优化章末专题复习 促进深度学习发生——以“导数的应用—含参函数单调性的讨论”为例

李启梅 程龙云 (邮编:230051)

安徽省合肥市第一中学教育集团包河分校

在“三新”背景下,新课改正在如火如荼地进行着,对新授课的课堂教学改革的经验方法介绍在各种杂志上随处可见,对一种重要的课型——章末复习课的研究显得冰山一角．目前,章末复习课存在着以下现状:注重知识点梳理,忽视网络建构;注重解题教学,忽视方法的提炼;注重课堂知识传授,忽视学生思维的参与;注重全面复习,忽视重难点的突破．鉴于此,笔者以已立项的合肥市级课题“深度学习视域下高中数学函数教学的策略研究”为抓手,在深度学习视域下,对优化章末复习课的教学作了一系列的实践研究．

深度学习是新课程倡导的,能有效发挥学生主体性,促进对知识本质理解的有效策略,是基于理解的学习,是学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标,以整合的知识为内容,积极主动地、批判性地学习新的知识和思想,并融入原有的认知结构,且能将已有的知识迁移到新情境中的一种学习[1]．一般它具有以下五个特征:联想与结构、活动与体验、本质与变式、迁移与应用、价值与评价．下面以课题组打磨的一节《导数的应用——含参函数单调性的讨论》教学设计和实施过程为例,来剖析如何利用深度学习优化章末专题复习,不妥之处,恳请同行斧正!

1 优化前专题教学设计节选

环节一复习回顾

你能说说我们是如何利用导数判断函数的单调性吗?

环节二典例剖析

环节三巩固练习

(1)已知函数f(x)=x3-3ax2,a∈R,讨论f(x)的单调性．

2 专题设计优化探索

课题组对上述设计认真研讨后,找出以下三个改进的切入点:第一,三个典例的解答虽然覆盖了一元二次不等式常见的三种讨论,即其对应的一元二次方程根的大小、根的个数和二次项系数是否为0,但例题之间的关联程度不强,不利于知识和方法的整体建构;第二,典例是以例题呈现,没有问题变式的驱动,这样会弱化学生对知识本质的理解,深度学习很难发生;第三,环节三题量过多,高中课堂时间有限,无论是例题还是练习都要做到少而精．因此,本节课应从教与学两方面深度融合着手,在学生原有认知的基础上,采用问题变式来驱动他们的结构化思维,在深入探究中完成对知识和方法的整体架构,提升他们对知识迁移的能力．

3 优化后的教学呈现与设计说明

环节1任务导学引入

问题1你能用表格或框图画出本章知识结构图吗?

师生活动教师展示部分学生已梳理的导数知识结构图,并作相应的点评,简单梳理本章主要知识脉络．

设计意图布置课前知识梳理任务,促使学生自主进行知识点网络建构,发挥学生学习的主动性,为本节复习课作好基础知识上的准备．

环节2课本例题再现

问题2结合本题,你能说说我们是如何利用导数判断函数的单调性吗?

(1)师生活动教师提问,学生回答,师生共同回顾求三次函数单调性的一般步骤．教师强调求三次函数的单调区间其本质是解一元二次不等式,而解一元二次不等式最终落脚点为解一元二次方程．

设计意图通过课本例题再现,帮助学生回忆,夯实基础．强化求三次函数单调区间的一般步骤,理解求单调区间的本质,为后面讨论含参数的三次函数的单调性作知识和方法上的准备．

环节3课本例题变式

(2)师生互动教师引导学生明确问题指向:讨论函数的单调性,就是要求解函数的单调区间,学生先自主完成,教师巡视后提问本题解题思路．

问题分析f′(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)．令f′(x)=0,解得x1=-a,x2=2a,在解一元二次不等式时,由于a的不确定性,导致-a与2a的大小不确定,因而无法确定单调区间．由此需要对实数a分a>0、a=0、a<0三种情况进行讨论,即对导函数零点也就是导函数对应方程根的大小进行讨论．

设计意图在课本例题的基础上引入参数a,进行变式,参数影响着导函数零点的大小,影响区间的确定．导函数为一元二次函数,若能因式分解,将其写成乘积式,它的零点即为一元二次方程的根．这样设计的目的是让学生掌握含参一元二次不等式最简单的讨论,即它对应的一元二次方程根的大小的分类讨论．

追问求导后能因式分解吗?

(3)师生活动学生自主完成后交流,教师个别提问,师生补充完善．

问题分析因为f′(x)=x2-ax-2,△=a2+8>0,所以一元二次方程有两个根,导函数有两个零点,因而三次函数既有单调增区间也有单调减区间．

设计意图如果导函数不能因式分解,那么导函数是否有零点,需要用判别式来判断．若△<0,f′(x)>0,三次函数在定义域对应区间上是单调增函数,学生往往会忽视没有实数根的情况而漏解单调区间．这样设计旨在培养学生思维的严谨性,发展学生逻辑推理能力．

追问导函数是一元二次函数吗?

