具有“挑战性任务”的数学问题链的教学案例设计尝试

2024-03-19徐瑷杨凯凡赵临龙

科技风 2024年7期

徐瑷杨凯凡赵临龙

陕西理工大学数学与计算机科学学院陕西汉中 723001

摘要：问题链教学通过一个个问题合理分解教学目标，引导学生自主学习，有利于学生进行深入的数学思考，有关挑战性任务的研究可以为问题链的设计提供依据。文章阐述了数学挑战性任务和问题链教学的关联以及设计挑战性问题链的关键点，通过对“确定二次函数表达式”的教学实践探索，阐述了关于挑战性任务的问题链设计的思路及实施要点。

关键词：挑战性任务；问题链；二次函数

一、数学挑战性任务与数学问题链教学的关联

数学挑战性任务指在数学中需要深入思考，对学生认知要求高的任务，核心目标指向对学生高阶思维能力的培养，如对信息的分析综合能力、评价和创造能力。采用“挑战性任务”的数学课程，以实际问题为主驱，以对知识的积极投入、建构与创新为手段，强调将学生知识内化、知识运用与数学高阶思维的提升。“挑战性目标”让教学从学科走向学生，“挑战性内容”让教学从单一走向多元，“挑战性流程”让教学从“主导”转向“合作”。学习者可以在挑战性学习中挑战自我，实现各种身心发展与能力提高。[1]

问题链教学是教师以教学目标为指引，根据教学中的知识关联，提出一系列具有逻辑连接的问题链，将教学目标分解成一连串小目标，使学生在自主探索解决问题的过程中掌握知识、锻炼能力的教学方法。在数学教学中，培养高阶思维以问题为载体，设计的问题链可以有效引领学生思考，外化思维过程，在问题链指导下思考和解决问题的过程中，高阶思维也得到了有效发展。[2]

数学挑战性任务与问题链教学都旨在追求对学生深入的数学思考即高阶思维能力的培养。第一，挑战性任务具有复杂性、综合性，适度的挑战性既可以保证任务对学生具有吸引力也能通过问题解决过程实现学生发展。第二，数学问题链为学生进行深入的数学思考提供载体，发展学生的数学学习能力、思维能力。教师可将挑战性任务通过问题链呈现，促进学生积极进行思维活动，锻炼学生的高阶思维能力，为挑战性任务的落实提供路径。数学问题链教学，是一种构建知识联系、发现数学本质、完成挑战性任务，从而激发学生深入思考、落实核心素养的培育的方式。[3] 因此，基于挑战性任务设计数学问题链值得关注和研究。

二、基于挑战性任务设计问题链的关键点

（一）明确教学目标，做好课堂预设

第一，教师要对数学挑战性任务进行剖析，确定符合学生认知水平且学生能最大限度获得发展的教学目标。以学生现有知识水平为出发点，以教学目标达成为终点设计问题链。问题链间应有明确的逻辑联系，在教学活动结束后形成由浅入深、层层递进的探究体验。第二，预设就是根据一定的事实材料、经验和理论知识对实践活动的策划、规划、预测、设计等活动。[4]设计问题链时，不仅要考虑每个问题的价值及想要达成的效果，还应充分预设学生的回应。学生在解决问题时可能会选择不同的方法，这要求教师自己經历多种解决问题的路径，做出多种预设。课堂上，学生可能很快提出解决方法，也可能迟迟找不到突破；可能出现多种思路，也可能想法单一。教师应提前做好预案，使学生持续思考并保证课堂效果。

（二）依据最近发展区，合理设置问题难度

维果斯基将学生现有水平与学生可能达到的水平之间的差异称为最近发展区。即教学目标要符合学生现有水平，也应符合学生的最近发展区，使学生在可能范围内获得最大的发展。在基于挑战性任务设置问题链时，问题需具有一定难度，是学生必须认真思考、探索总结后才能解决的，经历这样的“挑战”，才能发挥对学生高阶思维能力的提高作用。但若问题难度与学生现有知识水平差距过大，超出最近发展区，即使在教师引导下勉强完成任务，新知识也很难与学生已有知识建立联系，起不到锻炼学生思维的作用。因此，在设置问题链时，可利用主干问题将任务分层，各问题间留有一定的思考空间，在主干问题之间设置辅助问题，在学生无法自主解决时进行适时引导，这样既给学生留下了充足的发展空间，也保证学生能通过努力解决问题。

