关注数学思想方法 打造高质魅力课堂

⦿ 甘肃省静宁县文萃中学 李双伟

随着教学改革的不断深入,大多教师已经充分认识到,在高中数学教学中若继续搞“灌输”已经很难让学生在数学方面有所突破.众所周知,数学题目多变,如果学生不会用数学思维去思考,而是单凭机械的模仿是难以顺利解决问题的,数学成绩也难以提升.因此无论是为了提高数学成绩,还是培养学生的数学思维品质,数学思想方法的教学都势在必行.其实,大多教师之所以热衷于数学知识教学,是因为数学知识看得见,能够用练习、考试进行检测,更易于操作.然数学思想属于一种隐性知识,是难以通过强化训练来提升的.另外,学生何时能够掌握,何时能够灵活运用都没有规律可循,只能在平时教学中慢慢培养,慢慢渗透.那么,在教学中数学思想方法到底应如何渗透、如何落实已成为一线教师关注的重点话题,笔者也谈了几点浅见,供借鉴!

1 教学现状

对于学生,谈起数学思想方法,能够知晓数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想等重要数学思想方法,然并未真正理解其本质,在数学学习中也难以灵活运用.在教学中,有的教师会在解题时告诉学生此题会涉及哪些具体的思想方法,然解题时却强调结果,学生并未感受到数学思想方法与具体问题的直接联系;也有教师确实比较重视数学思想方法的培养,为此在解题过程中会重点强调,然而在日常的新知教学中,为了赶进度、扩容量,往往忽视了数学思想方法的渗透,使得数学思想方法与日常教学脱节;还有教师直接以专题的形式进行数学思想方法的培养,而数学思想方法是隐藏于数学知识之中的,需要学生慢慢感悟,过度的强调未必能够取得实质性的收获,反而容易让学生产生挫败感,不利于学生发展.

案例1若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+……+lna20=______.

这是一道高考题,教师认为本题比较简单,于是直接给出了解题过程:

由等比数列,可知

a1a20=a2a19=……=a9a12=a10a11=e5.

记S=lna1+lna2+……+lna19+lna20,则有

S=lna20+lna19+……+lna2+lna1.

所以2S=20ln(a1a20)=100.故S=50.

至此本题讲解完毕了,但到底为什么这么做?学生一头雾水,只是惊叹于教师的奇思妙想,却难以将其转化为自己的解题能力.这样灌输式的讲解模式缺乏思维的灵魂,让学生感觉不适,降低了课堂的参与度,课堂气氛沉闷.本题对于教师来讲是简单的,但对于刚接触这类问题的学生来讲是抽象的、复杂的.学生真正的理解需要教师不断的引导和渗透,只有教学中让学生先经历一个由特殊到一般的过程,学生才能真正地理解知识、掌握知识、运用知识,进而有效地避免机械照抄照搬所带来的思维定势,使思维更具灵活性.

对于以上问题,教师不应急于给出答案,而是应先通过简单的实例让学生理解倒序相加法.例如,可通过等差数列引入,让学生自己归纳出等差数列中倒序相加的类型,引导学生将总结的经验自然迁移到等比数列中来,通过对应思想方法的渗透让学生既知其表象,又懂其实质,以此培养思维的深度.另外,本题讲解后,教师也不应急于下面的讲解,可引入一些变式题目让学生进行强化练习,进而加深对知识的理解.

从上面的教学可以看出,教师在课堂上缺乏对数学思想方法的挖掘,仅仅是就题论题式的讲解.这样学生难以掌握问题的本质,日后解决此类问题时还是会感觉无从下手.因此,教师对数学思想方法的教学不能流于形式,而是要深入问题本身去挖掘,只有这样才能有效地发展学生的数学思维.

2 培养策略

数学思想方法是随着认知结构的发展而变化的.随着数学知识和学习能力的增长,学生的认知结构不断得以完善和优化,学生对数学思想方法的认识和理解也呈现出螺旋式的上升模式.在开展数学思想方法教学时,应以学生认知为出发点,多引导学生去挖掘、体验、抽象和反思,进而让数学思想方法与数学知识融为一体.

