1阶WKB方法在黑洞准正则模式应用研究中的一点说明

徐孝宝

(岭南师范学院 物理科学与技术学院,广东 湛江 524048)

WKB方法是用来求解定态薛定谔方程的本征值和本征函数的一种半经典近似的方法,它是由Wentzel、Brillouin和Kramers在1926年提出的. 它的基本思想是在势函数V(x)可以看作是“缓慢变化的”,则定态薛定谔方程的解局部地看来就像是定势中的解. 这一方法最初被应用于计算束缚态的能量和势垒的隧穿概率[1,2],例如伽莫夫首次从理论上解释了α粒子的衰变概率. 随后人们将WKB方法的应用拓展到其他研究领域,t’Hooft认为黑洞视界外的霍金辐射粒子所组成的正则系综的熵对施瓦兹黑洞熵有贡献,为了解决视界处的发散问题他提出了砖墙(brick wall)模型,并利用WKB方法发现了黑洞熵是随视界面积做标度变化的规律[3],从而为黑洞熵的本质是纠缠熵的想法提供了重要的依据[4]. Parikh和Wilczek认为霍金辐射可以自然地用粒子对的隧穿效应来理解[5,6],用WKB近似他们成功给出霍金辐射的一个半经典解释[7]. 另外,假真空衰变(False vacuum decay)问题的本质是量子隧穿效应,WKB方法也被推广到研究该问题[8].

与此同时,人们还对WKB方法做了各种推广,苏联数学家Maslov将普通的一维WKB方法推广到了高维情形[9]. Voros等人研究了复数域上WKB渐近展开的精确形式,观察到复现(resurgence)结构[10],从而深化了人们对非微扰效应的认识,这一方法现在被称为“精确WKB方法”. 另外,人们发现描述黑洞扰动的基本方程与薛定谔方程是同一类型的方程,从而发展了WKB方法来求解黑洞的准正则模式问题[11],该方法的基本思想是将两个渐近解跨过两个转折点与有效势顶点处的近似解进行匹配. 后来这一方法被推广到更高阶WKB展开,如3阶[12]、6阶[13]. 对于限制可能的引力理论和检验强引力理论,准确计算出准正则模式是非常重要的一项工作. 最近,Matyjasek和Opala通过使用帕德近似,将WKB方法推广展开到第13阶[14]. 鉴于WKB方法在许多领域都有着重要的应用,本文的目的之一是对该方法有一个较为系统的认识. 另外,由于不同文献的符号约定的差异,满足边界条件的准正则模式渐近解的形式也略有不同,本文将对1阶WKB方法的渐近解匹配问题做一点说明,从而帮助读者更好地理解WKB方法在准正则模式研究中的应用.

1 WKB方法的简要回顾

1.1 WKB方法的基本思想

一维定态薛定谔方程:

(1)

式(1)可以简化为

(2)

ψ(x)～ei S(x)/ћ

(3)

接着,式(2)化简为

i ћS″-S′2+ћ2Q(x)=0

(4)

(5)

不难看出

(6)

(7)

所以,当E>V(x)时,一阶WKB近似解为

(8)

类似地,当E

(9)

1.2 转折点处的WKB近似解

根据上述的推导,WKB近似的准确性可以归结到[15]

(10)

(11)

其中λ=2π/k是粒子的定域德布罗意波长. 这意味着当势函数缓慢变化以致于粒子的动量在很多波长

范围内近似为常数时,WKB近似方法是准确的. 对于E

图1 势能函数曲线

为了得到正确的波函数和能量值,人们使用跨越转折点的“补丁”波函数,将2个渐近的WKB近似解拼接在一起[1].

我们首先给出“补丁”波函数,在转折点xc附近,势函数可近似为

V(x)=E+V′(xc)(x-xc)

(12)

通过变量替换z=α(x-xc)

(13)

(14)

这是Airy方程,其解称为Airy函数,Ai(z)和Bi(z). 所以“补丁”波函数的一般形式为

ψp(x)=aAi[α(x-xc)]+bBi[α(x-xc)]

(15)

不妨取xc=x2,当x>x2时,利用式(9),易得

(16)

利用Airy函数的渐近形式,有

(17)

比较式(16)、(17)可得

(18)

接着考虑x

(19)

再对ψp取x<

(20)

比较式(19)和(20),有

A=-i ei π/4D,B=i e-i π/4D

(21)

式(21)称为联络公式,它将转折点x2两边的WKB解连接在了一起. 这样,WKB近似解可以写为

(22)

对转折点x1,做相似的分析,有WKB近似解

(23)

为了使得区间[x1,x2]之间的WKB近似解自洽,不难得出

(24)

或者

(25)

容易理解的是量子化条件式(25)对应于Bohr-Sommerfeld量子化条件[15]

(26)

利用式(25),我们可以容易地得到谐振子的能量本征值.

