基于SSA-BGOMP的滚动轴承振动信号压缩重构方法

罗国庆，胡东，赵仲勇a，廖润，谢菊芳

（1.西南大学 a.工程技术学院；b.智能电网及装备新技术国际研发中心，重庆 400715；2.中国南方工业集团军品部，北京 100089）

近年来，随着工业化的发展，传感器在大型机械设备上的检测与采样愈发复杂，依据传统奈奎斯特采样定理进行采样得到的数据量巨大，数据的实时采集、存储困难，而且会引发传感器功耗激增、续航过短等问题。压缩感知理论提出稀疏信号可以用远低于奈奎斯特采样定理要求的采样频率进行采样［1］，为处理海量数据提供了新的思路，因此被广泛应用于压缩成像［2］、语音信号处理［3］、雷达探测［4］等领域。

压缩感知要求信号本身稀疏或在某个变换域上稀疏。最常见的变换域是正交基完备稀疏字典，但其灵活性较差，处理具备复杂特性的轴承振动信号时稀疏性较差，信号重构效果不佳［5］。基于字典学习算法的字典可以更好地适应轴承振动信号自身的特性，K−奇异值分解（K−Singular Value Decomposition，K−SVD）算法在最优向量法［6］的基础上优化了顺序更新列［7］，其生成的过完备字典与原信号的匹配度高，稀疏效果好［8］。文献［9−10］在不同振动信号的压缩感知过程中利用K−SVD 训练过完备字典稀疏信号，有效提升了振动信号的压缩感知性能。然而，常见的重构算法在K−SVD 过完备字典上恢复振动信号的应用效果并不理想［11］，重构效果仍有待提升。

传统的信号重构算法有以正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）［12］为代表的贪婪算法和以基追踪算法（Basis Pursuit，BP）［13］为代表的凸优化算法。贪婪算法的重构效率高，但易陷入局部最优；凸优化算法的精度高，但计算复杂度过高，不符合实际应用要求。广义正交匹配追踪算法（Generalized Orthogonal Matching Pursuit，GOMP）［14］在OMP 基础上改变了原子选择方式，通过每次选择多个原子加快了收敛速度，但其无法剔除每次迭代中的错误原子，重构精度不佳。文献［15］在GOMP 迭代后对系数施加约束，提出了基于约束的广义正交匹配追踪算法，抗噪性有所提升，但仍无法在迭代中剔除错误原子。文献［16］引用子空间追踪（Subspace Pursuit，SP）思想提出了基于子空间的广义正交匹配追踪算法，其在纠正原子时选择绝对值最大的k项作为原始信号最终估计值，而实际应用中的信号相对k是稀疏的，因此该算法在实际应用中的重构误差较大，细节信息丢失严重［17−18］。

针对上述问题，本文提出基于麻雀搜索算法−回溯广义正交匹配追踪（Sparrow Search Algo⁃rithm −Back GOMP，SSA−BGOMP）的轴承振动信号压缩感知方法，利用高斯随机矩阵对轴承振动信号进行压缩采样，利用K−SVD 训练样本信号得到稀疏字典，在GOMP 基础上引入改进的回溯机制，通过SSA［19］自适应设置阈值的方式对支撑集原子进行二次回溯筛选，降低错误原子与噪声分量被选入支撑集的概率，提升算法的抗噪性以及重构效果。

1 压缩感知与降噪

压缩感知理论提出，当信号稀疏或其在某个变换域上稀疏，就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将高维信号投影到一个低维空间上，得到一个远小于信号长度的观测值，通过优化求解就能够从相对少的投影中构造出一个近似原信号的重构信号。

设f为有限实值离散空间，压缩感知要求f的信号是稀疏的，其数学模型为

式中：f为原始信号；Ψ为正交基矩阵，Ψ=(φ1，φ2，…，φN)；α为原始信号f在正交基矩阵Ψ上的稀疏投影。设α有k(k＜＜n)个非零系数。k为稀疏度，是衡量原始信号f在Ψ上稀疏效果的指标。

独立同分布的高斯随机变量形成的观测矩阵与任意正交基矩阵Ψ具有较强的不相关性［20］，而且高斯随机矩阵与Ψ形成的感知矩阵满足有限等条件（Restricted Isometry Property，RIP）且约束等距常数δk较小［21］，则观测值y可表示为

联立（1），（2）式可得

式中：Φ为观测矩阵；Θ为感知矩阵。

上述问题转换为从观测值y中恢复原始信号f，需从观测值y中求解稀疏投影α，即求解如下的最优化问题

最小L0范数可在一定条件下转换为最小L1范数以找到最稀疏的解，则（4）式可转换为

设原始信号f由纯净信号x与噪声信号n构成，即f=x+n，将其在正交基矩阵Ψ展开可得

与（3）式联立可得

式中：αx，αn分别为x和n在Ψ上的稀疏投影。设αx，αn的稀疏度分别为kx和kn，由于n不具备稀疏性，而x可以被正交基矩阵Ψ稀疏，则有kn＜＜kx。因此，可以从原始信号f中较好的重构出纯净信号x，噪声信号n则很难重构，即压缩感知可以在重构过程中过滤噪声。

