例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用

⦿ 湖北江汉大学数学与大数据系 周 岭 许 璐

基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目“基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究”,项目编号为KYCXJJ202350;教育部产学合作协调育人2022年第一批立项项目“基于Python的大数据分析与应用课程混合教学模式探索”,项目编号为220506627242057.

著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.所谓“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果.下面将结合高考数学试题实例,分析说明“数形结合”思想在解决问题中的作用和简捷.

1 数形结合思想在解析几何中的应用

例1(2023年全国新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=( ).

分析：此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得sinα的值,但是计算相对复杂.

解析：依题意,圆的方程可化为(x-2)2+y2=5.

图1

设过点P的两条切线为PA和PB,则∠APB=α,可得

分析：此题常见解法是设出点A,B的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A,B的坐标,进而得出双曲线C的离心率.这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算.

由双曲线的定义,得|AF1|=|AF2|+2a=2x+2a.

如图2,在△F1AF2中,由余弦定理,可得

图2

整理,得5c2=9a2.

点评：这类题目考查了学生“数学抽象”的核心素养.解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义、公式即可快速解题.

2 数形结合思想在立体几何中的应用

例3(2022年新高考I卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则( ).

A.直线BC1与DA1所成的角为90°

B.直线BC1与CA1所成的角为90°

C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

分析：此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐.

解析：选项A,B的判断略.

图3

因为C1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD的夹角,易得∠C1BC=45°,故选项D正确.

综上所述,此题选:ABD.

点评：本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角、直线与平面的夹角,是对学生“逻辑推理”“直观想象”核心素养的考查.此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取“传统”方法,结合图形并运用立体几何、三角函数相关知识,即可快速、直观作出判断.

3 数形结合思想在函数中的应用

例4(2021年全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则有( ).

A.abC.aba2

分析：此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂.如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[1].

解析：若a=b,则f(x)=a(x-a)3为单调函数,无极值点,不符合题意,故a≠b.

所以f(x)有x=a和x=b两个不同零点,且在x=a附近左右两侧不变号,在x=b附近左右两侧变号.

因为x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,所以f(x)在x=a附近左右都小于0.

①当a<0时,由x>b,f(x)≤0,画出f(x)的图象如图4所示.由ba2.

图4

②当a>0时,由x>b,f(x)>0,画出f(x)的图象如图5所示.由b>a>0,得ab>a2.

图5

综上ab>a2成立.故选:D.

例5(2021年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(1,0),P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),则( ).

分析：此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷.

图6

例6(2021年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( ).

A.eb

C.0

分析：此题要求作出曲线y=ex的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确.

解析：作出y=ex的图象.

易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y=ex的下方和x轴上方,如图7,即b

图7

但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图8.所以点(a,b)需在y轴上方,即b>0.

图8

综上,可得0

综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算、提高解题效率的作用.因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[2],从而达到数学抽象思维具象化、发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的.