高速永磁电机转子强度及其敏感性分析

摘 要：为了解决高速永磁电机转子在高速运转时永磁体可能因离心力破坏的问题，提出一种基于解析模型和有限元分析相结合的转子机械强度研究方法。以一台额定功率为22 kW，额定转速为100 000 r/min的高速永磁电机为研究目标，建立完整的转子机械强度解析模型。通过有限元分析方法，系统研究护套材料、护套厚度、机械配合的过盈量、温度和速度等多个关键工艺参数对护套和永磁体应力的影响规律。采用多元线性回归分析方法，对影响转子机械强度的各项因素进行敏感性分析，定量评估各参数对转子应力状态的贡献程度，明确护套材料、护套厚度和过盈量是影响转子强度最为显著的三个因素。基于分析结果，确定最优的转子结构和装配工艺参数，并制作样机进行实验验证。实验结果间接证明了理论分析的正确性和设计方案的可行性。

关键词：高速电机；永磁电机；机械强度；应力分析；敏感性分析；多元线性回归方法

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.005

中图分类号：TM341

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2024）11-0048-09

Rotor strength and sensitivity analysis of high-speed permanent magnet motors

WANG Xiaoyuan， LI Na， LI Tianyuan， ZHAO Xiaoxiao

（School of Electrical and Information Engineering， Tianjin University， Tianjin 300072， China）

Abstract：In order to address the potential damage of permanent magnets due to centrifugal forces during high-speed operation of high-speed permanent magnet motors， a rotor mechanical strength analysis method combining analytical modeling and finite element analysis was proposed. A comprehensive analytical model for rotor mechanical strength was established， focusing on a high-speed permanent magnet motor with rated power of 22 kW and rated speed of 100 000 r/min as the research target. The effects of multiple key technological parameters， including sleeve material， sleeve thickness， mechanical interference fit， temperature， and speed， on the stress distribution of both sleeve and permanent magnets were systematically investigated through finite element analysis. A sensitivity analysis was conducted on various factors affecting rotor mechanical strength using multiple linear regression analysis， where the contribution of each parameter to the rotor stress state was quantitatively evaluated. The results indicate that sleeve material， sleeve thickness， and interference fit are the three most significant factors influencing rotor strength. Based on the analysis results， optimal rotor structure and assembly process parameters were determined， and prototype testing was conducted for experimental verification. The experimental results indirectly validate correctness of the theoretical analysis and the feasibility of the design scheme.

Keywords：high-speed motors; permanent magnet motors; mechanical strength; stress analysis; sensitivity analysis; multiple linear regression method

0 引 言

高速永磁电机具有体积小、高效、高功率密度的特性，在高速电主轴、高速离心压缩机和高速磨床等领域应用广泛^[1-]。对于高速电机而言，如何在保证转子强度安全的前提下实现高速运行成为当前的研究热点之一。由于永磁体可以承受巨大的压应力而难以承受较大的拉应力，在高速旋转时由离心力产生的巨大拉应力会致使永磁体破碎和脱落，常采用非导磁金属护套来保护永磁体^[4-6]。因此，对转子强度进行设计和校核是高速电机稳定运行的关键。

关于高速永磁电机转子强度的研究，国内外学者已经开展了许多研究工作。在应力解析模型方面，文献[7]提出非导磁金属护套圆柱型永磁转子的应力解析模型，但其未考虑温度对转子强度的影响。文献[8]提出表贴式和圆柱体永磁体插入式两种永磁转子结构的强度解析模型。文献[9]基于厚壁圆筒理论，推导了考虑温度和各向同性材料的转子强度解析公式。文献[10]提出考虑轴间填充物的转子强度解析模型，为转子强度分析提供了新的研究思路。文献[11]推导了考虑转子涡流损耗、温升、离心力和过盈量的转子应力解析模型，提出在热态温升和应力限制的极限功率设计和控制策略。文献[12]推导了考虑离心力、过盈配合和热应力影响的不同转子结构机械应力的数值分析模型。