2 SSA−BGOMP

当α是稀疏度为k的稀疏投影时，其内部会存在大量的0 元素。感知矩阵Θ中对应α为0 位置的列不会影响压缩感知重构，只有α非0位置的列才会影响压缩感知重构。对于感知矩阵Θ，将对应α为0 位置的列合并为无效支撑集I，对应α非0位置的列合并为有效支撑集E，即

则由压缩感知理论可得

压缩感知的支撑集原子选择过程就是寻找有效支撑集E中全部原子的过程。GOMP 算法每次选择S个原子（默认值为k/4），虽然增加了选入有效支撑集原子的概率，但也增加了选入无效支撑集原子的概率，而且无法剔除无效支撑集原子。因此，本文在GOMP 算法中引入回溯思想降低错误原子选入支撑集的可能性。在迭代过程中，通过SSA 自动设置阈值过滤无效支撑集原子，降低错误原子被选入支撑集的概率，从而更好地重构原始信号的细节信息，并提升压缩感知重构效果及其降噪能力。SSA−BGOMP 算法流程如图1 所示，算法具体描述如下。

图1 SSA−BGOMP算法流程图Fig.1 Flow chart of SSA−BGOMP algorithm

输入：观测值y；感知矩阵Θ=ΦΨ；稀疏度k；每次选择原子的个数S，默认值k/4，若k＜4 则取N= 1；

初始化：r0=y，Λ0= ∅，t= 1；设定SSA 的参数，当满足终止条件后得到最优阈值μ；

Fort= 1：k

（a）更新索引集：求u= abs[ΘTrt−1]，取值最大的S个并将其对应ΘT中的列序号j构成一个列序号集合J0；令Λt=Λt−1∪J0，Θt=Θt−1∪θj(for allj∈J0)；

（b）求最小二乘解：求y=Θtαt的最小二乘解α⁀t；

（c）筛选索引集原子：更新Λt为最小二乘解绝对值大于阈值μ对应的原子集合；

（d）更新残差：rt=y−

End

3 仿真分析

为验证SSA−BGOMP 算法重构信号的效果，选用长度为256 的高斯随机信号作为仿真信号，与OMP，压缩采样匹配追踪（Compressive Sampling Matching Pursuit，CSMP），SP，GOMP，SSA−BGOMP 算法进行对比分析。仿真信号的稀疏度k以5为步长从5增至50，观测矩阵为100×256的高斯随机矩阵，压缩率为60%；SSA−BGOMP与GOMP每次选择的原子数取默认值，SSA的参数设置见表1。相对误差小于0.1%时记为重构成功，试验重复运行100次并记录成功次数，成功重构率及其相对误差如图2所示：SSA−BGOMP算法重构信号的成功率随稀疏度的增加下降的最慢，在k为35时成功率仍大于70%，远高于其他算法，而且其重构信号的相对误差最小，重构信号比其他算法更接近原始信号。

表1 SSA参数设置Tab.1 Parameter settings of SSA

图2 不同算法重构信号的成功率及其相对误差Fig.2 Successful rates and relative errors of reconstructed signals by different algorithms

向仿真信号中加入信噪比30 dB 的高斯白噪声，在其他条件不变的工况下对比不同算法的峰值信噪比（Peak Signal To Noise Ratio，PSNR），试验重复运行100 次以验证SSA−BGOMP 算法的抗噪性，结果如图3所示；另外，将仿真信号的稀疏度k设为25，在其他条件不变的工况下对比不同算法的运行时间，试验重复运行10 次以验证SSA−BGOMP算法的计算效率，结果如图4所示。由图3、图4可知：SSA−BGOMP 算法重构信号的峰值信噪比最高，重构信号所需时间也低于OMP，CSMP 和SP 算法，抗噪性良好的同时在计算效率上也具备一定优势。

图3 不同算法重构信号的信噪比Fig.3 SNR of reconstructed signals by different algorithms

图4 不同算法重构信号所需时间Fig.4 Time required for reconstructed signals by different algorithms

仿真分析表明，引入回溯思想后，SSA−BGOMP 算法不仅保留了GOMP 算法运行时间低的优势，而且重构效果明显提升，其综合重构性能优于其他算法。

4 试验验证

4.1 试验数据

选用凯斯西储大学（CWRU）以及西安交通大学（XJTU−SY）轴承数据集进行试验。CWRU 数据集包含驱动端轴承的正常信号以及钢球、外圈、内圈故障信号，XJTU−SY 数据集则包含外圈、内圈故障信号。其中，N 表示正常信号，B，OR，IR 分别表示钢球、外圈、内圈故障信号。信号采样点数取1024，CWRU 数据集中4 种原始信号的时域波形如图5所示。

