合作交流 让“教”与“学”更有效

周国维

合作交流是课堂教学的一种重要教学形式，旨在通过师生和生生的有效互动让学生更好地理解知识，理解数学，激发学生数学学习兴趣.高中数学知识是抽象且复杂的，许多内容对思维要求较高，而学生的理解能力有限，这样学生在个别知识点的理解上难免会出现思维障碍，如果教学中教师能够为学生提供一个平等的、民主的学习环境，学生就可以积极表达自己的意见和见解.这样通过师生和生生的有效互动和交流，教师可以更好地了解学生、帮助学生，而学生的创造力同样会给教师的教学提供有效的补充，从而实现教学相长.下面笔者呈现两个具体案例，供大家商榷.

1 案例呈现

案例1  在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若sin A=3sin Ccos B，且c=2，则△ABC面积的最大值为.

案例1是一道期末考试试题，从试卷反馈来看，该题的得分率不高，为了找到问题的症结，教师重点呈现学生的思维过程，并通过深度交流引领学生找到解决问题的方法.

师：对于案例1，谁来说一说怎么解？

生1：因为sin A=3sin Ccos B，由正弦定理得a=3ccos B，又cos B=a2+c2－b22ac，所以可得a2+3c2－3b2=0.又c=2，则a2+12=3b2.已知条件都用了，只能推导到这步，接下来就不知道该如何继续了.

师：很好，充分应用了正弦定理和余弦定理的变形得到a2+12=3b2，虽然没有得到最终结果，但是也展示了很强的推理能力.现在我们顺着生1的思路想一想，看看结合三角形面积公式，能不能找到解决问题的突破口？

问题给出后，学生积极演算.几分钟后，学生开始主动交流讨论起来，很快就有学生有了解决方案.

生2：由三角形的面积公式得S△ABC=12acsin B=asin B.又由a2+12=3b2，很容易联想到cos B=a2+4－b24a=b2－42a.

所以，可得sin B=1－cos2B=1－b2－42a2=36－（b2－10）24a2，S△ABC=12acsin B=asin B=1236－（b2－10）2≤3，当b=10时，等号成立，所以三角形面积的最大值是3.

师：很好，为生2超强的计算能力点赞.你们还有其他的演算方法吗？

生3：由sin A=3sin Ccos B及正弦定理，得a=3ccos B.将c=2代入，得a=6cos B，则cos B=a6，sin B=1－a62=36－a26，S△ABC=12acsin B=asin B=a·36－a26=16a2（36－a2）≤16·a2+（36－a2）2=3，当且仅当a2=36－a2，即a=32时，等号成立，所以三角形面积的最大值是3.

生3的解题过程给出后，大家的眼前一亮，两人的计算结果一致，但是生3的运算量却明显减少了.此时，同学们认为已经找到了最优的解决方法.正当教师想对该方法进行总结归纳，然后结束该题的探究时，又有一位学生有了新的发现.

生4：得到a=6cos B后，可以直接将这个结果代入到三角形面积公式中，于是有S△ABC=12acsin B=asin B=6sin Bcos B=3sin 2B.由于sin 2B≤1，所以S△ABC≤3（当sin 2B=1，即B=45°时，等号成立），所以该三角形面积的最大值为3.

生4的答案给出后，教室里响起了热烈的掌声.

师：这个解法太简捷了！避免了复杂的运算，大大地提升了计算效率.

师：对比以上解题过程，请大家思考一下，这些解题过程的本质是什么？

教师的话音刚落，学生积极交流起来.随后，教师点名让学生呈现交流结果.

生5：前面两种方法的本质是将角化边，而生4所采用的办法是将边变成角，运用整体代换的思想方法，大大地减少了运算量.

师：总结得很好，今后在解三角形的问题时，既要考虑到角化边，也不能忽视边化角，学会从不同角度分析，这样往往可以达到优化解题过程，提高解题效率的效果.

案例2  在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S1S2=14.那么若将该结论推广至空间几何体中，可以得到类似的结论：若正四面体内切球的体积为V1，外接球的体积为V2，则V1V2=.

该题是一道类比推理题，学生通过类比猜想直接猜出答案，教师点名让得到错误结果的学生给出答案.

