斜撑离合器环形弹簧径向刚度计算

2024-02-20张作超雷浩伟李泽强黄兆猛禹鑫

轴承 2024年2期

张作超，雷浩伟，李泽强，黄兆猛，禹鑫

（1.洛阳轴承研究所有限公司，河南洛阳 471039；2.河南省高性能轴承技术重点实验室，河南洛阳 471039；3.空军装备部驻洛阳地区第二军事代表室，河南洛阳 471039；4.燕山大学，河北秦皇岛 066000；5.河南科技大学，河南洛阳 471003）

1 概述

斜撑离合器是一种靠主、从动部分相对速度的变化或旋转方向的变换而自动接合或脱开的超越离合器，在航空、船舶、工程机械领域广泛应用。斜撑离合器结构如图1所示，主要由斜撑块、保持架和环形螺旋弹簧3部分组成，弹簧首尾相连，位于斜撑块两端的凹槽内，是斜撑块支承、导向和复位的重要零件。

图1 斜撑离合器以及各零件结构Fig.1 Diagram of sprag clutch and its parts

关于斜撑离合器的研究有：文献［1］根据斜撑离合器的特点和设计要求对其零件进行详细的结构设计，并基于MATLAB GUI平台开发斜撑离合器的设计与计算软件，用于计算离合器的主要结构参数并校核零件的应力、变形等参数，提高了工作效率；文献［2］介绍了离心脱开型斜撑离合器的结构，建立力学分析模型，推导出离心脱开型斜撑离合器脱开转速的理论计算公式；文献［3］针对某型斜撑超越离合器在使用过程中存在楔合失败、楔合响应慢等问题，基于ADAMS分析斜撑块与内、外圈的摩擦因数、弹簧等效力矩、负载等效质量、阻尼、接触刚度对离合器楔合性能的影响，结果表明负载、接触刚度对楔合性能影响较大，摩擦因数、弹簧等效力矩、阻尼对楔合性能影响较小；文献［4］介绍了斜撑离合器的结构和工作原理，指出其常见的失效模式，分析了包括弹簧因素在内的可能产生失效的原因，并提出相应的改进措施；文献［5］根据斜撑离合器的结构和工作原理确定了斜撑离合器的疲劳寿命及过载试验要求，并设计了试验机。

斜撑离合器工作时，弹簧对斜撑块施加径向的支承力，弹簧的径向刚度是影响斜撑离合器脱开转速和楔合性能的重要指标，有必要对斜撑离合器环形弹簧径向刚度的计算方法进行研究。关于弹簧的研究有：文献［6］通过计算圆柱螺旋钢丝在弯矩作用下的角位移，推导出钢丝软轴抗弯刚度的计算公式，并通过试验验证其正确性；文献［7］将高圆簧简化为等截面弹性直杆，推导出其横向刚度的计算公式，理论计算与试验的最大误差不超过10%，能够满足工程应用需求；文献［8］通过材料力学假设的方法求得小曲率圆环挠曲线微分方程的通解，解决了工程设计中圆环的变形以及内力计算问题，为环形螺旋弹簧变形和位移的计算提供了参考；文献［9］分析薄壁套筒工件在夹紧力作用下的变形，为环形螺旋弹簧受力以及变形计算提供了参考；文献［10］针对常用螺旋圆弹簧横向刚度不同计算方法差异大的问题，定义螺旋圆弹簧自由高与簧条直径之差为螺旋圆弹簧有效自由高度，结果表明统一螺旋圆弹簧有效自由高度后各计算方法的螺旋圆弹簧横向刚度与试验结果最接近。

上述文献对斜撑离合器和弹簧做了一定研究，但没有关于斜撑离合器环形螺旋弹簧径向刚度计算的研究。因此，本文推导斜撑离合器弹簧径向刚度的理论计算公式，并通过仿真和试验验证其正确性。

2 弹簧径向刚度计算

以某斜撑离合器环形螺旋弹簧为例，其主要参数为：弹簧钢丝线径d=0.45 mm，弹簧有效圈数z=123（81/0.66），弹簧中心圆直径D=1.55 mm。弹簧材料为弹性材料，剪切模量G=7.8 GPa，弹性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.28。

2.1 理论计算

环形螺旋弹簧工作方式与圆环相似，故将弹簧等效为圆环，如图2 所示，设置圆环模型的抗压刚度、剪切强度、弯曲强度与弹簧相同。采用求小曲率圆环挠曲线微分方程通解的方法，根据具体情况确定通解中的积分常数，进而确定圆环的挠曲线方程。

图2 弹簧等效为圆环示意图Fig.2 Diagram of spring equivalent to circular ring

设定圆环半径为R，圆环横截面高度远小于圆环半径，圆环受挤压后变为椭圆形，如图3所示。选取圆环任意点m，变形后点m移动至m1，曲率由变为，点m1的弯矩为M（曲率增加时弯矩为“+”，曲率减小时弯矩为“−”），曲率变化与弯矩的关系为

图3 圆环挤压变形示意图Fig.3 Extrusion deformation diagram of circular ring

式中：Kry为圆环的径向刚度。

点m1的曲率用极坐标可表示为

式中：r为点m1的极径；φ为点m1的极角；r′，r″分别为r对φ的一阶和二阶导数；u为点m的径向位移。

由（1），（2）式可得

圆环受力挠曲变形示意图如图4 所示：变形前，圆弧mn的弧长ds=Rdφ；变形后，点m径向位移为u，曲率半径r=R+u，选取的微段圆弧挠曲后的弧长rdφ=(R+u)dφ，同时弹簧受力后点m，n发生的切向位移分别为ν，ν+ dν，则圆弧m1n1的弧长为