图5 CWRU数据集的4种原始信号Fig.5 Four initial signals in CWRU dataset

4.2 评价指标

使用相对误差σ以及峰值信噪比PPSNR共同衡量轴承振动信号压缩重构效果，其定义为

式中：σ为相对误差；f为原始信号；为恢复信号；EMES为均方根误差。σ越小，说明压缩感知效果越好；PPSNR越大，说明压缩感知降噪效果越好。

另外，使用压缩率r表示轴承振动信号的压缩程度，即

式中：n为原始信号的长度；m为观测值的长度。压缩率越大，说明信号的压缩程度越高。

4.3 信号重构

为验证SSA−BGOMP 算法对实际信号的重构效果，分别选择OMP，CSMP，SP，GOMP，SSA−BGOMP 算法对轴承振动信号在DCT 完备字典上进行压缩率为0.5 ～ 0.7 的压缩感知重构，每组试验重复100次取平均值，记录相对误差以及峰值信噪比，结果见表2：信号类别、压缩比共同影响信号的压缩重构效果，当压缩观测条件相同时，SSA−BGOMP 算法在CWRU 与XJTU−SY 轴承数据集中均取得了比其他贪婪算法更低的相对误差以及更高的峰值信噪比。其中，SSA−BGOMP 比GOMP 的相对误差降低2% ～ 12%，比SP算法的相对误差降低3% ～ 9%。

4.4 对比试验

为验证本文方法对实际信号的重构效果，对CWRU 轴承振动信号分别选择OMP，CSMP，SP，GOMP，SSA−BGOMP 共5 种贪婪算法，在图5 信号训练的K−SVD 字典上，进行压缩率为0.5 ～ 0.7的压缩感知重构，并记录相对误差以及峰值信噪比。

K−SVD 算法生成过完备字典的参数依据文献［5］选择，字典长度为1024×1920，稀疏表示时最多线性组合原子数为10，训练迭代次数为10，选用样本信号自身原子进行训练。每组试验重复100次取平均值，不同重构算法对CWRU轴承振动信号在K−SVD 字典上的相对误差和峰值信噪比见表3：在K−SVD 字典上重构轴承振动信号时，SSA−BGOMP 的重构相对误差依然最低，效果最稳定，比GOMP 的相对误差降低3% ～ 13%，比SP 的相对误差降低5% ～ 20%，说明其更适用于轴承振动信号的压缩感知重构。

表3 K−SVD过完备字典上各重构算法在不同压缩率下的相对误差和峰值信噪比Tab.3 Relative errors and PSNR of different reconstruction algorithms on K−SVD overcomplete dictionary under different compression rates

对比表2、表3 可知：K−SVD 过完备字典对CWRU 滚动轴承振动信号压缩重构效果提升显著，正常与内、外圈故障信号在K−SVD 过完备字典上的重构效果较好，钢球故障信号的稀疏表示效果欠佳，在压缩率过高时相对误差较大。压缩感知过程中，压缩率越大，压缩观测后的数据量越少，但压缩率过高会导致数据丢失，因此在进行压缩观测时压缩率不易过高。

在压缩率为0.6的情况下，应用本文方法对图5所示轴承振动信号进行重构，重构信号的时频域波形如图6 所示：正常和内、外圈故障信号在压缩重构后仍保留了原始信号的全部信息；钢球故障信号压缩重构后在时域上有轻微偏差，但频域分布趋势基本一致，关键信息得到了保留；结果表明，轴承振动信号经本文方法压缩重构后可以保持原有趋势不变，而且能保留关键特征信息，可用于后续的数据分析。

图6 CWRU轴承数据集原始信号重构后的时频域波形Fig.6 Time−frequency domain waveform reconstructed from original signals of CWRU bearing dataset

4.5 本文方法对故障特征提取的影响

为进一步验证本文方法压缩重构后的振动信号能否用于后续数据分析，以CWRU 轴承数据集的轴承外圈故障信号为例进行分析，采样频率为12 kHz，数据长度为12000，计算可得外圈故障特征频率为107.4 Hz。

外圈故障原始信号及其希尔伯特包络谱如图7 所示，可以清晰观察到109 Hz 的外圈故障特征频率及其倍频。

图7 外圈故障原始信号特征分析Fig.7 Analysis on original signal characteristics of outer ring fault

为验证重构后的恢复信号能否保留原信号特征，在压缩率为0.8的情况下，应用本文方法对外圈故障原始信号进行压缩重构。重构信号及其希尔伯特包络谱如图8所示，重构信号仅幅值发生轻微偏差，仍可清晰分辨外圈故障特征频率及其倍频。

图8 外圈故障重构信号特征分析Fig.8 Analysis on reconstructed signal characteristics of outer ring fault

5 结束语

为改善轴承振动信号的压缩感知效果，针对GOMP 算法在迭代过程中无法剔除错误原子的问题，提出了基于SSA−BGOMP的滚动轴承振动信号压缩感知方法。该方法具有一定的自适应性，在提升压缩感知恢复效果的同时并未添加新的人工选择参数，可以有效缓解数据量过多为数据处理带来的压力。仿真与试验分析表明，本文方法对比其他贪婪算法具有明显优势，可以有效改善轴承振动信号的压缩感知效果。经过本文方法压缩重构后的恢复信号，数据特征参量能够被完整保存，可应用于后续数据处理。