年）利用反正法证明了“两个多边形的面积之比等于所对应的线段之比的平方”、“最优化原理”、“上帝并非全能”等问题。除此之外，匈牙利数学家波利亚（Georgo Polya，1887～1985）在他的书《怎样解题》中提出间接证明的数学方法是解决问题并发现问题的强有力的工具；英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877～1947）在他的作品《一个数学家的辩白》中曾提出反证法是“数学家最精良的武器之一”[3]，由此可见反证法对于我们解决问题有着非常重要的作用。

2.2中国古代的反证法

在中国古代的数学历史进程中，由于对数学的演绎及其论证不是很重视，而且中国传统逻辑学并不是很完备，所以尽管人们对于逻辑推理法已经有了一定程度的认识，但是仍旧不是很完善，只是运用了归谬以及反驳。

墨子作为使用和总结归谬法的创始者，其所含的逻辑力量，对其他百家学者有着深远的影响。此后孟子，庄子也都是运用归谬法的高手，他们等人都经常利用归谬法来推断敌人言行中的荒谬之处，从而破坏敌人的诡辩。比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真。这就是反证法的一个例子[4]。又譬如魏晋时期数学家刘徽在其著作《九章算术注》中所利用的证伪法，推翻某些假命题，某些公式也运用了反驳且是正确的，是符合逻辑推理的。

3.反证法的理论

3.1反证法的原理

反证法是从命题的反面出发，通过否定结论作出假设，利用原命题的已知条件以及一些真理、定理等来推理得出假设的谬误之处，从而说明原命题为真。即如果原命题“若则”，则假设“若，则非”，证明得到“若，则非”为假，从而得出“若则”为真。

其逻辑依据是利用了亚里士多德的形式逻辑当中的基本的思维规律，即“矛盾律”和“排中律”产生的。

（1）矛盾律

矛盾律又称不矛盾律，是传统逻辑的基本规律之一，是指人们处于相同的思维过程当中，对于两个矛盾或者反对的论断并不能同时承认他们两个都是真命题，其中至少存在一个是假命题，假如违背了矛盾律的要求，则会导致前后思维的不统一，会产生自相矛盾的结果。其公式经常被表示为必不非（一定不是非）或者“不即又非（不能即是又不是）”譬如这两个命题：“我的矛可以刺穿世间所有的盾”；“我的盾可以抵挡世间所有的矛”。这两个互相矛盾的判断，两者不能同时为真。

（2）排中律

排中律也是传统形式逻辑的基本规律之一，是指在相同的逻辑思维当中，对于两个命题不可以同时都为假，其中必然有一个是真的。其公式经常表示为“或者非”。如果违背了排中律，就会使得命题不明确，既不是真的，又不是假的，会使得命题模棱两可。譬如“有些罪案是故意的”；“有些罪犯不是故意的”这两个命题不可以同时加以否定。

3.2反证法的分类

在通常情况下，反正法经常被我们分为两大类。

第一类为归谬反证，归谬证明是反证法证明的核心部分，依据反证法的逻辑原理，如果原命题的反面仅有一种情形，那么只需要将这一种情形驳倒，就可以实现反证的目的，这就是所谓的归谬反证[5]。

第二类为穷举反证，就是假如原命题的反面不仅仅只有一种情况，那么就需要将其逐个驳倒，才能间接证明原命题的成立，这就是所谓的穷举反证[5]。

需要注意的是要正确识别归谬法与类比法，虽然归谬法与类比法的论证模式几乎相同，但论证的过程并不完全相同。相比于归谬法，类比法的推理过程比较容易，直接通过个别导出个别。

4.反证法的应用

反证法作为一种常见的数学证明方法，经常应用于从正面难以得到结论的题型，使用反证法就会使得问题变得清晰明了，快速地给出问题的答案。

4.1“否定性”命题

假如命题的结论是以“没有”、“不能”、“不是”、“无”、“不存在”、“不可能”、“不能表示为”等词语的形式表现，其运用直接证明的方法难以进行下去，则通过反证法用来证明可以使命题变得简单。

例1  证明函数不是周期函数。

分析：此题含有词语“不是”，属于否定性命题。题目看似简单，但从正面入手比较复杂，而利用反证法通过将“不是”反设成“是”，会使解题思路简单明了。

证明：假设是周期函数，且是的周期。

则对任意的实数，有，

即，

取，得，

∴       ①

又取，有，

∴     ②

将①带入②得，与产生矛盾。

∴不是周期函数。

小结：关于否定性命题，如果直接从正面出发进行证明会比较困难，则需要从逆向思维入手进行反设证明会更加高效。对于原命题中的“不可能”反设成“可能”；“不是”反设成“是”；“无”反设成“有”；“没有”反设成“有”；“不存在”反设成“存在”等等。

