晰错因 明本质 悟方法

陶来舟 吴跃

摘要：试卷讲评是高三教学的主流形式，是发展素养的重要土壤.文章以一道高三模考题为例，从错误原因、修正问题、探究本质三个方面进行分析，最后给出优化高三教学的点滴感悟.

关键词：错题；核心素养；优化教学

荆岫之玉必含纤瑕，骊龙之珠亦有微纇.一道正确（优美）的题目可以让人赏心悦目，一道错误（瑕疵）的题目同样可以令人遐想万千.本文中笔者以一道错题为例，晰错因、明本质、悟方法.

1 原题呈现

例1  若函数f（x）=ex2+e-x2+mcos x在区间［0，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围为（  ）.

A.（－∞，0］     B.－∞，e2

C.（－∞，1］

D.－∞，12

本题是华大新高考联盟2023届高三下学期4月教学质量测评（新教材卷）第8题.试题以指数复合函数和余弦函数构造的新函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

下面是命题组提供的参考答案：

令f′（x）=12（ex2－e-x2）－msin x=g（x），则g′（x）=14（ex2+e-x2）－mcos x≥12－mcos x，当且仅当x=0时，等号成立.

当m≤12时，g′（x）≥0，则g（x）在［0，+∞）上单调递增，可得g（x）≥g（0）=0，故f（x）在［0，+∞）上单调递增.

当m>12时，g″（x）=18（ex2－e-x2）+msin x在0，

π2上单调递增，又g″（0）=0，所以g′（x）在0，π2上单调递增.因为g′（0）=12－m<0，所以x0∈（0，+∞），当x∈［0，x0）时，g′（x）<0，则g（x）≤g（0）=0，此时f（x）在［0，x0）上单调递减，不合题意，舍去.

所以实数m的取值范围为－∞，12.故选：D.

2 晰错因，以往鉴来

2.1 错因分析

因为m=－2时，g′（π）=14（eπ2+e－π2）－2<0，所以当m≤12时，g′（x）≥0不成立.起始笔者不以为然，以为是命题组的小失误，稍作调整即可完善解答过程.但经过一番尝试后，却束手无策.此时回首题干，发现当m=－25时，f（π）=eπ2+e－π2+25>0，f（2π）=eπ+e－π－25<0，因此函数f（x）在［0，+∞）上不可能单调递增.

2.2 答案探究

既然此种解题思路不能解决问题，只能另辟蹊径.因为当x=kπ，k∈N时，g（kπ）=12（ekπ2－e－kπ2）≥0;当x∈（2kπ，2kπ+π），k∈N时，m≤ex2－e-x22sin x；当x∈

（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N时，m≥ex2－e-x22sin x.令函数h（x）=ex2－e-x22sin x，借助GeoGebra可得－4.61≤m≤12.

注意：－4.61为精确到0.01的近似值.顯然，上述结果-4.61≤m≤12已经超出了常规解题的能力范畴.

2.3 题目修正

此题只需稍加修正，便可物尽其用，回归命题初衷，起到单选题的把关作用，不失为一道难得的好题.

例2  若函数f（x）=ex2+e-x2+mcos x在区间0，π2上单调递增，则实数m的取值范围为（  ）.

A.（－∞，0］

B.－∞，e2

C.（－∞，1］

D.

－∞，12

此题答案为选项D，解答过程参考例1，此处省略.

3 明本质，追根溯源

题目修正为例2，看似完美解决了问题，但事与愿违，新的思考却刚刚开始.通过参考答案，不难发现题干条件就是［0，+∞），而不是笔误.这时不禁会想：“答案中的临界值12是怎么来的，是什么支撑着命题组即使出现错误也要讨论下去？”分析后不难发现，问题就出现在“端点效应”上.因为g（0）=0，且g′（0）=12－m，根据“端点效应”，只需12－m≥0，即m≤12，此时g（x）≥g（0）=0，所以函数f（x）在［0，+∞）上单调递增.相信大多数教师（学生）都用过此方法解题，特别是客观题，而且大多题目屡试不爽，但是为什么在此题就失效了呢？

定理  （连续函数的局部保号性）设函数f（x）在点x0连续且f（x0）>0（或f（x0）<0），则存在x0的邻域U，对于任意给定的x∈U，有f（x）>0（或f（x）<0）＼.