对于小曲率圆环，可以将微段圆弧轴线近似为直梁分析，长度无变化，即dS= dS′，则

圆环的变形方程为

在圆环上任意选取弧长为ds的圆弧（图4），圆弧受径向载荷P(φ)和切向载荷q(φ)。在坐标φ处截面受弯矩M、剪切力Q、轴向力N，在坐标（φ+ dφ）处截面受弯矩（M+ dM）、剪切力（Q+ dQ）、轴向力（N+ dN），M，Q，N均为正方向。将所有力投影到圆弧中点的法向和切向，并对圆弧中点取力矩，列出以下平衡方程

由于dφ为任一选取的微量段，则cos≈1，，忽略高阶微量值，（7）式可简化为

由（8）式可得

对于等截面圆环，Kry，P为常量，无切向载荷q，将（3）式代入（9）式可得

（10）式的通解为

式中：A1，A2，A3为待求解系数。

由于环形弹簧的弹簧丝截面尺寸较小，弹簧离心力很小，理论计算时忽略不计。仅考虑等截面圆环受径向力P作用，如图5 所示，求解圆环上任一点的位移及内力。将圆环等分为n段，由于各段受力及变形相同，仅取一段分析，每段对应的圆心角为2α= 2π/n。由于圆环上无载荷，该段的挠曲线方程为（11）式，在φ=α处，由于对称性，截面的转角为0，即

图5 弹簧受力示意图Fig.5 Diagram of forces acting on spring

将（11）式代入（12）式可得

根据圆环对称性，每段圆弧总的切向位移ν=0，在点A附近切开，舍去点A及作用在该点的力P，由对称性及平衡条件可知，圆环切口φ=α处截面上的剪切力Q=−P/2，联立（1）—（8），（13）式可得

将A1，A2，A3代入（11）式可得圆环由挤压产生的径向位移为

式中：Ka为弹簧轴向刚度；l为圆环圆周长度。

求解（15）式可得

进而求得弹簧的径向刚度为

加载径向力P=15 N，加载数量n=15时，由（16）式可得弹簧由于挤压产生的径向位移u=6.3 mm，则由（17）式可得弹簧的径向刚度Kr=2.38 N/mm。

2.2 仿真计算

采用MSC. Marc 仿真软件计算弹簧径向刚度，为求解弹簧径向刚度，只保留斜撑块和弹簧。由于弹簧结构复杂，为简化计算，提高模型收敛性，采用梁单元模拟弹簧变形，共划分为3000 个网格，如图6 所示。忽略斜撑块变形，将斜撑块设置为刚体；初始状态时，设定弹簧与15 个斜撑块接触，后设置斜撑块沿斜撑离合器径向收缩。

图6 弹簧仿真模型示意图Fig.6 Diagram of simulation model of spring

分别对斜撑块施加1，6 mm 的径向位移，弹簧变形如图7 所示：变形后弹簧仍为圆环，说明弹簧径向位移差别不大。由于15个斜撑块的仿真结果基本一致，随机抽取5 个斜撑块进行分析，其所受弹簧反作用力如图8 所示：斜撑块的力−位移曲线呈线性，说明弹簧的受力与径向位移呈线性关系，即弹簧的径向刚度恒定。

图7 不同径向位移时弹簧的变形Fig.7 Deformation of spring under different radial displacements

图8 斜撑块所受弹簧反作用力Fig.8 Sprag subjected to reaction force of spring

15 个斜撑块所受弹簧反作用力的平均值F=14.4 N，弹簧的径向位移等于斜撑块的径向位移，即Δs=6 mm，则弹簧的径向刚度K=F/Δs=2.4 N/mm，与理论计算的误差为1%，说明了理论计算的正确性。

3 试验验证

为进一步验证理论计算的正确性，开发数控全自动环形弹簧径向刚度测试仪，如图9 所示，主要包括驱动系统、测量系统、数据处理系统和工件固定装夹系统。用与斜撑块数量相同的压头压迫弹簧模拟斜撑块对弹簧的压力，压头上装有压力和位移传感器。

图9 弹簧径向刚度测量仪结构示意图Fig.9 Structure diagram of radial stiffness measuring instrument for spring

选取2 种材料的弹簧：1）70C 材料；2）T9A 材料。测量弹簧径向刚度时，电动机驱动转盘转动，带动15个滑块同步向内移动，给弹簧0.1 N的预压力，将力值归零开始记录位移，滑块径向移动2 mm，得到对应的力−位移曲线，进而得到弹簧径向刚度。

第1组弹簧的力−位移曲线如图10所示：理论计算与试验的力−位移曲线变化趋势相同，随着弹簧位移增加，受力逐渐增大，径向刚度（曲线斜率）不变。不同长度l的弹簧径向刚度见表1：1）随着弹簧长度的增加，2组材料的弹簧径向刚度均出现了少许减小；2）弹簧径向刚度理论值与试验值基本一致，第1 组误差约为4.3%，第2 组误差约为5%，均在允许范围之内，进一步说明了理论计算的正确性。