基于计数单位 促进教学内容结构化——从“二次根式的运算”教材编排顺序谈起

高凯亮 (邮编:210031)

江苏省南京江北新区浦口外国语学校

胡歧曦 (邮编:210044)

江苏省南京市旭东中学

1 研究缘起

1.1 “二次根式的运算”研究顺序的困惑

初中学段学生会经历两次数域扩充,第1次是在七年级初期引入负数后,将数系扩充至有理数域,第2次是在八年级引入无理数后,将有理数域扩充至实数域. 将数域扩充后,也随之推动着数的运算发展,现行不同版本教材中有理数、整式、分式的运算研究顺序为先加减后乘除,这与小学研究的整数、分数、小数的运算顺序一致。但是,“二次根式的运算”编排顺序都是先乘除后加减,先研究二次根式乘除的目的是将二次根式化简为最简二次根式,为二次根式的加减“服务”,但是学生没有这样的认知基础,这便让学生感觉无理数(式)的运算与有理数(式)的运算是割裂的,造成它们各成一派的错觉,没有较好的体现数学课程内容的整体性、一致性.

1.2 “最简二次根式”编排位置的困惑

综上所述,制定最简二次根式的标准主要有两种方式:第一,通过化简后的结果,归纳出最简二次根式的标准,但是,化简到什么标准呢?化简方向是不明确的;第二,感受满足最简二次根式部分条件的合理性,随后直接给出最简二次根式的标准,对照着标准进行化简. 无论哪一种方式,学生都是被动接受,没有较好地体现最简二次根式的来龙去脉,没有从真正意义上让学生的学习主动发生,给学生学习造成障碍.

2 “二次根式的运算”的教学思考

2.1 从运算类型视角看“二次根式的运算”

2.2 “二次根式的运算”的研究顺序

现行各版本教材对有理数、整式的运算研究顺序都分别是加、减、乘、除,乘方,笔者建议二次根式的运算也按照该顺序进行研究,以“实数的运算”统领课为载体,先构建出实数的运算类型,分别是实数的加、减、乘、除、乘方运算,依据有理数的学习经验,将问题先聚焦到实数的加法,实数的加法运算分为3种类型,“有理数+有理数”“有理数+无理数”“无理数+无理数”. 通过列举一些实数的加法算式,学生易于感知到有理数与无理数的加法“不好算”,其本质原因是计数单位不同,随后将问题聚焦到“无理数+无理数”,感知二次根式与三次根式也“不好”相加,但是,发现有的二次根式之间能进行加法运算,有的二次根式之间又不能进行加法运算,观察得出“被开方数”相同的二次根式才便于进行加法运算. 接下来,让学生自主列举出一些能够相加的二次根式,在举例的过程中开启二次根式的运算之旅,了解二次根式运算的来龙去脉. 在举例中感知“二次根式的加法”需要具有相同的计数单位(同类二次根式)才能够进行运算,后续探究中发现应用二次根式的乘除法法则能够对二次根式进行化简,而化简后的部分二次根式能够进行加减运算,明晰二次根式是否能够进行加减运算需要先进行化简,那么后续对如何制定最简二次根式的“标准”便会合情合理,体会学习最简二次根式及制定最简二次根式“标准”的必要性与合理性.

事实上,二次根式的统领课应该从第一节课开始,从“定义——性质——运算——应用”四个方面展开研究,但是一节课的时间有限,第一节课仅搭建出本章的研究框架,对本章的学习内容有初步的了解,学生对二次根式的定义、性质有深刻的理解之后,笔者建议,对二次根式的运算进行“溯源”,在二次根式的运算统领课上从“实数的运算类型”切入,目的有四个:第一,了解二次根式运算的来龙去脉;第二,感受二次根式运算的研究顺序与有理数、整式的运算研究顺序的一致性,引发知识正迁移;第三,基于计数单位,感悟有理数(式)与无理数(式)运算方法的一致性;第四,以问题为导向,体会学习最简二次根式及制定最简二次根式“标准”的必要性与合理性;下面,呈现出“二次根式的运算”统领课教学设计,与各位同仁交流、研讨.

3 教学过程

3.1 构建实数的运算类型

引入初中阶段,我们对数进行了两次扩充,数域的扩充也随之推动着数的运算发展,本节课我们研究“实数的运算”.

核心问题“实数的运算”应该如何展开研究呢?

追问1“实数的运算”之前研究过吗?能举些例子吗?(有理数的运算,根据运算之间的关系,加法是运算的“根”,将问题聚焦到实数的加法)

追问2“实数的加法”还有哪些类型呢?(形成结构化的板书(图1))

图1

活动1观察下列实数的加法算式,你认为哪些能进行运算,并尝试写出运算结果.