根据上述定理不难找到困惑所在，“端点效应”只能在局部满足，不能保证整体.如例1，函数f（x）在［0，+∞）上不单调，但是局部却满足，于是把范围缩小到0，π2，“端点效应”就又可以“使用了”.

例3  〔2020年新课标I卷（理科）节选〕已知函数f（x）=ex+ax2－x，当x≥0时，f（x）≥12x3+1，求a的取值范围.

例4  （2022年新高考全国Ⅱ卷节选）已知函数f（x）=xeax－ex，当x>0时，f（x）<－1，求a的取值范围.

例3用“端点效应”得到的范围是必要不充分条件（解答略），例4用“端点效应”得到的范围是充要条件（解答略）.通过以上分析不难发现，“端点效应”只能给解题提供一个大致的思考方向，得到一个必要条件，然后再结合证明判断是否为充要条件.

4 悟方法，优化教学

试卷讲评是高三教学的主流形式，是发展素养的重要土壤.教学时要善于发现问题，启发学生思考并理解数学本质，引领学生真正喜欢数学.

4.1 激发学生善于思考，做示范者

《普通高中数学新课程标准（2017版2020年修订）》要求：“通过高中数学课程的学习，树立学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神.”2021年4月，习近平总书记在清华大学考察时强调：“教师要成为“大先生”，做学生为学、为事、为人的示范，促进学生成长为全面发展的人.”＼善于思考不能流于形式，不是教师在课堂上强调几遍就敷衍了事；善于思考也不能放手交给学生，因为学生缺少思考经验只会走入另一误区.教师应该以身作则做示范者，通过精选试题、练习和精心设计教学环节引导学生去思考.

4.2 高屋建瓴指点迷津，做指导者

高中数学试题纷繁复杂，解法灵活多变，学生的思维更是光怪陆离（天马行空）.要提高教学效率，就需要教师提高个人专业水平.《中学教师专业标准》要求数学教师要以素养为依托，通过实践，掌握教学所需的基础知识，提升教书育人的基本能力.以其昏昏，使人昭昭，只会让学生越来越迷糊.以导数的教学为例，在这一模块中，存在许多易造成解题思维障碍的问题：①知识间的不等价转化，如“单调性与导函数的符号”“极值点与导函数的零点”等；②方法间的不等价转化，如“端点效应”“拉格朗日中值定理”等；③存在很多高等数学知识，如“洛必达法则”“泰勒展开式”等.这些问题在学习和解题时都会給学生带来不小的困惑，需要教师高屋建瓴指点迷津.打铁还需自身硬，教师应该自己先搞清楚，做个明白人，才能在教学中“不畏浮云遮望眼”.

4.3 引领学生学会学习，做引路者

高三教学因为教学任务重、教学时间紧，很多都是“满堂灌”，笔者有时也不得已而为之.“满堂灌”的教学方式看似完成了教学任务，实际教学效果却不佳，教师课后的心满意足、“扬扬得意”也只是一种自我慰藉而已.讲过的题目学生仍然不会，这种情况屡见不鲜，究其原因就是学生是被动的“接受者”，课堂上看似学习了很多，但真正“动手操作”的太少.因此，教师要做学生学会学习的引路者，引领学生变被动为主动，在教学中践行“一题一课”“深度学习”等新的教学理念，让课堂“慢下来”，让效率“提上去”.

参考文献：

[1]杨松林.非连续导函数的局部保号性＼.大学数学，2019，35（6）：66-69.

[2]新华社.习近平在清华大学考察时强调：坚持中国特色世界一流大学建设目标方向 为服务国家富强民族复兴人民幸福贡献力量＼.人民日报，2021-04-20（01）.