Gergonne线平方和的上下界估计

姜卫东 (邮编:264210)

威海职业学院艺术学院

△ABC的内切圆与三边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,则AD,BE,CF交于一点J,称此交点J为Gergonne点,AD,BE,CF称为过J点的Gergonne线.如图1所示.

图1

文[1]给出了Gergonne点与Kooi不等式的一个关系,文[2]建立了Gergonne点到三角形三边距离的几个恒等式和不等式.记AD=ga,BE=gb,CF=gc,文[3]得到如下的不等式

①

②

①和②形式简洁,但是下界却不能令人满意.本文首先给出①和②上界的改进,并给出①和②的下界的估计,我们的主要结果如下.

定理1在△ABC中,有

③

其中等号当且仅当△ABC为正三角形时取得.

证明由斯蒂瓦特定理;AB2·CD+AC2·BD=AD2·BC+BD·CD·BC,可得

④

同理可得

⑤

⑥

⑦

∑a5=(a+b+c)∑a4-∑a3∑bc+abc∑a2可得

⑧

由三角形中熟知的恒等式

abc=4Rrs,

∑bc=s2+4Rr+r2,

∑a2=2(s2-4Rr-r2),

∑a3=2s(s2-6Rr-3r2),

∑a4=2s4-4(3r2+4Rr)s2+2r2(4R+r)2,

∑(s-b)(s-c)=4Rr+r2.

以上公式代入⑧⑦,整理可得

⑨

下面先证

⑩

由⑨可知⑩等价于

s2-14Rr+r2≥0

及Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2可知式成立.下面再证

s2≤4R2+6Rr-r2

再由Gerretsen不等式s2≤4R2+4Rr+3r2可知成立,从而定理成立.

定理2在△ABC中,有

其中等号当且仅当△ABC为正三角形时取得.

证明由⑨可知,要证明左端不等式,只需证

经过简单的计算,上式等价于

(R-2r)s2≥12R2r-21Rr2-6r3

由Gerretsen不等式:s2≥16Rr-5r2,并注意到

(R-2r)(16Rr-5r2)-(12R2r-21Rr2-6r3)=4r(R-2r)2≥0.

从而定理2成立.