2 黑洞准正则模式与1阶WKB方法

人们发现描述黑洞扰动的基本方程与定态薛定谔方程类似[11]

d2ψ/dx2+Q(x)ψ=0

(27)

在量子力学中,-Q(x)=2m/ћ2[V(x)-E],其中E是粒子能量,V(x)是势垒,其在x→±∞处趋于常数,ψ是波函数.

下面来说明这一方法,在图2的转折点以外的区域I、III,WKB解为[2,11]

图2 函数-Q(x)曲线

(28)

由于转折点满足|x2-x1|<<1且[-Q(x)]max≥0,则在区域Ⅱ,Q(x)可以近似为

(29)

(30)

这里定义了

式(30)的一般解为ψ=ADν(t)+BD-ν-1(t),Dν(t)是抛物柱面函数. 当|t|→∞时,利用Dν(t)的渐近形式[2],有

ψ≈Be-3iπ(ν+1)/4(4k)-(ν+1)/4(x-x0)-(ν+1)eik1/2(x-x0)2/2+[A+B(2π)1/2e-iνπ/2/Γ(ν+1)]eiπν/4(4k)ν/4.(x-x0)νe-ik1/2(x-x0)2/2,x>>x2

ψ≈Ae-3iπν/4(4k)ν/4(x0-x)νe-ik1/2(x-x0)2/2+[B-iA(2π)1/2e-iνπ/2/Γ(-ν)]eiπ(ν+1)/4(4k)-(ν+1)/4·(x0-x)-(ν+1)eik1/2(x-x0)2/2,x<

(31)

其中Γ(ν)是伽马函数. 可以验证式(31)的2个解中含有e-ik1/2(x-x0)2/2的项与WKB解式(28)中的出射波匹配. 因此,对于准正则模式,eik1/2(x-x0)2/2项的系数一定为0,所以B=0并且Γ(-ν)=∞,从而ν是一个正整数. 这样,准正则模式需要满足的条件是

(32)

因为Q是依赖于频率ω的,再根据条件式(32),可知准正则模式频率是一系列离散的复数值. 这被称作1阶WKB方法[11]. 由于文献[11]没有说明式(31)的2个解中含有e-ik1/2(x-x0)2/2的项与WKB解式(28)中的出射波匹配的原因,下面具体分析这个原因,这将有助于人们更好地应用WKB方法.

首先,在该论文里扰动场的时间依赖是eiωt,这与现在大多数文献的选择不同[16-18]. 根据准正则模式是相对于“势垒”的出射波,时间依赖eiωt的这一选择导致准正则模式的边界条件为[11]

(33)

(34)

另一方面,我们也可以发现准正则模式的边界条件式(33)与Konoplya等人的约定[17]是一致的. 在文献[17]中,黑洞扰动的基本方程为

(35)

和式(27)比较可得U(x,ω)↔-Q(x)

(36)

(37)

其中渐近波数k±(ω)是正数,满足

不难发现,式(37)与(33)是一致的. 进一步地有

(38)

如果x→±∞,V(x)→0,则可得

其中Reω<0. 这样,在不同的符号约定下准正则模式的边界条件都等价于式(33). 进一步地,满足准正则模式边界条件的WKB渐近解为式(34). 更早地讨论正确选择WKB渐近解的准正则模式边界条件的文献有[19]、[20].

(39)

(40)

这样,极值点附近的解析解ψⅡ在无穷远(x→+∞)和视界(x→-∞)处的渐近形式(31)满足准正则模式边界条件的渐近解,应该是∝e-ik1/2(x-x0)2/2的项. 所以,渐近形式(31)中∝eik1/2(x-x0)2/2前的系数必须为零,即B=0并且Γ(-ν)=∞. 进一步地得到了计算准正则模式的1阶WKB近似公式

(41)

所以,Destounis在回顾WKB方法时[21],关于扰动场的时间依赖项的选择∝e-iωt与其所得出的结论是不自洽的.

不难看出式(41)类似于Bohr-Sommerfeld量子化条件式(26)或(24)、(25)[16]. 根据式(24),有

(42)

再利用式(39),有

(43)

从而

(44)

(45)

可以看出,式(45)和1阶WKB近似式(41)形式上相同.

3 结论

本文回顾了WKB方法的基本原理,并且说明了利用1阶WKB方法求解黑洞准正则模式问题时渐近解是如何匹配的,从而为人们解决如何使用WKB方法计算黑洞准正则模式的问题提供更多的参考依据. 应用WKB方法计算黑洞准正则模式的一个重要前提条件是有效势函数只有一个极值点,然而这一条件并不适用于有质量标量场的扰动,此时有效势函数有2个极值点[22],从而会出现3个转折点,这将增加WKB渐近解匹配的复杂性[23]. 近年来,人们对虫洞的准正则模式也做了大量研究,发现一些虫洞的有效势存在两个极大值,从而传统的WKB方法不能应用于计算准正则模式[24]. 推广WKB方法来计算虫洞的准正则模式将是一件有意义的工作.