(4)师生互动教师提问解题思路后,学生板演,师生共同纠错,归纳总结．

问题分析易得导函数f′(x)=ax2-(a+2)x+2,当a=0,f′(x)=2x+2,导函数是一次函数;当a≠0,f′(x)=ax2-(a+2)x+2,导函数是二次函数;类比变式1和变式2的解法确定单调区间．

追问你能总结一下,我们是如何讨论含参函数单调性的吗?

设计意图在变式2的基础上,增设求导后对导函数二次项系数的讨论,在巩固对根的大小讨论的前提下,逐步爬坡;对有无实根的讨论;再到对二次项系数是否为0的讨论,完成对含参数的一元二次不等式全方位考察,呈现出对含参数的一元二次方程讨论的完整方案,即是否为一元二次方程;有无实数根,根的大小如何．以此来掌握讨论的标准,理解为什么要讨论,以达到对知识本质的理解．

环节4思维拓展提升

追问求导后你发现了什么?

设计意图巩固对含参数的三次函数求导问题讨论方法理解和应用,旨在培养学生的类比和知识迁移能力,优化思维品质．

环节5方法总结提炼

(1)本节课我们探究含参函数单调性的过程是怎样的?

(2)经过本节课的共同探究,我们将怎样讨论含参函数单调性?

(3)本节课的学习过程体现了哪些数学思想?你有哪些感悟?

设计意图用问题驱动学生对本节课的学习进行积极的反思,梳理学习路径,建构知识和方法体系,感悟数学思想方法在学习中的作用,学会用数学思想方法以简驭繁．

4 剖析优化后的专题复习教学

4.1 明确复习课的教学定位

复习课的目标是“温故”和“知新”．如何温故、如何知新,这是在制定复习课教学目标时的两大重要指标．进行新课后的章末复习,其目的是帮助学生搭建小型知识框架,重构知识和方法体系,突出重点,突破难点．为此,需要教师站在知识系统的高度,将零散的知识和方法编织成网,引导学生深度参与课堂,以此来深刻理解知识之间的整体关联,为核心素养的阶段性发展助力[2]．因而在内容选取上应遵循学生的认知和基础,结合课本知识的逻辑体系,引导学生主动内化,在旧知的基础上建构新知识体系,实行同化和顺应．在教学策略上,通过创设适当的问题情境,在问题的驱动下深入探究,在温故的基础上逐步运用知识解决综合或复杂的问题,以此来发展学生的核心素养,达到知新的目标．

1.地方政府的成本投入并非越多越好，盲目地增加成本投入以期加速被动房推广进程的方式是不可取的，对于成本投入应侧重于对开发商的经济政策补贴，但不可过度投入。

4.2 建构知识和方法网络体系

对含参数的三次函数和可化为含参数的三次函数单调性问题,本节课通过4个变式,以学生在初中掌握的含参数一元二次方程讨论为认知起点,实行了含参数的三次函数的单调性和可转化为含参数的三次函数的单调性、一元二次不等式和一元二次方程之间整体关联．勾勒出函数、不等式与方程之间的网络体系,建构了如下结构化思维的讨论路径:

4.3 促进深度学习有效发生

本节课教学过程的前四个环节,有效地促进了深度学习的发生,体现了深度学习的以下四个特征[3]:

(1)联想与结构．布鲁纳说:“掌握事物的结构,就是以允许许多别的东西与它有意义地联系起来的方式去理解它．简单地说,学习结构就是学习事物是怎样相互关联的.”在数学必修第一册中,学生已学习一元二次不等式的解法,初步掌握了含参数一元二次不等式的讨论方法．从高中知识体系来看,这部分内容是为用导数判断函数单调性服务的．因而通过导数的应用这一专题复习,将导数和含参数的一元二次不等式,含参数的一元二次方程有机地进行关联,以便学生系统地掌握含参数一元二次不等式讨论方法在导数中的应用．

(2)活动与体验．“活动与体验”是深度学习的核心特征．由复习旧知入手,学生很容易融入课堂内容．问题激发了学生探究的热情和兴趣,丰富了学生原有的认知．学生在问题的驱动下和教师的追问下进行深入地思考．在解决问题的过程中,不断地纠错和完善解法,构建知识和分类讨论方法体系,并在体验知识的应用和迁移过程中,优化思维品质,提高逻辑思维能力．在主体主动参与问题解决中,通过个体的独立思考、师生和生生思维碰撞,促使深度学习走向深入．

(3)本质与变式．在重温简单的三次函数单调区间的确定后,通过不断变式,拾级而上,逐步加大问题的难度．由对一元二次方程根的大小讨论,到有无根的讨论,再到是否是一元二次方程的讨论．将含参数的一元二次不等式讨论的整体方法全面铺开,将含参的三次函数的单调性问题转化含参数一元二次不等式的问题,最终转化到含参数的一元二次方程根的讨论．变式打通了知识间的通道,转化实行了知识的流通,有效的变式让学生的思维外显,帮助学生理解知识的本源,给出了诸多问题解决的一类方法,类比和转化的思想方法统领了新知识的学习．通过变式削枝强干,以简驭繁、把握事物的本质．

精准定位复习课的教学目标,重组章末专题复习教学内容,让变式优化学生的思维品质,让深度学习促进学生关键能力的形成和核心素养的培育．