（三）发挥学生学习主动性，引导学生自主探索

在传统的教育模式里，学生学习处于被动接受的地位，单方面的知识传递不利于学生创造力、想象力以及学习主动性的发展。因此，应注重培养学生自主学习的能力。首先，在设计问题链时，可以通过生活情境等与学生联系紧密的挑战性问题吸引学生的注意，激发学生解决问题及探索的欲望。其次，在探索过程中，对于基础的、挑战程度不高的问题，鼓励学生独立思考探索解决问题；对于考察要求较高、挑战性较大的问题，可通过集体讨论、共同实验等团体探索的形式进行解决。既可以培养学生独立解决问题的能力，又可以锻炼学生沟通表达的能力、培养团结协作的意识。最后，在教学中，教师要懂得适时放手，给学生观察、操作、讨论的机会使学生从内心产生求知的欲望，学生的内在需求更能调动自身各项特长与潜能，在完成挑战性任务的同时也获得了自身的发展。

（四）考虑学生差异性，设置辅助性问题

陶行知先生说过：“教什么和怎么教，绝不是凌空可以规定的，它们都包含‘人的问题，人不同，则教的东西、教的方法、教的分量、教的次序都跟着不同了”。[5]首先，在面对挑战性任务时，教师应该根据学生的实际认知水平确定该任务的学习目标。设置启示性问题引导学生将挑战性任务与已有知识联系起来或提示可选择的探究方向与方法；同时设置拓展性问题，若大多数同学都能完成挑战性任务，展示拓展性问题对学生提出更高的要求。其次，班级中不同学生有不同的知识结构和学习水平，教师应密切关注每个学生的表现。有的同学能快速组织调动已有知识结构并探索出问题解决办法，此时教师可针对性地提出辅助问题，如：“你能想到多少种解决办法？不同的办法有什么特点？”，增加学生探索过程的深刻性。当然，也有面对问题局促茫然、无从下手的学生，教师可适时提供更加具体的提示问题，让学生参与到问题解决的探索中来，保证每个学生都能在解决问题的过程中有所收获。

三、《确定二次函数的表达式》教学案例

《确定二次函数表达式》是北师大版教材中九年级下册第二章“二次函数”第三节内容。

（一）内容分析

二次函数是初中数学中十分重要的一部分，在本节内容之前学生已经学习了二次函数的表达式、图像以及性质，求二次函数表达式是在了解函数表示形式及函数图像性质的基础上展现的，同时也为二次函数实际应用奠定基础。在本节课中，学生需要把握数形结合的思想，在实际的问题中抽象出数学模型并根据题目条件灵活运用待定系数法求解二次函数表达式。

（二）问题链设计

1.提出挑战性问题，设置辅助问题，引导学生联系已有知识

挑战性任务的设置是依据学生的认知水平而确定，其中包含了学生已有的知识基础，但学生无法轻松解决。该任务能引导学生根据题设条件回忆已有的知识和经验，引发学生的认知冲突。经过对问题的分析过程，能锻炼学生识别、定位已有知识和经验的技能，提高学生完善认知体系的能力。

问题1（挑战性任务）：如图一个隧道入口横截面是抛物线，入口底部宽8米，隧道两侧各有一盏灯，灯的高度距地面4米，两灯之间水平距离为6米，隧道口的最大高度多少米？

问题1-1：针对以上问题你能想到什么数学内容？有什么解决这个问题的办法？

问题1-2：如果要运用抛物线的性质解决问题，针对未知的函数，怎么去求函数表达式呢？

问题1-3：回忆学过的两种函数，在求反比例函数以及一次函数表达式时，待定系数法有哪些步骤？

设计意图：本节课以问题解决型的数学挑战任务开始，该任务对于多数学生而言具有挑战性。问题以生活化情境呈现，学生需要分析问题并结合已有知识从中抽象出数学模型。问题解决方法多样，学生需要花费大量时间确定解决路径及步骤。

问题1-1的设置旨在使学生建立与所学内容的联系，体会生活与数学的紧密关联。学生独立思考后，部分学生会提出初步的想法，但也会有大量学生表示毫无头绪，辅助问题1-2将难度分解，提示学生思考的方向。问题1-3回顾待定系数法，通过类比为本节课求解二次函数表达式做准备。