3.2 聚焦二次根式的加减法

活动2写出一些能够相加(减)的二次根式算式,并写出运算结果.

3.3 探索二次根式的乘除法则

追问1你有什么发现?请再列举一些例子验证你的发现,并用字母表示.

追问2你能解释你的发现吗?

3.4 制定最简二次根式的“标准”

设计说明活动4的目的是应用二次根式的乘除法法则化简二次根式,判断两个二次根式是不是同一计数单位,进而判断是否能够再进行加减运算. 本环节让学生先独立尝试,教师提示学生可以用二次根式的乘除法法则进行化简,学生独立尝试后教师进行如下追问.

追问6通过活动2,我们知道被开方数相同的二次根式才能进行加减运算,通过活动4,你又有哪些收获?(看似被开方数不相同的二次根式,部分二次根式应用二次根式的乘除法法则化简后,也能够进行加减运算,引导学生制定出最简二次根式的“标准”)

评注通过6个追问让学生逐步感受制定最简二次根式“标准”的必要性与合理性,即被开方数不含能开得尽方的因数;被开方数不含分母;分母中不含有根号;并“生长”出同类二次根式的定义. 第1、2、3题通过化简后都能够继续进行加法运算,第4题通过化简后,不能够继续进行加法运算,目的是让学生感受到不是所有的二次根式化简后都能够进行加减运算,后续为了统一,我们习惯上都将根式化简成最简根式,最简根式也是根式的计数单位.

3.5 课堂小结,明确研究方向

通过本节课的学习,有哪些收获?你认为二次根式的运算最重要的是哪一步?(活动中学生易于感受二次根式的运算最重要的是判断两个二次根式是不是同类二次根式,所以下节课我们将重点研究二次根式的化简)

4 总结与反思

4.1 基于计数单位 体现数的运算的一致性

《全日制义务教育数学课程标准(2022年版)》指出“数的认识是数的运算的基础,通过数的运算有助于学生更好地认识数”[1]. 数是一个统一体,数的运算也是一个统一体[2],2022年版新课标在小学“数与代数”领域指出,用计数单位统领整数、小数、分数的运算,要让学生感悟数的概念本质上的一致性,体会数的运算的一致性,2022年版新课标中“计数单位”一词的频数高达8次. 因此,学生到初中阶段也可以延续用计数单位来统领实数的运算,体现有理数(式)与无理数(式)运算的一致性. 上述“二次根式的运算”统领课中,从“实数的运算”切入,首先让学生回顾“实数的运算”之前研究过吗?能举些例子吗?引发学生将有理数的研究经验进行正迁移,根据有理数加减乘除运算之间的关系,将实数的运算先聚焦到实数的加法,通过活动1感悟到有理数与无理数“不好”进行加法运算,体会其本质原因是计数单位不同,类比异分母分数的加法,首先需要通分,统一计数单位后再进行分数的加法运算,通过“实数的运算类型”进行引入,让学生对有理数、无理数有了更深刻的认识. 笔者建议,二次根式一章的内容学习结束后,复习课上引领学生回顾本章的研究对象(二次根式)、研究内容及研究路径(定义——性质——运算——应用),并布置学生对三次根式展开研究,小组汇报研究成果,若学生能够明确哪些三次根式能够相加,能够用三次根式的乘除法法则化简为最简三次根式,并能够列举出一些同类三次根式,说明学生对二次根式的学习是成功的,这样的学习方式也是具有可持续发展的;在探究过程中引导学生认识到二(三)次根式与偶(奇)数次根式是“一致”的,有助于学生对根式有结构化的认识.

4.2 以问题为导向 体会知识发展的必要性

史宁中教授认为,基于“四基”的教学需要创设合适的情境,提出合适的问题,激发学生思考或者与他人进行有价值的探讨[3]. 统领课上以1个核心问题“实数的运算应该如何展开研究”为导向,激发学生思考,学生通过活动1先感知整数、根式的计数单位,笔者认为,课堂上不一定要提出计数单位这个术语,但是学生首先需要明晰怎样的二次根式才能够进行加减运算,这也是后续体会学习最简二次根式及制定最简二次根式“标准”的必要性与合理性的重要来源. 从二次根式的结构上来看,最简二次根式是对根式分类的结果,从计数方法上来看,最简二次根式能够直接看出二次根式的计数单位,同时也便于快速判断几个二次根式之间是否能够进行加减运算,在探究过程中多角度感悟制定最简二次根式标准的必要性与合理性.