在转子强度设计及优化方面，文献[13-16]分析了转速和温度与转子应力的关系，研究了护套厚度、不同材料组合、过盈量对转子机械强度的影响，为转子结构设计和优化提供了依据。文献[17]提出一种新型护套结构，即合金材料与碳纤维材料相结合的方式，该方案具有更好的应力特性和散热效果。文献[18]针对护套内外表面应力跨度大的问题，提出一种多层护套转子结构，在保证转子强度要求的前提下，有效减小护套厚度，降低应力跨度。文献[19]采用方差分析法对转子强度进行敏感性分析，但其计算量较大。文献[20]针对表贴式转子强度优化问题，对比分析了进化算法结合有限元分析的方法和Kriging近似模型结合进化算法的方法，并总结了两种方法的适用性。

在考虑转子加工工艺分析方面，文献[21]推导了永磁体分段的转子应力分析方法，对比了永磁体分为一段和三段时的转子应力，归纳出转子分段对应力的影响规律。文献[22]分析了磁极间填充材料对转子应力的影响，但未考虑实际装配过程中装配间隙对应力的影响。文献[2]研究了转子温升梯度，分段永磁体结构、磁极填充材料和永磁体装配间隙对转子应力的影响。

上述研究分别从研究方法、转子结构、运行工况和工艺条件等多个维度对高速永磁电机转子强度进行分析和研究，但大多数研究都只考虑单因素作用时的影响规律，而高速永磁电机的转子机械强度受到诸多因素共同作用的影响，因此，综合考虑各影响因素，探寻多因素共同作用对转子强度的影响机制，提炼影响转子强度的显著因素和非显著因素，并依此进行有针对性的高效快速转子结构设计，是解决高速永磁电机的转子强度问题的关键技术之一。

本文以一台22 kW、100 000 r/min的高速永磁电机为研究目标，介绍转子结构的强度解析模型，采用有限元分析方法，计算在极限工况下永磁体及护套应力，并分析护套材料、转子结构和运行工况对永磁体及护套应力的影响。基于SPSS分析平台，采用多元线性回归分析方法，定量地分析护套材料、护套厚度、机械配合的过盈量、转速和温度等因素对护套和永磁体应力的影响机制，找出影响转子应力的显著因素和非显著因素，并进行试验验证，为优化转子结构和进一步提高转子机械强度提供借鉴。

1 转子强度解析

图1为高速电机研究目标的转子结构，包括转轴、叶轮、推力盘、实心圆柱形永磁体和非导磁金属护套。永磁体和护套采用过盈配合的加工工艺，如图2所示，其中：Rom为永磁体的外半径；Ris和Ros为非导磁金属护套的内半径及外半径。

非导磁金属护套与永磁体配合的过盈量δ为

δ=Rom－Ris。（1）

1.1 永磁体强度解析

将转子应力简化为平面应力问题，永磁体的外表面受到均匀压强P的作用。考虑电机高速旋转和温度分布不均的工况，永磁体沿径向方向的径向位移urm、径向应力σrm、切向应力σθm及等效Mises应力σmMises的表达式分别为：

urm=ρmω2（1－μm）8Em（3+μm）R2omr－

ρmω2（1－μm）8Em（1+μm）r3+

βs（1+μm）1r∫r0ΔTmrdr－P（1－μm）rEm；（2）

σrm=－P+ρmω2（3+μm）（R2om－r2）8－

Emβmr2∫r0ΔTmrdr+EmβmR2om∫^Rom0ΔTmrdr；（3）

σθm=－P+ρmω2（3+μm）R2om8－

ρmω2（1+3μm）r28+Esβmr2∫r0ΔTmrdr+

EmβmR2om∫^Rom0ΔTmrdr-βmΔTmEm；（4）

σmMises=0.5×（σrm-σθm）2+σ2rm+σ2θm。（5）

式中：ρm为永磁体密度；ω为转子角速度；σrm为永磁体距离圆心r时的径向正应力；σθm为永磁体距离圆心r时的切向正应力；Em为永磁体的弹性模量；μm为永磁体的泊松系数；βm和ΔTm分别为永磁体的热膨胀系数和温升；urm为永磁体距离圆心r的径向位移，当r=0，永磁体的径向位移urm=0。

