基于罚函数算法的感应式磁力仪优化设计∗

时洪宇

(1.中煤科工开采研究院有限公司，北京 100013；2.煤炭科学研究总院 开采研究分院，北京 100013)

感应式磁力仪基于法拉第电磁感应定律，是应用最普遍的磁场测量传感器之一，广泛应用于矿产资源勘探、物理研究等领域[1－7]。等效磁场噪声和轻小化是感应式磁力仪的核心指标，前者决定了磁场强度的探测下限，而后者对于传感器的实用性具有重要价值。因此，根据等效磁场噪声和轻小化要求对感应式磁力仪进行优化设计具有重要意义。

为降低感应式磁力仪噪声及重量，国内外研究主要从以下两个方面进行:一是感应式磁力仪部件的优化，比如高导磁率磁芯规格研究[8－11]以及低噪声前置放大电路设计[12－14]；二是感应式磁力仪参数的优化配置。前者通过优化设计磁芯、前置电路，进而提升感应式磁力仪的性能水平。但感应式磁力仪包含多个参数且参数之间相互制约，单一最优参数设计可能会降低其他参数性能。因此在设计中必须根据实际应用需求，综合考虑并优化所有参数。感应式磁力仪参数优化配置的核心在于求解磁力仪参数数学模型[7，15－18]。Grosz 等[16]建立了低频感应式磁力仪数学模型。Coillot 等[17]使用牛顿算法求解磁力仪参数配置，但模型中并没有考虑电流噪声的贡献。Duan 等[7]提出使用回溯搜索算法优化感应式磁力仪重量和体积。闫彬等[18]提出利用等高线图求解最佳参数配置。

在给定感应式磁力仪参数及等效磁场噪声、轻小化约束下，本文提出使用罚函数算法求解感应线圈匝数、线径最优配置。文中首先给出了磁力仪基本参数计算公式，进而建立了等效磁场噪声、重量的数学模型。针对无法直接求解感应式磁力仪最优参数配置解析解的不足，使用罚函数算法求解其数值解，最后进行了实际测试与对比分析。

1 感应式磁力仪原理

感应式磁力仪敏感元件基本结构如图1 所示，感应线圈以分层分段结构绕制在骨架外以降低分布电容，拓宽磁力仪的工作频带。高磁导率磁芯安置在骨架中间位置，从而提高感应线圈内部的磁通密度。

图1 感应式磁力仪敏感元件基本结构

感应式磁力仪可等效为图2 所示电路结构[19－20]。感应线圈等效为二阶RLC 系统，两端产生的感应电动势经前置电路放大后输出；同时感应电压经反馈电阻Rf转换为电流后送入反馈线圈，形成一个闭合磁通负反馈回路，不仅能够抑制输出感应电动势的动态范围，同时增强系统的稳定性。

图2 感应式磁力仪等效电路

感应式磁力仪灵敏度如式(1)所示。

式中:ω为角频率且ω＝2πf，Rs、Lp、C为感应线圈直流电阻、电感和分布电容，Ls为反馈线圈电感，M为感应线圈与反馈线圈之间互感值，Rf为反馈电阻，N为感应线圈匝数，S为磁芯横截面积，G为前置电路增益，μapp为磁芯相对磁导率，B为磁通密度。

2 感应式磁力仪噪声、重量数学模型

为了整体优化感应式磁力仪参数配置，必须首先建立其基本参数数学公式，磁芯相对磁导率μapp、感应线圈直流电阻Rs、电感Lp分别计算如下。

为避免趋肤效应对于磁芯高频相对磁导率的影响，本文中采用的磁芯由高磁导率坡莫合金丝(1J85)紧扎粘结制成。磁芯的磁导率计算如式(2)所示[2]:

式中:μr为1J85 坡莫合金的初始磁导率，Nd为磁芯退磁因子，由式(3)计算:

式中:dc，lc分别为磁芯的直径和长度。

感应线圈采用铜质漆包线绕制，假设绕线均匀紧凑，则其直流电阻值Rs可由式(4)计算[21]:

式中:ρ是铜的电阻率，大小1.75×10－8Ω•m2/m，dw为漆包线线径(不包括绝缘层)，ti为绝缘层厚度，tb为绕线骨架厚度，κ为线圈与磁芯的宽度比。

感应线圈电感由磁芯规格及线圈参数决定，电感值计算如式(5)所示[2]:

式中:μ0是真空磁导率，其值为4π×10－7H/m。

感应式磁力仪等效磁场噪声模型为一个闭环负反馈系统，如图3 所示。噪声源主要包括源阻抗热噪声vRs、前置放大电路电压噪声venp和电流噪声流经源阻抗产生的噪声vinp，其在感应式磁力仪输出端产生的噪声分别表示为voRs，voinp和voenp[3]。

图3 感应式磁力仪噪声源模型

感应式磁力仪等效磁场噪声表示为输出端总输出电压噪声除以灵敏度，推导简化后如式(6)所示:

式中:K是波尔兹曼常量，K＝1.38×10－23J/K，T是室温(25 ℃)的绝对温度表示，T＝298 K，inp为前置电路等效输入电流噪声，enp为前置放大电路等效输入电压噪声。