4. 2“唯一性”命题

对于唯一性命题的结论通常含有“唯一”，“只有”，“有且仅有”等词语的形式表现，其运用直接证明的方法总是比较困难，通常利用反证法。

例2  有且仅有一个根。

分析：此题中含有词语“有且仅有”，属于“唯一性”命题，对命题的结论进行反设时需要考虑“有根”和“至少有两种根”这两种情况，而根所对应就是零点问题，再进行求解。

证明：令，可以知道在上是增函数。

假设在上没有零点或者至少有两个零点。

若在上没有零点，而，则根据函数的单调性可以得到在之间有一个零点，这与假设矛盾。

（2）若在上至少有两个零点，设这两个零点为，（）。

根据假设可知，则根据函数的单调性可以得到，这与假设矛盾。

综上所述，假设错误，即在上有且仅有一个零点，即原命题成立。

小结：对于唯一性命题，需要具体问题具体分析，根据题设进行分析，做出正确的假设，在进行推理论证。例2证明“有且仅有一个根”需要假设成“存在两个根”，而对于一些已知不明显的题目，则需要根据题目进行分析写出已知求证。

4. 3“限定性”命题

所谓限定性命题，就是命题中出现譬如“至多”、“至少”、“最多有”、“最少有”、“不多于”、“大于（小于）”等词语的形式表现。对于这类命题，反证法是最佳的解题方法，需要注意的是这类题目不太容易做出否定，所以要根据题目认真思考做出合理的反设，在进行解题。一些常见反设如下表 1。

例3  设，，则与中至少有一个不小于2。

分析：此题含大于号，属于限定性命题。除“正数”的限定条件外，关键在于“至少有一个”的限定。解题时可反设为“全都小于2”进行推理，得出矛盾。

证明：假设且，

则有    ①

又∵，，

∴与①式矛盾。

因此假设不成立，故与中至少有一个不小于2。

小结：对于限定性命题也可称为不等量命题，就是含有一些不等式的数学证明题目，这类命题经常需要采用逆向思维可以简单地得到问题的答案。例3中的所要证的结论与条件之间的联系并不明显，所以由条件推出结论的条件不够清晰，于是需要采用反证法。

4. 4基础命题

所谓基础命题，指的是数学证明中的基础性问题，其含有一些定理、公理和一些所学知识的起步阶段中的一些常识和某些基础命题。在数学中，由于这类命题所给的已知条件并不多，且所能利用的公理并不多，所以难以从正面给出简单高效的解题方式，因此可通过反正的方式进行证明。

例4  证明圆内不是直径的两条弦不能互相平分。

图 1

分析：此题题意简单，从常规思维入手解题时所能借助的定理有限，属于基本命题。可以从反面思考将“不能互相平分”，反设为“互相平分”。

证明：如图1，假设所示的圆内直径與互相平分交于点。

∵在四边形内，对角线与互相平分交于点，

∴四边形是平行四边形。

又∵四边形为圆内接四边形，

∴与互补。

又∵平行四边形的对角相等，

∴，。

∴为直径，则与假设产生矛盾。

故圆内不是直径的两条弦不能互相平分。

小结：对于基本命题，由于推导过程中所能用的定理、公理等较少。选择反证法是一个高效的方法。

5.结论

反证法作为一种间接证明的数学方法，是在某些题目从正面解答会变得困难甚至有可能解决不了的时，所采用的一种高效简洁的方法。然而在日常的教学中，反证法教学也存在一定的难度。比如证明平行四边形对角线互相平分。倘若利用反证法，存在着困难。而根据常规思路，结合全等三角形的性质，证明三角形全等，即可解题。所以在面对题目时，要结合实际情况，合理运用反证法。

参考文献：

[1] 李朵.反证法在中学数学中的应用及教学研究[D].西安：西北大学，2018.

[2] 段耀勇，杨朝明.反证法的历史沿革[J].武警学院学报，2003（04）：86-88.

[3] 马多贵.反证法在初中数学解题中的应用探讨[J].学周刊，2020，12（12）：96-97.

[4] 陈鑫源.反证法在数学中的应用研究[D].江西科技师范大学，2018.

[5] 韩硕.反证法及其应用的探讨[J].经贸实践，2018（02）：335-336.

作者简介：陈悦（2001— ），女，陕西咸阳人，安康学院数学与应用数学2023届毕业生，西安科技大学硕士研究生，研究方向：数学教育与数学应用；赵临龙（1960--），男，陕西西安人，安康学院二级教授，研究方向：数学教育.