1.2 非导磁金属护套强度解析

同理，可得到非导磁金属护套的径向位移urs、径向应力σrs、切向应力σθs及等效Mises应力σsMises的表达式分别为：

urs=PEsR2isR2os－R2is（1－μs）r+（1－μs）R2osr2+

βs（1+μs）1r∫rRisΔTsrdr+ρsω2（1－μs）8Em×

［（3+μs）（R2os+R2is）r－（1+μs）r3+

（1+μs）（3+μs）（1－μs）R2osR2isr］；（6）

σrs=PR2isR2os－R2is1－R2osr2+

ρsω2（3+μs）8R2os+R2is－R2osR2isr－r2－

Esβsr2∫rRisΔTsrdr+EsβsR2os－R2is∫^RosRisΔTsrdr；（7）

σθs=PR2isR2os－R2is1+R2osr2+

ρsω2（3+μs）8R2os+R2is+R2osR2isr－1+3μs3+μsr2+

Esβsr2∫rRisΔTsrdr－EsβsR2os－R2is∫^RosRisΔTsrdr－βsΔTEs；（8）

σsMises=0.5×（σrs－σθs）2+σ2rs+σ2θs。（9）

式中：σrs和σθs分别为非导磁金属护套的径向应力及切向应力；ρs和ω为非导磁金属护套的密度及转子角速度；Es和μs分别为非导磁金属护套的弹性模量及泊松系数；βs和ΔTs分别为非导磁金属护套的热膨胀系数和温升；urs为非导磁金属护套的径向位移，它是半径的函数。

联立式（1）、式（2）和式（6）可得出永磁体与非导磁金属护套压强P为

P=δ1（1－μs）R3is+（1+μs）R2osEs（R2os－R2is）+（1+μm）RomEm。（10）

式中：

δ1=δ+βmωR3om（1－μm）4Em－

βm（1+μm）Rom∫^Rom0ΔTmrdr－

ρsω2（1－μ2s）8Es3+μs1+μs（R2os+R2is）Ris+

ρsω2（1－μ2s）8Es3+μs1－μsR2osRis－R3os。（11）

从上述公式可以看出，转子应力的大小取决于转子尺寸、转速、护套厚度、温升、过盈量和转子材料属性，如弹性模型、泊松比、热膨胀系数和密度等。其中，转子尺寸主要受电磁方案的限制，因此后文在分析影响转子应力的因素时未考虑转子尺寸的影响。

2 转子机械强度计算

为了进一步分析各因素对转子应力的影响规律，本文以一台空压机用高速永磁电机为研究对象，采用有限元法进行转子机械强度分析。高速永磁电机的基本参数如表1所示。

2.1 护套材料对转子机械强度的影响

受电磁方案限制，永磁体材料选为钐钴（Sm2Co17）。护套材料对比了2种常用的非导磁金属材料，分别为镍基合金（Inconel718）和钛合金（TC4），3种材料的基本属性如表2所示。通过有限元分析方法建立应力分析模型，在计算中考虑机械配合的过盈预应力、高速旋转产生的离心力和温度产生的热应力的影响。护套及永磁体的径向和切向应力的分布情况如图3所示。其中：方案1为钐钴和镍基合金组合；方案2为钐钴和钛合金组合。

从图3中可以看出，对于两种护套材料方案而言，由于永磁体和护套过盈配合而产生的预应力，使得护套与永磁体的接触面存在较大的接触压强，可以起到保护永磁体的作用。方案1和方案2永磁体所受到的最大拉应力分别为1.22 MPa和18.12 MPa，均小于其抗拉强度35 MPa；方案1和方案2护套所受到的最大拉应力分别为835.92 MPa和561.21 MPa，均小于其抗拉强度1 050 MPa和825 MPa，因此两种方案的转子应力均未超过材料屈服强度，设计合理，符合转子强度保护要求。值得注意的是，在相同的转子尺寸和过盈量下，镍基合金材料护套产生的永磁体最大径向压应力为59.91 MPa，大于钛合金材料护套产生的永磁体最大径向压应力36.64 MPa，而永磁体自身的材料特性决定了其能承受较大的压应力，因此镍基合金护套对永磁体的保护效果更好。此外，镍基合金护套和钛合金护套的安全系数分别为1.256（1 050/835.92）和1.470（825/561.21），因此钛合金护套具有更高的安全系数。

由于永磁体承受较大的径向应力，护套承受较大的切向应力，因此在后文分析时，主要考虑护套材料、过盈量、护套厚度、转速和温度对永磁体径向应力和护套切向应力的影响。

2.2 转子结构对转子机械强度的影响

转子的结构设计对转子机械强度至关重要，本文分别分析了电机在额定运行状态下，即额定功率22 kW、额定转速100 000 r /min、温度为150 ℃的状态下，过盈量和护套厚度对永磁体最大径向应力（永磁体径向应力云图中的最大值）和护套最大切向应力（护套切向应力云图中的最大值）的影响规律，结果如图4和图5所示。