生1：我猜想答案应该是18.（部分学生点头表示赞成生1的答案.）

师：请具体说一说你的想法.

生1：正三角形內切圆和外接圆的面积比为S1S2=14=122，猜想体积比应该是V1V2=123=18.

师：哦，按照你的思路，也就是说内接球和外接球的半径之比是12，这个结论是否成立呢？

为了验证结论，学生开始演算，并与同桌交流，很快就有学生提出了反对意见，并给出了自己的结论.

生2：如图1，在正四面体ABCD中，过点A作AH⊥平面BCD，垂足为H，则H为正三角形BCD的中心.连接BH并延长，交CD于点E，则E为CD边的中点.连接AE，设点O是正四面体ABCD的内切球球心，易证点O在AH上，则OH是内切球半径，OA，OB为外接球半径.设正四面体ABCD的棱长为a，根据勾股定理易得正四面体ABCD的内切球半径为612a，外接球半径为64a，则内切球与外接球的半径之比为13，所以它们的体积比为127.

生1的推理过程给出后，教师没有急于评价，而是鼓励学生按照生1的思路验算，大家顺利求解后，教师又鼓励学生寻找其他解决问题的方法.

生2：生1的解法很好，不过该题只需求出内切球和外接球的半径之比，所以该解法可以进一步优化.

师：具体说一说你的想法.

生2：我是根据以前的解题经验推理的，以前在研究正四面体的问题时曾经将其放在正方体中研究，受此启发，得到了图2.

设正方体的体对角线EC与平面ABD交于点F，正方体的中心为O，则O既是体对角线EC的中点，也是正四面体ABCD内切球和外接球的球心，OF为内切球的半径（易证），OC为外接球的半径，且OC=12EC.又EF=13EC（曾经证明过），所以OF=12EC－13EC=16EC.于是OFOC=13，从而得到V1V2=127.

师：说得非常好！充分应用学过的知识和方法，不仅提升了解题速度，而且优化了运算过程.

生3：我感觉还可以这样解.如图3，在正四面体ABCD中，O是正四面体的中心，AH是正四面体的高，H是点A在底面BCD上的射影，OH为内切球半径.连接OA，OB，OC，OD，这样正四面体被分割成四个全等的小四面体，OA为外接球半径，VA-BCD=4VO-BCD，即13S△BCD×AH=4×13S△BCD×OH，所以OHAH=14，OHOA=13，V1V2=133=127.

师：这个方法太好了，你是怎么想到的呢？

生3：其实我是受生2的启发，他应用的是割补法中的“补”，我就想尝试一下割补法中的“割”，于是得到了以上解法.

师：很好，生3的解法非常简单，运算量也特别小.你们个个都是神童.

师：回顾上述解题过程，你有什么感悟呢？

学生们纷纷感叹割补法的魅力.

师：对于割补法大家并不陌生，在初中平面几何中就应用过，现在将其迁移至立体几何中，其威力同样不可小觑.数学学习其本质就是一种迁移，在学习中要多思考、多尝试，这样往往会有意外的惊喜.

2 教学思考

2.1 順势而为，发掘学生智慧

不同学生的学习能力、思考习惯、知识水平、解题经验等有所不同，因此在遇到新的问题时，他们往往也会给出不同的解题思路.教学中，教师要尊重“不同”，并鼓励学生合作交流，这样不仅可以丰富学生的已有知识和已有经验，而且通过有效的对比分析可以发现非常好的解题方法.

2.2 注重交流，实现教学相长

课堂是师生互动交流的主要场所，课堂教学是动态变化的.教学中，教师既要做好充分的预设，也要及时捕捉各种课堂资源，充分发挥个体思维差异的优势，实现教学相长.对于教师而言，教学经验既是宝贵的财富，也是制约思维发展的枷锁，在惯性思维的影响下容易陷入程序化的解题过程，这样可能难以发现最优的解题方案.因此，教学中教师不仅要鼓励生生交流，也要进行师生交流，从而通过有效的交流相互启发，取长补短，实现教学相长.

总之，在日常教学中，教师应将教学的重心放在促进学生学会学习上，改变传统“以师为主”的讲授模式，积极探索多样化的教学方式，带领学生走上会学之路.