感应式磁力仪等效磁场噪声本底可由式(7)表示[14]。可以发现，本底噪声水平由前置放大电路等效输入电流噪声、感应线圈匝数、线宽比及磁芯长度决定。

感应式磁力仪重量包括敏感元件以及外壳的重量，其中敏感元件包括磁芯、骨架、线圈。本文中感应式磁力仪的外壳、磁芯和骨架已经给定，反馈线圈匝数较少(20 匝)，重量可以忽略，因此主要研究感应线圈重量的最小优化，线圈重量由式(8)计算，其中ρw为铜线密度。

3 感应式磁力仪参数配置优化

设计感应式磁力仪等效磁场噪声约束如下:本底噪声NEMIFL≤15 fT/√Hz，NEMI100Hz＝0.1 pT/√Hz。在给定感应式磁力仪等效磁场噪声要求下，优化感应线圈绕线线径以及匝数，使之能够达到设计等效磁场噪声的同时具有最小的重量，已知参数由表1 给出。

表1 感应式磁力仪部分给定参数

由于预设的等效磁场噪声优化频率较低(100 Hz)，可近似(1－ω2LpC)2＋(ωRsC)2≈1，因此表达式(6)可进一步简化为式(9):

因此，感应式磁力仪等效磁场噪声、重量约束下感应线圈绕线匝数、线径优化数学模型可表示为方程组(10):

式中:Wc(N，dw) 为需要优化求解的目标函数，NEMI100Hz(N，dw)＝为等式条件约束，NEMIFL(N，dw)≤15 fT/Hz 为不等式条件约束。

由于优化方程组(10)是一个含有等式、不等式条件约束的极值求解问题，而且将式(4)、式(5)、式(7)、式(9)代入展开后方程组十分复杂，导致无法直接求解得到参数N，dw的解析解表达式。

针对无法直接推导解析解的难题，本文使用罚函数方法求解数学模型(10)的数值解。罚函数求解方法的基本原理是利用求解问题的目标函数和约束函数构造出带参数的增广目标函数，把约束非线性规划问题转化为无约束非线性规划问题，进而采用无约束优化求解方法进行求解。

本文基于罚函数方法将有条件约束优化数学模型(10)转化为无约束优化数学模型(11)，构造罚函数P(g，r(k))并去逐渐逼近原目标函数Wc。其中g＝(N，dw)，r是惩罚因子，C为惩罚因子降低系数。

利用MATLAB 软件基于罚函数优化算法编程求解N，dw，得到优化数值解N＝20 216，dw＝0.1 mm。

4 感应式磁力仪性能测试及分析

感应式磁力仪前置放大电路如图4 所示，考虑磁力仪探头感应线圈的高输入阻抗特性，基于低噪声、高输入阻抗结型场效应管(Junction Field Effect Transistor，JFET)和集成运算放大器搭建第一级差分放大。R4与C2、R7与C4组成二阶低通滤波器，Rf为感应式磁力仪磁通负反馈电阻。

图4 感应式磁力仪前置放大电路

感应式磁力仪前置放大电路传递函数可由式(12)计算，约为760 倍(100 Hz)。

将前置放大电路输入端IN 与地端GND 短接，同时采用动态信号分析仪35670A 测量前置放大电路输出端OUT 的电压噪声谱密度，并进一步除以传递函数(12)，得到前置放大电路等效输入电压噪声，如图5 所示，约为＠10 Hz，＠100 Hz，1/f转折频率约为50 Hz。

图5 前置放大电路等效输入电压噪声

为了验证理论分析结果，根据优化前给定参数(表1)及基于罚函数方法求解得到的参数值(N＝20 216，dw＝0.1 mm)制作感应式磁力仪样机，如图6所示。磁力仪外壳及骨架采用聚酰亚胺材料加工，具有耐高低温(－200 ℃～300 ℃)、机械强度高等优点。在电磁屏蔽室磁屏蔽筒内测试感应式磁力仪灵敏度、等效磁场噪声指标，并对结果进行分析。

图6 实际制作感应式磁力仪

首先使用螺线管磁场发生装置产生1 nT 标定磁场，使用动态信号分析仪35670A 采集不同标定频率下的输出电压幅度，测得感应式磁力仪灵敏度，如图7 所示。

图7 感应式磁力仪灵敏度

撤去标定磁场，感应式磁力仪在屏蔽筒内近零磁场环境下工作，测量磁力仪输出电压噪声，并除以磁力仪灵敏度得到等效磁场噪声，如图8 所示。

图8 感应式磁力仪等效磁场噪声

由图7、图8 看出，感应式磁力仪灵敏度为100 mV/nT(平坦区)，等效磁场噪声水平约为NEMI100Hz＝0.11，NEMIFL＝20，与设计等效噪声参数基本一致。由于在谐振频率后感应线圈呈容性，因此实测与理论噪声曲线存在偏差。感应式磁力仪理论与实测性能指标对比由表2 给出，感应线圈实重(31 g)略大于理论结果(26.8 g)，这是由于实际中无法实现紧密均匀绕线所致。

表2 感应式磁力仪性能参数

5 结论

感应式磁力仪是磁场监测及研究的重要仪器，等效磁场噪声及轻小化是制约其磁场探测水平及实用性的核心指标。为得到最佳的感应式磁力仪，实际设计过程中必须对其参数进行优化配置。本文根据感应式磁力仪指标要求，建立了感应式磁力仪参数优化数学模型，并针对无法得到优化参数解析解的不足，提出使用罚函数算法求解其数值解。实测结果与理论分析基本一致，验证了所提出求解算法的准确性。