从图4中可以看出，在护套厚度为3 mm时，过盈量的变化对2种护套材料的转子最大应力影响规律一致，随着过盈量的增加，永磁体的径向压应力略微增加，而护套的切向拉应力显著增加。对于方案1，当过盈量过小时，例如0.02 mm，永磁体受离心力的影响，没有承受到压应力的作用，永磁体中心会承受较大的拉应力，最大值为50 MPa，超过其抗拉强度35 MPa，会造成永磁体被撕裂损坏；当过盈量过大时，例如0.11 mm，护套内缘承受较大的切向拉应力，最大值为1 132 MPa，超过其抗拉强度1 050 MPa，会致使护套损坏。对于方案2，当过盈量过小时，例如0.02 mm，永磁体外径处受到的最大压应力仅为5 MPa，永磁体中心承受最大的拉应力为65 MPa，超过其抗拉强度35 MPa，会造成永磁体被撕裂损坏；当过盈量过大时，例如0.11 mm，护套内缘承受最大的切向拉应力为740 MPa，虽未超过其抗拉强度825 MPa，但安全系数也仅有1.11。因此，在实际应用中，期望获得较大的永磁体径向压应力而较小的护套切向拉应力，但显然过盈量对两者的影响是相互矛盾的。

从图5中可以看出，当过盈量为0.08 mm时，护套厚度的变化对2种护套材料的转子最大应力影响规律一致，随着护套厚度的增加，永磁体的径向压应力显著增加，而护套的切向拉应力略微降低。当护套厚度为1 mm，永磁体不承受护套的压应力，只承受高速旋转产生的离心力的拉应力，因此当护套过小时，起不到保护永磁体的作用；护套厚度的增加有助于增强转子机械强度，但会导致成本上升，涡流损耗和转子风摩耗增加。因此，在设计护套厚度时应综合考虑电机的电磁性能和机械性能。

2.3 运行工况对转子机械强度的影响

转子的机械强度也会受到高速旋转产生的离心力和温度升高产生的热应力的影响。图6分析了在过盈量为0.08 mm、护套厚度为3 mm时，不同温度和转速下转子最大应力的变化趋势。

在额定转速100 000 r/min条件下，对于镍基合金护套材料（方案1转子），随着温度的升高，护套最大切向应力降低了13.8%，永磁体最大径向应力增加了15.5%；对于钛合金护套材料（方案2转子），随着温度的升高，护套最大切向应力增加了1.4%，永磁体最大切向应力降低了1.6%。之所以产生这种差异，是由于2种护套材料的热膨胀系数不同所引起的。镍基合金的热膨胀系数比钐钴永磁体的大，并且差距明显，所以因温度产生的热应力对转子的机械强度影响相对较大。对于2种方案的转子而言，随着转速的升高，不同温度条件下永磁体所受的径向压应力都变小，护套所受到的切向拉应力均增大。其原因为转子高速旋转产生巨大的离心力，护套和永磁体都受到因离心力产生的拉应力的作用，拉应力抵消了一部分因过盈产生的预应力。

3 敏感性分析

前文已经对各因素对转子机械强度的影响机制进行了分析，为了进一步探讨各影响因素的显著性，需要进行敏感性分析。目前常用的敏感性分析方法有单因素敏感性分析法、变异系数法、方差分析法和多元线性回归分析法。单因素敏感性分析法简单易行，但是忽略了输入变量之间的相互作用。变异系数法适用于数据具有不同单位和数量级的情况。方差分析法，考虑了输入变量之间的相互作用，但在涉及较多变量的组合时，计算量较大。多元线性回归分析法不仅能够同时考虑多个输入变量的影响及其之间的相互作用，还可以评估输入变量对输出变量的影响显著性，从而确定关键输入变量。因此，本文采用多元线性回归分析方法来分析影响转子机械强度的显著因素和非显著因素。