2.1 在教学内容中挖掘

在数学学习中,大多学生认为会解题就是学会了数学,然解题并非数学学习的全部.其实,解题过程中往往蕴含着丰富的数学思想方法,而学生在学习过程中过多追求成绩,常忽视了数学思想方法的挖掘,因此对解题过程和解题方法的认识不深,影响了解题能力的提升.在教学中,教师应钻研教材,充分挖掘每个知识点、每道例习题、每个知识体系中所体现的数学思想方法,进而在日常教学活动中有目的性地进行渗透,让学生可以自发地理解数学知识中所蕴含的思想方法,可以更好地用数学思维去思考和解决问题,使数学思维螺旋性上升.

2.2 在基础知识中渗透

其实,很多概念、定理、公式等基础知识本身就蕴含着数学思想方法.如:诱导公式中蕴含着化归思想;立体几何点、线、面的位置关系中体现了转化思想.然在教学中我们往往重视应用这些基础知识去解决问题,而忽视了数学思想方法的抽象和提炼,浪费了许多教学数学思想方法的机会,影响了学生数学思想方法的培养.因此,在日常教学中,要将数学思想方法渗透于基础知识的教学中,帮助学生更加深入地掌握数学知识.

案例2三角函数的定义.

在三角函数概念的教学过程中,首先应复习初中阶段关于锐角三角函数的相关内容,诱发学生思考是否可以用角的终边上某个点的坐标来表示锐角三角函数,引导学生用数形结合的方法开展新知探究,将数形结合思想渗透其中.在教师的带领下,师生共同探究,给出如下分析过程:

如图1,设α是任意角,其终边与单位圆的交点P的坐标为(x,y).

图1

结合图形,学生得出如下结论:

y叫做α的正弦,即cosα=y;

x叫做α的余弦,即sinα=x;

根据以上结论容易发现,对于确定的角α,上述几个值是唯一确定的,便于引出定义.对于“r=1”的选择,体现了特殊化的数学思想.接下来,教师还可以引导学生将锐角三角函数与任意角三角函数进行对比,进而培养学生类比的思想方法.这样将数学思想方法自然地渗透在概念的教学中,学生通过类比、迁移、联想、归纳总结,抽象出了定义.

2.3 在变式教学中提炼

变式问题往往具备一定的目的性,借助问题的引导可以让学生自主发现蕴含在数学知识中的规律,凸显问题的本质,培养思维的广度和深度,提升学生的数学素养.

案例3如图2,O为平行四边形ABCD对角线的交点,E,F分别是OB,OD的中点,问四边形AECF是平行四边形吗?

图2

变式1如图3,将案例3中的“E,F分别是OB,OD的中点”改为“E,F为直线BD上的两点,且BE=DF”,此时四边形AECF是平行四边形吗?

图3

变式2如图4,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个点,G,H是对角线BD上两点.已知AE=CF,DG=BH,此时四边形EHFG是平行四边形吗?

图4

教师带领学生分析并证明了原题后,通过变式题目引导学生进行探究,进而发散学生的数学思维,让学生在变式题目中提炼数学思想方法.变式1较原题来讲,难度略有提升,原题中点E,F的位置是线段,而变式后是直线,显然扩大了知识范围,不过在原题的基础上,学生通过连结AC后,容易发现其与原题的本质相同,仍然可用原题的证明方法加以证明.变式2是在变式1的基础上进行的一般化拓展,让学生体会从特殊到一般的数学思想方法,有助于提高学生的数学思维品质.

其实,培养数学思想方法的教学策略并不局限于以上几种.例如可以引入数学文化素材,丰富数学知识的内涵,让学生更加清晰地认识和理解数学思想方法的发展过程,培养学生正确的数学观;还可以通过教学评价、教学反思,引导学生重视数学思想方法,自主总结和归纳出重要的数学思想方法;等等.总之,数学思想方法的教学应该具有一定的计划性和目的性.教师在教学中要结合教材、学情进行合理渗透,使知识与思想方法有机地融合在一起,让学生实现学习能力的全面提升.