2.不同情况探究比较，加深学生思维深度

围绕同一知识点设置不同形式的问题，学生在解决问题过程中需要进行知识的迁移，通过类比进行已知到未知的推理。单独完成对每个小问题的解题后，对不同情况进行比较总结，形成对该部分内容的整体把握。经历这部分探究，提高了学生对知识技能的迁移能力、已知到未知的推理能力以及建立解题模型的能力。

问题2：二次函数表达式有几种形式？请尝试求出以下情况中二次函数表达式。

问题2-1：抛物线图像过（1，0），（2，0），（3，4）三点，求抛物线的表达式。

问题2-2：抛物线顶点是A（4，1），并且经过点B（2，0），求二次函数的表达式。

问题2-3：抛物线的图像过点A（1，3）、B（-2，-6）且对称轴是，求二次函数的表达式。

3.展示思维过程，讨论辨析，发展表达能力和批判性思维

学习过程中学生的数学表达和总结能力不可忽视，讨论过程中不仅锻炼了学生数学表达能力也提高了分析总结的水平，有利于高阶思维能力的固化。问题3是对问题2的整理总结，通为学生提供交流合作的机会，学生通过语言梳理思路并外化。讨论过程结束后，教师可根据讨论情况引导学生做出整理，帮助学生实现新知识建构。同时，批判质疑思维也具有重大意义，学生通过分析和判定过程与结论是否正确，促进学生的批判性思维发展以及独立思考，增加学习的动力。

问题3-1：你和其他同学求表达式的方法一样吗？请同学们四人一组，展示自己的求解过程并说明理由。

问题3-2：你觉得其他同学的方法正确吗？

4.多种方法解决问题，锻炼学生分析问题的灵活性

同一问题采用不同的解决办法会经历不同的难点。因此引导学生选择不同方案解题并进行分析对比，让学生养成对问题条件的深度分析意识，灵活选取合适便捷的思路，避免思维定势的影响，提高学生思维的灵活性。

问题4（重新展示挑战性任务）：在这个问题中你会如何设立坐标系，怎么确立更便于确定函数表达式呢？

问题4-1：以A为原点设立坐标系，其他几个点坐标如何表示？并用待定系数法求出函数表达式。

问题4-2：以C为原点设立坐标系，其他几个点坐标如何表示？用待定系数法求出函数表达式。

问题4-3（拓展性辅助问题）：以上哪种做法比较简便？你能想到更简便的做法吗？

设计意图：问题4重新回到挑战性任务，教师需根据课堂状态选择问题呈现，若大部分学生对问题解决有了明确方法，则问题4-1与4-2可以不做集体呈现，将其有针对性作为辅助问题提供给迟迟没有动作的学生。若问题4-1、4-2没有集体呈现，学生设置坐标系可能出现其他形式，问题4-3在呈现时可做适当调整，教师引导学生进行整理比较，体会不同方法的选择依据和优点。

5.形成完整解决方案并应用于新问题，提高学生决策能力及问题解决能力

学生经历一系列探究后，能分析题中解决问题所需的信息，建立信息间的联系，制定最优的解决方案，提高解决问题时的决策能力。对于新的问题，学生通过解释相关信息，辨别各类情况的关联和差异，完成对所学知识和技能的迁移，锻炼学生辨析和解决问题的能力。

问题5：现在你能选择合适的办法计算出隧道口的最大高度了吗？有几种方法？

问题6（巩固+检测）：请同学们尝试用多种方法解决以下问题。

李大叔建一个蔬菜大棚如图所示，大棚横截面为抛物线，尺寸如下图。

（1）求抛物线表达式；

（2）李大叔身高180cm，要想在大棚内不弯腰活动，求他的横向活动范围是多少米。

（三）小结

“确定二次函数表达式”问题链的设计以学生已有认知结构为基础，按照6个主干问题展开，部分问题下设有辅助问题。主干问题将挑战性任务分解，为学生搭建解决问题的脚手架，辅助问题根据课堂情景呈现，在必要时促进学生自主思考。在教学过程中，挑战性任务借助问题链灵活培养学生完善认知体系的能力、建模能力、问题解决能力和决策能力等中学生高阶思维能力。因此，基于挑战性任务的问题链设计对培养中学生高阶思维切实有效。

参考文献：