三种PZT 薄片粘贴状态的导纳理论模型的适用性分析∗

2024-01-26张耀文霍林生

传感技术学报 2023年12期

张耀文，赵晶∗，何颖，霍林生

(1.大连交通大学材料科学与工程学院，辽宁大连 116028；2.大连科技学院交通运输学院，辽宁大连 116052；3.大连理工大学建设工程学部，辽宁大连 116024)

近年来，压电阻抗法在结构健康监测领域得到了广泛应用[1－2]，如损伤检测[3]、混凝土强度监测[4]、螺栓松动[5]等。PZT 片粘贴状态的导纳理论模型，是压电阻抗法应用的理论基础。Liang 等[6]首先提出了基于机械阻抗概念的一维导纳模型，通过定义PZT 与结构的机械阻抗，把PZT 与结构当成一个耦合系统来考虑，损伤会导致耦合系统的机械阻抗发生变化，进而改变PZT 的导纳。在Liang等[6]提出的模型中，没有考虑PZT 与结构之间的胶层影响。为了研究胶层的影响，Xu 等[7]把胶层简化为处于PZT 和结构之间的一维弹簧质量阻尼结构，通过引入粘结系数的概念来建立导纳模型。Zhou等[8]对Liang 等[6]提出的一维机械阻抗模型进行了扩展，提出了二维导纳模型。但由于未知参数多于已知方程，计算难度很大。Bhalla 等[9]基于等效机械阻抗的概念，提出了一个更加实用的二维导纳模型。该模型中只有结构的等效机械阻抗这一个未知量，但仅适用于正方形PZT 片。Wang 等[10]基于等效机械阻抗的概念，针对嵌入式方形PZT 传感器，提出了三维导纳模型。左春愿等[11]基于等效机械阻抗的概念，针对嵌入式圆形PZT 传感器，提出了三维导纳模型。以上模型均是基于机械阻抗的概念建立的，除此之外，还有一些学者基于其他的理念建立导纳模型。孙慷等[12]基于梅森等效电路，假定外力(声动势)与外加电压成比例来建模，定性地分析了不同外力条件下PZT 片的振动情况。Giurgiutiu等[13]提出了基于结构动刚度的导纳模型，把结构的影响考虑为PZT 片的一个边界约束条件，认为结构的损伤等变化会改变这个边界条件，进而影响PZT的导纳。

综合分析以上模型，均是把结构简化为一个变量(以下简称结构变量)来考虑。当结构变量发生变化时，PZT 的导纳也会随之改变。压电阻抗法适用的前提是结构的损伤等变化会使结构变量发生改变。然而，由于结构的复杂性，各模型中的结构变量通常难以计算或只能对特定的细小结构进行近似计算[14]。因此，关于结构的损伤等变化改变结构变量的机理尚不明确，理论模型难以给压电阻抗法的应用提供更加深入的理论支撑。另外，由于结构变量计算的复杂性，模型的计算结果与实验的相符程度也就难以广泛考量。目前，针对各模型的适用性的对比研究尚较为缺乏。

因仅基于粘贴后的导纳测量实验难以评价各模型的适用性，本文尝试从PZT 粘贴前和粘贴后的导纳曲线变化的角度寻找规律，进而对各模型进行对比分析。首先从力学原理的角度，对三种理论模型进行分析研究，然后结合实验中得出的粘贴前后的导纳曲线会发生的频移和幅值变化，定性地探讨各模型的适用性。

1 PZT 导纳理论模型

1.1 PZT 自由状态一维导纳模型

考虑图1 所示的矩形PZT 薄片，其厚度b远小于长l和宽w。在上下主表面被有电极，沿厚度方向极化。

图1 矩形PZT 片示意图

当施加于两个电极上的交变电压的频率相对较低(如<1 MHz)时，PZT 的运动以横振动为主，即沿长度和宽度方向产生相同频率的伸缩振动。以长度较大于宽度的长条片为例，在一定的频率范围内，横振动以长度伸缩振动为主。考虑此一维伸缩振动，当施加正弦信号激励时，其压电方程[15]为:

式中:S1为x方向的应变，T1为x方向的应力，E3为z方向的电场强度，D3为z方向的电位移，sE11为电场恒定时的弹性柔顺常数，d31为压电应变常数，εT33为应力恒定时的介电常数。

其运动方程为:

式中:u为位移，A，B为待定系数，k为波数，ω为激励正弦信号的角频率。

设其两端的速度分别为v1、v2，则应力T1可表示为:

由式(1)、式(2)、式(4)，可得通过压电片的电流为:

自由振动时，两端速度大小相等，方向相反，且端部所受的外部力为0。由此可解出端部速度，进而求得压电片自由振动的导纳为:

1.2 PZT 粘贴状态一维导纳模型

当PZT 粘贴到结构表面时，由于结构的影响，其导纳模型变得复杂。孙慷等[12]基于梅森等效电路，假定外力(声动势)与外加电压成比例，得出的导纳模型(以下简称等效电压模型)为:

式中:B为外力与外加电压的比例系数。

Liang 等[6]提出了基于机械阻抗概念的一维导纳模型，其表达式为:

在该模型中，结构的机械阻抗，定义为驱动力与响应速度的比值[6]:

式中:F为PZT 与结构的相互作用力。

Giurgiutiu 等[13]通过引入结构动刚度的概念，把结构施加给PZT 的力简化为:

式中:kstr为结构的动刚度。

进而得出PZT 的导纳为:

为方便对比，将式(8)表达的一维导纳模型进行简化。设粘贴后PZT 的振动仍是对称的，长度方向两端的速度大小相等。结合式(4)和(9)，令:

反解出边界速度v2后，代入式(5)，可得导纳的表达式为:

对比式(9)和式(10)，可以发现，从力学角度看，式(9)是力与速度的关系，和阻尼理论中的粘滞阻尼类似。所以，结构的机械阻抗可理解为结构给PZT 片施加的阻尼力的阻尼系数。换言之，机械阻抗的理念，实际是把结构对PZT 运动的影响视作对PZT 片的运动施加了一个阻尼力，该影响通过阻尼系数来体现。

式(10)是力与位移的关系，和弹簧力类似。所以，结构的动刚度，可理解为结构给PZT 片施加的弹性力的刚度系数。换言之，结构动刚度的理念，实际是把结构对PZT 运动的影响视作对PZT 片的运动施加了一个弹性力，该影响通过刚度系数来体现。

可见，三种模型均是在自由状态的一维导纳模型的基础上建立的，不同之处在于各模型使用不同的结构变量来表达基体结构的影响。其中，等效电压模型使用外加电压的比例系数作为结构变量，机械阻抗模型使用结构的机械阻抗作为结构变量，结构动刚度模型使用结构的动刚度作为结构变量。

1.3 PZT 圆片二维导纳模型

以上各模型均为只考虑一维振动的理想化的模型。在实际工程应用中，使用的PZT 片多以矩形或圆形为主，同时存在二维或三维的运动。为通过实验对以上各模型进行对比，基于各理念，将模型推广为圆形PZT 薄片横振动的二维模型。因推导过程类似于一维模型，文中不再重复。对于如图2 所示的PZT 圆片(半径为a，厚度为b)，自由状态及粘贴状态的导纳表达如下。

图2 PZT 圆片示意图

自由状态下，圆形PZT 薄片的径向振动导纳模型为:

基于外力与外加电压成比例的假定，可得等效电压模型为:

基于机械阻抗理念的二维导纳模型可表达为:

基于结构动刚度理念的二维导纳模型可表达为[13]:

需要强调的是，式(15)～式(17)中分别只有一个待定变量，即比例系数B、机械阻抗Zs、动刚度kstr。当该变量为0 时，表示不存在结构的影响，即PZT 片处于自由振动状态。此时各式与式(14)也完全一致。相反，粘贴之后，导纳的变化也只归因于该变量的变化。换言之，结构的一切影响均只通过该变量(以下简称结构变量)来反映。然而，关于该结构变量如何获得，研究者都仅针对特定的细小结构提出了方法，但计算非常复杂[14]。因此，想要直接通过理论计算与实验测量来分析粘贴后理论模型的适用性比较困难。然而，从上述分析中可知，自由状态下的导纳是可以直接计算的，且自由状态和粘贴状态的导纳仅差一个结构变量。尽管结构变量不能直接获得，但通过对结构变量进行适当取值来分析粘贴后导纳曲线的变化规律是可行的。若能找到粘贴前后导纳曲线会发生的变化规律，即可从定性的角度对粘贴状态的导纳模型进行对比分析。因此，以下首先通过实验来分析粘贴前后PZT 片导纳曲线的变化规律。

2 实验分析

2.1 实验设计

为区分于结构变量的不同取值，文章选取了三种不同的材料板(亚克力、铝和不锈钢)开展实验。把相同的PZT 圆片粘贴到不同材料板上，通过测量粘贴前后PZT 片的导纳曲线，来分析不同结构变量对导纳曲线的影响规律。实验选用的PZT 片为直径16 mm，厚度0.6 mm 的薄片，类型为PZT－5H，相关参数列于表1。

表1 PZT 片的参数表

步骤1 自由状态导纳测量。首先通过测量自由状态下PZT 的导纳，筛选出一致性较好的PZT 片用于后续实验。检测时，使用自制的夹具夹持PZT片圆心位置，如图3(a)所示。导纳测量设备为Keysight E4990A 阻抗分析仪。测量频率范围为1 kHz～1 MHz。因该阻抗分析仪单次测量的频率点数最多为1 601，为获得更多频率点的导纳值，把整个测量频段分为10 段，1 kHz～100 kHz，100 kHz～200 kHz，200 kHz～300 kHz，…，900 kHz～1 MHz。扫描方式选择为线性扫描。实验现场如图3(b)所示。

图3 实验设备及设置

步骤2 粘贴状态导纳测量。将筛选出的PZT片分别粘贴到亚克力板、铝板和不锈钢板上。板的尺寸均为200 mm×200 mm×1 mm。PZT 片均粘贴在板的中心位置。粘贴使用的胶水为超声波振动专用胶水(科美达KMD－398)。根据Islam 等[16]的研究，胶层的厚度会影响PZT 片的导纳。因此，粘贴时，尽量保证了各PZT 片的用胶量相同，且涂抹尽量均匀。粘贴后，使用1 kg 的钢块进行按压固化24 h，以尽量减少粘胶差别对实验的影响。待固化后，给每个PZT 片焊接连接导线，然后依次进行导纳测量。测量过程中，各材料板使用商用包装采用的泡沫板来支撑。

2.2 实验数据分析

PZT 片粘贴前后的导纳测量结果如图4 所示。从图4 可见，粘贴后，导纳曲线均有明显的变化。各阶谐振频率对应的幅值明显减小。粘贴到不同材料上后，PZT 的导纳会发生不同的变化。两块金属板上的PZT 的导纳曲线上出现了非常密集的局部峰。局部峰在一阶谐振频段最为强烈，在低频段和二阶谐振频段也有明显分布。但亚克力板上PZT 的导纳曲线依然较为光滑，只在一阶谐振频段有很弱的局部峰，且分布非常稀疏。需要说明的是，对于粘贴后的PZT片，因机械边界条件影响，其振动随频率的变化非常复杂。上述内容中的一阶谐振频率，实际是为简化分析而类比出的结果。对比亚克力板上PZT 片粘贴前后的导纳曲线变化，粘贴后导纳曲线仍相对光滑，导纳曲线仍有类似自由状态下的变化趋势，但各阶谐振频率频段发生了不同程度的向左偏移。对比铝板和不锈钢板对应的导纳曲线300 kHz 以上的频段在粘贴前后的变化，各阶谐振频段也发生了明显的向右偏移。因此，为简化分析，可做出以下类比结果:当PZT片粘贴到结构上后，其导纳曲线上的各阶谐振频率段都会发生不同程度的偏移，且偏移的方向一致。但因某些材料会使PZT 片的导纳曲线上出现密集的局部峰，会“淹没”掉一阶谐振频率段。基于这一类比分析，结合图4(b)、图4(c)，可认为铝板和不锈钢板对应的导纳曲线上的一阶谐振频段为200 kHz 附近，为局部峰最为密集且强度最大的频段。在实验中，只有板的材料这一个变量。因此可见，粘贴后，结构的材料会对PZT 的导纳产生不同的影响。