3.1 变量选取

由于转子尺寸主要受电磁方案的限制，而高速电机的额定工况一旦确定，转速也将是个定值，因此将护套材料、护套厚度、机械配合的过盈量和温度作为敏感性分析的主要因素，即输入变量。其中，护套材料对比了镍基合金（Inconel718）和钛合金（TC4），其他参数的取值如表3所示。输出变量为永磁体最大径向应力和护套最大切向应力。将表2的输入变量进行排列组合，得到128组数据，以此作为数据库，分析输入变量对输出变量的影响情况。

3.2 敏感性分析

本文基于SPSS分析平台，采用多元性线回归分析方法，对影响转子永磁体径向最大应力和护套切向最大应力的因素进行敏感性检验，结果如表4所示。

由表4可知，输入变量护套材料、护套厚度、温度和过盈量的显著性均为0，小于0.05，说明这4项参数对护套切向最大应力和永磁体最大径向应力影响显著。护套最大切向应力模型的R方为0.963，说明拟合的模型可以解释96.3%的护套最大切向应力变化。同理，永磁体最大径向应力模型的R方为0.915，说明拟合的模型可以解释91.5%的永磁体最大径向应力变化。4个输入变量的共线性指标VIF为1，说明自变量之间不存在线性相关性。

表4输入变量对输出变量的标准化系数的大小反映了输入变量对输出变量的影响程度，将其绘制成柱状图，如图7所示。

对于护套最大切向应力，护套材料影响最为显著，其次是过盈量、护套厚度和温度影响较小。对于永磁体最大径向应力，护套厚度和过盈量影响较为显著，其次是护套材料、温度影响较小。因此在转子强度设计时，改变护套材料是提升护套安全系数的有效措施，综合设计护套厚度和过盈量可以快速提高永磁体的安全系数。

4 实验验证

为了验证理论分析和有限元计算的正确性，本文制作了高速永磁电机试验样机进行试验。从上文的分析中可知，当转子尺寸和运行工况相同时，镍基合金护套对永磁体的压应力更大，起到更好的保护效果。为了保证永磁体有较大的安全系数，转子材料为钐钴和镍基合金材料；当护套厚度为3 mm，过盈量为0.08 mm时，永磁体最大径向压应力为59.91 MPa，镍基合金护套的安全系数为1.256，符合转子强度保护要求，因此转子结构选为上述设计方案。图8为转子实物、样机和实验平台。由于通过试验直接测量电机转子内的应力比较困难，因此借助电机的空载试验、温升试验和超速实验来间接验证理论分析和设计的正确性。

图9为额定转速下的空载反电势波形，结果表明，电机的反电势试验值和仿真值基本一致，波形为正弦波，验证了有限元仿真计算的准确性和电磁设计的合理性。

为了进一步验证转子机械结构的有效性，对电机进行温升试验和超速试验。采用碳化硅宽禁带器件控制器驱动电机在额定工况下运行，记录电机的温升变化，直到电机温升达到稳定，并观察电机状态，电机的温升随时间变化曲线如图10所示。随着时间的增加，定子温升逐渐升高，最终稳定在100 K，在此期间电机稳定运行、无异常。

在空载条件下，通过变频器将电机逐渐加速进行超速试验，直到1.2倍的额定转速（120 kr/min），并持续运行2 min，在此过程中电机平稳运行，未见异常，通过超速试验。

以上试验结果表明，电机的转子机械结构设计合理，能够在额定转速下可靠运行，在高速离心力和温升热应力的作用下永磁体和非导磁金属护套未被破坏，仍然有效。因此，本文基于该样机的机械强度及其敏感性的分析正确，对高速电机转子结构设计具有指导意义。

5 结 论

本文基于解析法和有限元法对影响转子机械强度的因素及其影响机制进行了详细的分析，并采用多元线性回归分析的方法对影响转子机械强度的因素进行敏感性分析，并制作样机进行试验验证，得到如下结论：

1）影响护套切向应力和永磁体径向应力的敏感性因素由强到弱顺序分别为：护套材料gt;过盈量gt;护套厚度gt;温度；护套厚度gt;过盈量gt;护套材料gt;温度。

2）护套材料应选取热膨胀系数与永磁体接近的材料；护套厚度的选择需综合考虑电磁及强度要求；过盈量的选择应综合考虑转子强度和工艺性。

3）试验证明本文所设计的转子强度能够满足实际运行要求，间接验证了对转子机械强度及其敏感性分析结果的正确性。

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（编辑：邱赫男）