大单元视角下概率与统计复习课的教学探索

方 茁 (邮编:230022)

安徽省合肥市第一中学教育集团合肥市第二十八中学

大单元教学是围绕真实性学习任务开展的,以学科大概念深化理解为学习目标,按学科研究过程的逻辑推理,将本单元中的知识点和学科实践活动整合为一体,以整体学习情境和整体学习任务为显性形式,以可视化作业的形式呈现学习成果,系统化、个性化地设计教与学的互动过程.数学复习大单元教学要有实效性,需要教师对教学进入深入的研究与思考,防止大单元教学流于形式,难易程度不当,偏离目标等,导致大单元教学失去意义. 本文以《概率与统计的综合问题》为媒,从简单的问题情境入手,层层推进,探索单元知识背后的数学规律和本质,以期对数学复习课教学有所启发.

1 教学案例

概率与统计综合问题这一单元,复习时需要串联起四个知识点的综合:样本与方差,概率与分布列,正态分布与分布列,函数与最值分布.各知识点之间呈现出由实践到理论,由具体到抽象的递进规律,复习课设计要体现出知识回顾到能力提升的目标.

1.1 样本与方差的综合问题

样本与方差问题属于比较基础的知识,复习课中先要回顾全部的概念、公式,总结以往学习中的难点和易错点,再以考题为例进行实践活动,总结提升.

例1(2023·新高考全国乙巻第19题)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如表1所示.

表1

表2

表3

解(1)由题意zi=xi-yi(i=1,2,…,10)的取值为:

所以甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．

跟综训练一为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识,使广大群众充分了解疫情防护知识,提高预防能力,做到科学防护．某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答,将他们的成绩(满分100分)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]这六组,制成如图所示的频率分布直方图．

图1

(1)求图中a的值,并估计这100人问答成绩的中位数和平均数;(同一组数据用该组数据的中点值代替)

(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本,再从样本中任意抽取2人,求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率．

思维升华样本平均数,方差的计算,以及给定判断条件下的样本关联对比,属于基础题．概率问题以计算为主,往往和实际问题相结合,要注意理解实际问题的意义,使之与相应的统计概念和概率计算对应起来．

1.2 概率与分布列的综合问题

在上一个统计实践的模块中,直观地对一些具体的量进行了统计规律分析和概率计算,把这些量一般化、抽象化,就是随机变量.从统计问题到随机变量的产生,就是从具体到抽象的思维提升.在一个实际问题中,需要计算随机事件(随机变量取一个确定值)的概率,根据计算的需要和事件关系的表达,又设出一些子事件(变量),再根据实际问题写出变量取值的分布列.事件之间的关系表达和概率计算是难点,期望和方差计算相对比较简单.

例2(2022·全国甲卷第19题)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局．三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率;

(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望．

解(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,类似于(1)中的事件表达,易算出P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.44,P(X=20)=0.34,P(X=30)=0.06.

则X的分布列为

E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.

跟踪训练二杭州亚运会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试,测试合格者录用为志愿者．现有备选题10道,规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为合格,已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的．若甲能答对其中的6道题,乙能答对其中的8道题．求:

(1)甲、乙两人至多一人测试合格的概率;

(2)甲答对的试题数X的分布列和均值．

思维升华概率与分布列等交汇是常见考查形式.求解概率问题时要明确所求问题所属的事件类型,把需要求解的问题归结到已知的概率模型,利用对应模型的计算公式,让思路更清晰,计算更准确．

1.3 正态分布与分布列的综合问题

正态分布是统计与概率进阶学习的重点,是统计推断的理论基础,在整个统计学的理论构建和应用中都处于核心的地位,所以围绕正态分布开展的理论和实践教学也就需要更加灵活.

例3“双减”政策,即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策,“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险,寻求发展制定科学方案,工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理,其中数据如表4所示.

表4

表5

表6

表7

表8

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移,为了深入了解当前学生的兴趣爱好,工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人,再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查,求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值;

①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数);

②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人,记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η,求η的方差．

P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827.

所以X的分布列为

(2)由题意得,

σ2=(4-8)2×0.15+(6-8)2×0.25+(10-8)×0.1+(12-8)2×0.15+(14-8)2×0.05=8,

跟踪训练三为推动更多人去阅读和写作,联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”,其设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民,这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位:岁)分组,统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．

图2

(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄;

(2)把年龄在[15,45) 内的居民称为中青年,年龄在[45,65]内的居民称为中老年,若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人,请完成下面2×2列联表,并依据小概率值α=0.025的独立性检验,分析阅读方式是否与年龄有关．

答案(1) 41.5(岁)．

思维升华高考常将正态分布与分布列等交汇在一起进行考查,解决独立性检验问题,要注意过好“三关”:假设关、公式关、对比关．求概率问题要准确判断事件对应的概率模型.

1.4 函数最值与分布列的综合问题

前面几个小模块分别复习了各种概率计算的方法和模型,观察发现“概率”是随机变量的函数,自然想到与函数的性态和最值综合起来.

(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值;

(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中,恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)．求p为何值时,f(p)取得最大值．

分布列为

(2)设一天得分不低于3分为事件A,

则恰有3天每天得分不低于3分的概率

图3

(1)求北干道的N1,N2,N3,N4四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率;

(2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及均值E(X);

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准,则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条?请说明理由．

思维升华解决这类综合题解决的前提是能正确求出概率,再结合函数求最值的方法求概率的最值.其中还需要合理地对式子化简变形,使之更适合求导或者其他求最值的方法．概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实,题型新颖,综合性增强,难度加深,主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力,并综合了代数推理和计算能力,是未来考查的重要领域和方向．

2 教学启示

大单元教学过程中,大单元教学设计比传统的单课时教学设计更具有挑战性,通过单元教学,教师的教学设计视野从单课时的微观范畴转向更为广阔的单元宏观范畴,能够从单元整体上把握教学目标、内容和方法. 教师不能照本宣科地“教教材”,而需要根据教材的特点,有重点地对相关性很强的知识进入深入浅出的归纳,这种归纳不是概念的重复和罗列,而是一种源于课本而又高于课本的知识凝练和提升.教师必须从教材中的小单元走出来,将其转化、重组或重新构建有利于学生数学素养提升的教学单元,“用教材去教”.从教学内容看,以一个“单元”为相对独立的教学单位,强调从单元这个整体出发设计教学,突出内容和过程的连续性和整体性;从教学目标看,在单元教学这个相对完整的过程中,三维目标的有机融合和有效落实问题逐步得以实现;从教学方法看,单元教学需要依据学生的认知特点和某个单元的教学内容,设计合理的,有一定思维梯度的学习的过程,注重阶段性和层次性,避免了传统课时教学的随意性和盲目性.

大单元教学以其多元整合,均衡协调的特点,在传统和现代之间找到了一条学科教学与活动教学兼顾的道路,做到了对教材的整体建构和延伸超越.大单元教学不仅能适合不同层次的学生,减轻学生的负担,激发学习兴趣,实现知识的螺旋式上升,还能训练学生的思维能力,提高学习效率和复习的实效性.