图4 粘贴到不同材料后的导纳曲线变化

除了局部峰的不同外，各导纳曲线的一阶谐振频率也有明显的不同。亚克力板上PZT 导纳的一阶和二阶谐振频率及反谐振频率均出现了明显的左移(负频移)。而两块金属板上PZT 导纳的一阶和二阶谐振频率及反谐振频率均出现了明显的右移(正频移)。但因密集局部峰的存在，一阶谐振及反谐振频率的位置并不能很直观地观察到。为此，采用Origin软件中的非对称最小二乘平滑算法对粘贴后的PZT导纳曲线进行基线创建，进而把导纳的主体部分和局部密集峰进行分离。创建基线时的参数设置如表2所示。基线创建及局部密集峰分离的结果如图5 所示，其中，图5(a)、图5(b)、图5(c)中的局部峰曲线为原始导纳减去基线后的结果，称为局部峰曲线。

表2 非对称最小二乘平滑模式创建基线的参数设置

图5 基线创建及对比

图5(d)中的各基线曲线均放大了10 倍，且纵坐标沿纵轴方向进行了适当的偏移。为对比粘贴前后导纳曲线的频移情况，自由状态下检测的导纳曲线也在图5(d)中绘出。若以基线上第一、二个局部最大值作为一、二阶谐振频率点，从图5 可以看出，粘贴后，前两阶谐振频率均会发生明显的频移现象。对于亚克力板，前两阶谐振及反谐振频率均出现明显左移，而对于金属板，前两阶谐振频率均明显右移。但是，不锈钢板和铝板的上PZT 导纳的频移仍有明显不同。相比之下，不锈钢板对应的频移更大。这一点，在二阶谐振及反谐振频率处体现得更加直观。更高阶的谐振因不容易分清，暂不讨论。

3 模型适用性分析

通过实验可知，频移和幅值变化是粘贴前后导纳发生的两个主要变化。基于此规律，就PZT 圆片粘贴状态下的各导纳理论模型的适用性进行分析。首先根据式(14)计算1 kHz～1 MHz 频段上自由PZT 圆片的导纳。计算中使用的PZT 尺寸与实验相同，参数如表1 所示。需要说明的是，由于实验使用的PZT 是有损耗的，在使用模型计算时，也要包含损耗。相关损耗因子是根据Zhuang 等[17]提出的方法测量并计算得到的，如表1 所示。用于k31模式的测量试样尺寸为20 mm×2 mm×1 mm，用于kp模式的测量试样尺寸为直径16 mm、厚度1 mm。

计算结果与实验测量结果绘制于图6。从图6可以看出，计算结果中的各阶谐振反谐振频率总体较小，差异可能来自，①实验所用的PZT 片尺寸有误差；②为方便粘贴，实验用PZT 片的电极引出到了同一面，减小了电极面积。③计算模型只考虑了PZT 片的径向振动，但在实验中，同时存在厚度向及其他方向的振动。④因生产厂家提供的参数只是一个中位数[18]，计算中所使用的参数可能与实验使用的PZT 参数有所偏差。尽管有差异，但总体来看，计算结果与实验测试结果比较相符，自由状态的导纳模型能较好地表达真实情况。

图6 自由状态下的导纳模型与实验测试结果对比

在模型计算中考虑损耗后，整个计算在复数域进行，想通过实验来反解出对应的结构变量难度很大。另外，结构对PZT 的影响是一个复杂的问题，在模型中只用一个变量来考虑，本身也让获取变量的具体数据更加困难。所以，想通过直接对比粘贴条件下的理论结果和实验结果来评价各模型的适用性难以实现。通过实验可以发现，频移和幅值变化是粘贴后的两个明显特征。因此，以下仅定性地分析各模型是否能有效表达粘贴前后谐振频率和反谐振频率的频移和幅值变化。

