初中数学教学中学生逆向思维能力的培养

摘  要：在初中数学教学中，加强对学生逆向思维能力的培养，对于培养学生思维品质，推动课程改革有着重要意义.基于此，为促进学生学科核心素养发展，推动数学课程改革不断深入，文章围绕初中数学教学中学生逆向思维能力的培养进行研究，并采用案例分析等方法，从讲解数学定义、推导数学公式、分析数学法则、证明数学命题、解答数学问题等角度给出建议.

关键词：初中数学；逆向思维能力；教学实践；培养策略

中图分类号：G632    文献标识码：A    文章编号：1008-0333（2024）02-0041-03

收稿日期：2023-10-15

作者简介：王利（1981.2-），女，江苏省沭阳人，本科，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

在数学学习中，逆向思维的运用十分常见.所谓逆向思维就是把问题倒过来，或从问题的反面思考，或逆用某些数学公式、法则解决问题.当前，根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求，发展学生的数学思维已成为课程教学的主要目标之一，而加强逆向思维的训练，可以培养学生思维的灵活性和发散性，使学生掌握的数学知识得到有效的发挥，同时也是落实课程标准的重要体现.基于此，教育工作者应根据数学学科特点，启发学生逆向思考，强化思维训练，提升学生的思维品质.

1 通过讲解数学定义，培养学生逆向思维能力

定义、概念等理论是数学学科的基础，也是发展学生逆向思维的起点.在初中数学课程中，许多定义、概念本身就体现了“逆向”的特点，因此，教师在教学中应有意识地进行渗透，启发学生逆向思考，让学生理解抽象数学定义，并为后续学习奠定基础.

例如，在学习相反数的定义时，教师基于定义中包含的逆向思维对学生进行如下引导：第一，回顾知识，思考问题.教师引导学生复习回顾“数轴”相关知识，并提出问题：在数轴上，A、B两点分别在原点的左、右两边，请你观察这两点与原点的距离，你有什么发现？数轴上与原点的距离是2的点有几个？这些点表示的数是多少？与原点的距离是5的点有几个？这些点表示的数是多少？请你画一条数轴，请将下列4个数在数轴上表示出来：-2，-4，+2，+4.在这一环节，教师引导学生依托数轴体验对称点的特点，为相反数在数轴上的分布特征做准备，同时以开放的问题情境，引发学生从数轴的一侧对应观察另一侧，实现逆向思考.第二，引出定义，探索意义.教师在学生形成感性认识的基础上呈现相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，零的相反数是零.接下来，引导学生结合定义，思考其中意义，挖掘其中蕴含的逆向思维.如相反数的几何意义表示“在数轴上，两个互为相反数的数表示的点分别在原点的两旁，且到原点的距离相等”，其代数意义则是“在一个数的前面添上负号，就表示这个数的相反数，负数的相反数是正数，正数的相反数是负数”“相反数是指两个数之间的一种特殊的关系”［1］.在学生理解了相反数的意义后，教师继续提问：数轴上表示相反数的两个点与原点有什么关系？学生通过对数轴的观察，准确回答问题.通过这一环节的指导，学生能够巩固相反数的概念，强化互为相反数的两个数在数轴上表示的点的几何意义，同时也在数形结合的过程中启发了逆向思维.第三，课堂练习，总结归纳.教师依据定义为学生设计练习，让学生在解题过程中不断深化相反数的概念，获得逆向思维的训练.在此基础上，教师进行归纳总结，强化学生逆向思维.

2 通过推导数学公式，培养学生逆向思维能力

数学公式是学生日常解题的“抓手”，在数学学科中，包含逆向思维的公式有很多，如平方差、完全平方公式等.在教学指导中，有些教师习惯性引导学生从左至右来推导公式，这让许多学生也习惯了从正向来运用公式，但是，在遇到需要反向思考的问题时就会陷入困境，无法实现公式的灵活运用.基于此，在讲解数学公式的过程中，教师应引导学生从正反两个方面进行探究，打通学生的思维通道，确保学生在逆用公式的過程中能够得心应手.

例如，完全平方公式是对多项式乘法中出现的较为特殊一类算式的归纳、总结，是后继学习必备的基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也对培养学生养成严密的逻辑推理能力具有重要作用.基于此，教师在引导学生推导完全平方公式的过程中，从正反两个方向进行，让学生真正把握公式的不同表现形式，为公式的灵活运用奠定基础.在课堂上，教师主要通过如下环节对学生的逆向思维进行培养：一是创设情境，提出问题.教师利用图形的面积问题构建情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知产生疑惑，从而激发学习兴趣和求知欲望.二是发现问题，归纳结论.学生通过对图形面积的计算，逐渐推导出（a±b）2=a2±2ab+b2.乘法公式的教学必须在学生自主探究、经验归纳的基础上获得，教学中必须展示思维的过程，在这一环节，教师为学生提供了充分的观察、分析、独立思考、小组交流等机会，引导学生自主完成对公式的推导［2］.三是逆向思考，加深理解.教师总结归纳了完全平方的公式，并通过逆向设计引导学生从反向进行思考，这样能够使学生的认知结构得以优化，知识体系得以完善，使学生的数学理解能够突破思维定式，形成逆向探索的能力.四是巩固训练，强化思维.如教师设计题目：①若（x-2y）2=（x+2y）2+M，求M的值.②若9x2-kxy+4y2是一个完全平方式，求k的值.教师从正反两个方向设计习题，让学生反馈教学、内化知识，并得到逆向思维的训练.

