“问题串”在高中数学教学中的应用

⦿ 江苏省苏州市吴江区平望中学 丁莉萍

“新课标”在“以人为本”的理念下提倡:“教学过程中应设计一系列问题来支撑学生的学习,帮助学生更好地成为学习的主体,让学生在问题的探索中实现自我成长.”问题串是指围绕一个教学主题,遵循一定的逻辑,由浅入深地设计出一组问题.从简单到复杂、逐层递进是它的主要特点,学生的思维随着问题的逐渐深入,实现从识记、理解等低层次向综合分析、评价等高层次发展.

1 目标明确,主题突出

任何教学设计都需要有明确的目标,并与学生实际相结合,紧紧围绕教学重点与难点进行.同样,在设计问题串时,也应在教学目标的指导下,结合学情与教学内容进行设计.随意的问题不仅缺乏针对性,还存在概念不清、拖泥带水的情况.因此,每一个问题都要有明确的针对性,以帮助学生深刻理解知识的内涵,达到辨析概念、完善认知的目的.

案例1“三角函数”的概念教学

概念是基础,是教学的重中之重.学生对这部分内容已有接触,存在一定的基础.课堂导入环节,笔者先带领学生回顾与三角函数相关的知识,以唤醒学生的记忆.在学生对这部分知识产生了探究兴趣后,笔者围绕本节课的教学目标,有针对性地设计出以下问题串:

问题1如图1,点A在锐角α的终边上,假设点A(x,y),OA=r,分别求sinα,cosα,tanα.

图1

问题2如图1,点A1在锐角α的终边上,假设点A1(x1,y1),OA1=r1,分别求sinα,cosα,tanα.

问题3这两问中的比值存在什么样的关系?

问题4扩大角α的范围,若角α的终边分别落在第二、三、四象限内,此时对于任意的角α,sinα,cosα,tanα该怎么定义?

问题5如果以坐标原点为圆心,单位长为半径的圆(单位圆)与角α的终边相交于点A,此时以上定义中的比值会发生怎样的变化?

这几个问题目标明确、针对性强,完全以教学目标为问题串设计的核心,学生的思维随着问题串的深入而深入,这对有效教学的形成具有显著的帮助.学生对这几个问题的思考与分析,都是紧扣教学目标而进行的,随着问题的逐个突破,也就实现了教学目标,完成了教学任务.

2 由浅入深,凸显层次

新课标引领下的高中数学课堂尤其强调教学的层次性,它是指在教学活动中,由于学生层次水平不同,教师结合学生的实际情况制订不同的教学方法,并通过不同的评价实现每个学生的发展.问题串的设计也要与“层次性”挂钩,班级学生个体水平不可能都处于同一层次,教师在设计问题时,可根据学生的实际水平与知识的难易程度设计出阶梯性的问题串,让学生的思维随着阶梯逐层递进,达到螺旋式上升.

案例2“水轮问题”的教学

如图2,这是一个半径为4 m的水轮,圆心O与水面的距离为2 m,若水轮每分钟逆时针旋转4圈,从水轮上的点P浮现出水面(图中点P0)开始计时.

图2

(1)用时间t表示点P与水面的距离z.

(2)点P在旋转过程中,第一次到达最高点,约需多少时间?

师:水轮每分钟逆时针旋转4圈,具体代表什么意思?

生1:它是指在一分钟之内,水轮逆时针转动4个圆周长或4个周角.

师:可以拿什么与它进行类比,它所反映出的实质是什么?

生2:可以拿速度与它类比,其实质是转速.

师:怎么求转速?

生4:如图3,过点P作水面的垂线,H为垂足,本题所求的z=HP.

图3

师:想求HP,在点P作匀速周运动时,我们可以怎样刻画这种运动过程?由此你们能联想到什么?

生5:点P的运动可用∠POP0来刻画.

师:如何计算∠P0OP?(注意点P0起始时间.)

师:除了用角度来刻画之外,还有其他方法来刻画点P的运动吗?

生7:可以尝试用坐标来刻画它的位置.

师:哦?该怎么建系呢?

生8:如图4,可以圆心O作为坐标系的原点,水平线作为x轴,过点O画y轴建立平面直角坐标系.

图4

师:如此建系具有怎样的好处?

生9:更便于表示角,方便利用三角函数来解决问题,点P的位置可以用∠xOP刻画.

师:这两种刻画方式存在一定的内在联系吗?

师:HP的表达式该怎么求?

生11:如图4,假设PH与x交于点M,把PH视为有向线段,则HP为有向线段MH和PM之和,也就是HP=HM+MP,则z=HP=2+y=2+4sinα,α=∠POP0-∠xOP0.

师:那么∠xOP0怎么求呢?

不难发现,此过程教师所提出的问题,具有明显的层次性.由浅入深的问题,符合各个层次水平学生的认知,每个学生都在问题串的诱导下,经历了激励、唤醒与鼓励的过程.思维也经历了从简单到复杂、拾级而上的变化与发展.三角函数模型y=Asin(ωx+φ)+k在多个具体问题的引导下建立,这让每个学生对函数中的A,ω,φ,k都产生了深刻理解,实现了课堂的有效教学.

3 结合生活,灵活应用

众所周知,数学源自生活,而又服务于生活.问题串的设计也应以学生的生活经验为出发点,结合学生的认知与教学内容的特点,设计出具有时代气息,与生活实际息息相关的问题,激发学生的探究欲,让学生遨游于问题中,感知知识在生活实际中的灵活应用,体悟学习的现实意义与价值.

案例3“平均变化率”的教学

这是一个抽象的问题,教师不管讲多少内容都没有将知识运用到生活实际中来得直观形象.因此,笔者引入两个学生所熟悉的生活情境,并以此设计了相应的问题串,以激发学生的兴趣,深化学生对知识的理解.

情境1过山车在4 s内将速度从0 km/h提升到190 km/h,并用8 s的时间冲刺到了139 m高的地方,再耗费20 s穿过100 m的水平轨道.

情境2我们生活在一个充满变化的世界中,如每天的气温都在发生着变化,表1展示了某地3,4月份几天最高气温的情况.

表1 单位:℃

师:情境1中存在哪些变量?

生1:时间、速度与位移,这三个量在不断地变化.

师:速度发生了怎样的变化?

生2:速度在前4 s由慢到快,在后20 s由快变慢.

师:非常好,这就是运动中变量的变化.现在我们再来看情境2,如图5,此为3月18日到4月20的气温变化图,从中你们发现了些什么?

图5

生3:日期一共有34天(用横轴表示),温度用纵轴表示.前半段气温变化比较平缓,后半段气温上升速度较快.

师:很棒!那我们该怎样刻画这两个情境中所出现的变化快与慢的问题呢?

(学生讨论.)

总之,学起于思,思源于疑.问题在课堂教学中随处可见,而逐层深入的的问题串则能有效地激发学生持久的探究兴趣.值得注意的是,教师不能只接受自己所期望的答案,而应鼓励学生勇敢地、大胆地表达自己的想法,以增加学生的思维量,使得每个层次的学生都能在问题串的引导下,获得良好的学习体验.