对于等效电压模型，由式(15)可知，当B＝0时，计算结果为自由状态的导纳。当时，计算结果为频率的一次函数，相当于一个固定电容的导纳，此时，PZT 片处于径向完全夹紧状态。若不考虑损耗，此时的B≈1.175。对于机械阻抗模型和结构动刚度模型，由式(16)、式(17)可知，当Zs＝0 或kstr＝0 时，计算结果为自由状态的导纳。理论上，可以通过式(16)、式(17)计算出对应PZT 片处于径向完全夹紧状态时的Zs或kstr值，但因计算涉及复数运算，且与频率有关，实际计算较为复杂。因文章仅就频移和幅值变化趋势对各模型做定性分析，各结构变量值可通过试算分析导纳曲线变化的方式来选取。即通过选取适当的值，从导纳曲线的变化上观察，找出使基频谐振接近“抑制”的变量值，为结构变量的最大(小)值。然后在零和最大(小)值之间选取几个代表性的值来分析频移和幅值变化。各模型计算得到的导纳曲线随结构变量的变化如图7 所示。

图7 各模型中导纳曲线随结构变量变化的比较

图7 中，各曲线都是结构变量取特定值的计算结果。选定的各变量值为经大量取值试验后，挑选出可表达出该模型导纳曲线变化趋势的若干代表性变量值。图7 中标注的数字即为各结构变量选定的具有代表性的特定值。图7(a)中的变量为比例系数B，图7(b)中的变量为结构机械阻抗Zs，图7(c)中的变量为结构动刚度kstr。即在计算不同频率点的导纳时，该结构变量是固定值。在这种情况下，各模型计算出的导纳曲线均为光滑曲线，而没有出现局部峰。而且，不同的结构变量值，只会让曲线出现幅值变化和频移现象。图7(a)显示，比例系数B 的变化只会使反谐振频率出现频移，谐振频率保持不变，与实验不符。图7(b)显示，机械阻抗Zs的变化只会使谐振频率出现负频移，反谐振频率出现正频移，不会出现图4、图5 所示的整体负频移或正频移。图7(c)显示，动刚度kstr的变化可以使谐振频率和反谐振频率出现整体的负频移或正频移。这一方面，与实验结果较为相符。但正频移时，谐振和反谐振频率间导纳坡度变陡，负频移时，谐振幅值减小很少，反谐振幅值不增反减。这些都与实验不符。各模型对比分析结果列于表3。

表3 各模型对比分析结果

另外，从图7 可以看出，各理论模型中的导纳曲线在220 kHz 左右，都会趋向同一点，这一点与实验检测结果不相符。从数学角度讲，是因为各模型中决定谐振频率的项分子中都包含有J1(ka)项，当该项接近于0 时，导纳曲线主要由静态项(各模型中的前两项)决定。从力学角度讲，可能是在建立各模型时，均把结构对PZT 的影响只简化为边界力，而实际上，是PZT 与胶粘接的整个面都会受到结构的影响。需要说明的是，各理论模型都未考虑胶层影响，均假定了PZT 与结构之间为理想粘贴。但因实验主要用于定性地探索粘贴前后PZT 片导纳曲线发现的变化，所以在胶层尽量一致的情况下，可以不考虑胶层对实验结果的影响。

粘贴状态的导纳理论模型的一个重要应用是，结构健康监测中用于检测结构损伤等变化的压电阻抗法[1]。目前，压电阻抗法虽然被国内外学者广泛地采用，但在实际应用时，多止步于通过试错或经验验证方法对结构的特定损伤或变化的敏感性，关于检测频率选择、检测敏感区域范围、对损伤敏感的深层机理等尚缺乏系统的研究。开展对粘贴状态导纳理论模型的研究，可以进一步认识各理论的形成基础及适用范围，进而为压电阻抗法等应用的探索和完善奠定理论基础。