3 通过分析数学法则，培养学生逆向思维能力

在初中数学的学习中有许多定理，如勾股定理、韦达定理等.在解题过程中对这些定理的逆向运用，有时会产生意想不到的结果.但是，在日常学习中，由于受思维定式的影响，部分学生难以灵活运用数学定理，针对此，教师则应该从逆向思维能力培养的角度加强训练，让学生能够打破固有的定式思维，提高对数学定理的应用能力.

例如，在“勾股定理的逆定理”的教学设计中，教师立足教学内容对学生的逆向思维进行训练.第一，复习旧知，导入新课.教师引导学生复习勾股定理，强调要分清其題设和结论.第二，讲解新知，引发思考.教师引导学生思考3，4，5之间的关系，引导其结合勾股定理的学习经验明确32+42=52；出示数据2.5 cm，6 cm，6.5 cm，请学生计算验证数据是否满足上述平方和关系，并画出相应边长的三角形检验是否为直角三角形；学生两人一组进行验证，在得到肯定结论后，引导学生基于以上例子大胆猜想得出新的定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.教师要强调定理的题设和结论，并引导学生发现新的定理与勾股定理的题设和结论恰好相反，从而引出“定理”和“逆定理”概念，强调二者的相互关系.第三，验证逆定理，深入思考.教师提出证明任务后，学生发现直接证明的困难性，此时教师提示可以证明此三角形与一个直角三角形全等，并引导学生思考并写出证明过程.最后明确“勾股定理的逆定理”，简单解释逆定理的概念，并提问：原命题正确，逆命题一定正确吗？学生之间相互讨论，有的学生举出反例：对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角.由此得到否定结论：原命题成立时，逆命题不一定成立.第四，课堂练习，巩固逆定理.教师结合勾股定理和逆定理的运用设计习题，强化学生的认识，锻炼学生逆向思维.

在这一案例中，教师围绕学生的逆向思考进行引导，通过符合学生心理认知规律的教学活动设计，循序渐进地让学生在和谐、愉悦的氛围中建构、验证勾股定理逆定理，让学生理解消化了知识，也提升了逆向思维能力.

4 通过证明数学命题，培养学生逆向思维能力

在初中学数学中，学生会接触到命题、逆命题等概念，在各类考试中，对命题的真假性进行判断也是十分常见的题型.基于此，教师应通过对各类命题的讲解来培养学生的逆向思维能力，让学生在判断命题、逆命题的过程中实现创新思维及发散思维，进而提高思维品质.

例如，在讲解“逆命题”相关知识的过程中，教师立足学生逆向思维能力培养进行如下指导：第一，回顾旧知，引入新课.教师给出命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果……，那么……”，并结合例题进行说明.在教师的引导下，学生发现：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.学生在认识了原命题和逆命题的概念后，教师结合常见的数学命题、法则促使学生作出判断，并提问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？学生带着问题进入下一环节.第二，深入思考，探究命题.教师给出系列原命题，并要求学生说出命题的逆命题，判定逆命题的真假：①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆［3］；②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.通过总结分析学生认识到：原命题为真，逆命题不一定为真.第三，逆向训练，巩固新知.教师出示习题：请写出“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.教师结合习题引导学生回顾命题的条件和结论，促使学生在逆向思考中证明，以巩固所学.

5 通过解答数学问题，培养学生逆向思维能力

在解答数学问题的过程中，逆向思维的运用十分常见.通常来讲，如果从正向直接思考无法顺利解决问题时，则可以从结论入手，进行反向思考，这样则可以豁然开朗，甚至找到更加便捷的解题方法.基于此，在初中数学教学指导中，教师应在解题训练中强调逆向思维，引导学生掌握常见的逆向思维方法，从而拓宽

解题思路，提高解题能力.

例如，某班共有30名学生，在一次满分为100分的测试中，全班平均成绩为90分，则成绩低于60分的学生至多有多少人？

这一习题适合用逆向思维法，即由题意得到全班一共要失去300分，而低于60分的学生每人至少失掉40分，所以低于60分的至多有7人.

通过这样的解题指导，教师可以有效提升学生的数学逆向思维能力.当然，在教学实践中，教师还应结合例题讲解更多逆向思考方法，并让学生在训练中融会贯通、熟能生巧.

6 结束语

数学思维的培养是数学教学永恒的主题.在数学教学过程中，教师要以知识为载体，培养学生的数学思维.基于此，教师应继续深入思考，以培养学生的数学思维为研究目标，关注数学知识的特点及所讲知识在整体教材中的地位和作用，关注学生思维发展过程，充分发挥学生的主体地位，促使其通过学习得到数学知识，实现思维品质的有效提升.

参考文献：［1］ 喻胜柱.初中数学教学中培养学生的逆向思维探究［J］.读写算，2022（31）：81-83.

［2］ 陈学文.培养逆向思维，探寻解题新途径：初中数学教学中逆向思维培养的思考［J］.当代家庭教育，2022（30）：133-136.

［3］ 张启龙.初中数学教学中学生逆向思维能力的培养策略［J］.试题与研究，2023（5）：73-75.

［责任编辑：李  璟］