从诺特定理引入对易关系的新教学法

王 锋,王 巍,丰秀蓉

(北京理工大学 物理学院,北京 100081)

量子力学中的许多抽象概念,包括不确定性原理,导致在量子物理和这一领域的现代物理课程教学有很高的难度.对于大多数学生来说,量子物理的概念,包括海森伯测不准原理,都只有奇怪、神秘、抽象的数学形式主义的特点,很难理解.这些量子物理概念的学习缺陷是本科阶段学生普遍在量子力学课程中遇到的困难,甚至在参加了高级量子物理课程的学生中也发现了这些困难.学生对这些问题的认识很低,受到许多误解的影响.

在量子力学教材中,算符对易关系公式的引入过程没有与经典物理产生有机的联系,缺乏普遍性容易被学生误解,本文基于经典和量子物理都普遍成立的诺特定理[9]物理体系守恒量与对称性相对应的想法,应用数学逻辑推导提出了一种新的引入正则对易关系的方式,为这部分内容的教学提供了参考,使教学过程更具有启发性,也为学生提供了一个简单而自然的理解思路.另外有助于学生将已具备的各种知识形成整体体系,从而加深对算符对易关系的理解,这对学生掌握量子知识大有裨益.

1 知识准备

1.1 幺正算符

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1.2 幺正变换

幺正算符给量子系统带来的变换称之为幺正变换[11](从一个表象到另一个表象的变换).幺正变换能保持算符的厄米性,并保持算符之间对易或反对易关系不变.量子体系在任一幺正变换下都不改变它的全部物理内容.这个“全部物理内容”包括:基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅.

1.3 诺特定理

诺特定理[12,13]可表述为:对于力学体系的每一个连续的对称变换,都有一个守恒量与之对应.对称变换是力学体系在某种变换下不变.简单来说如果运动规律具有一种对称性,必相应地存在一条守恒定律.诺特定理联系了物理学中的两个重要概念:对称性和守恒[14,15].

2 对易关系的引入

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略去高阶无穷小O(ε2)约化后可得

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至此,通过以上推导,结合量子力学的基本知识,就可以引出正则对易关系,为这部分内容的教学提供了参考,也为学生提供了一个简单而自然的理解思路.众所周知,所有和经典物理量对应的力学量算符本质上都可以用坐标算符和动量算符来表示,因此有了坐标与动量算符的正则对易关系,经典物理量所对应力学量算符之间的对易关系也就可以从此推导得出.

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略去高阶无穷小O(ε2)约化后可得

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3 小结

在理解量子力学时,算符对易关系和海森伯不确定性原理具有基础性的地位.但在理论量子力学课程中,这些概念往往没有被使用更自然的导出方法充分理解,其对于学生来说被认为是非常困难的,因而在实践中容易形成负面看法而不能正确使用.在本文中,基于经典和量子物理都普遍成立的诺特定理,提出了一种更具启发性的算符对易关系导出的教学方法,可以用来提高学生对量子力学基本概念的理解.