简谐运动的证明与周期推导

马仕彪

(安徽省濉溪中学)

简谐运动原来分布在高中物理教材的选修部分,在高考中属于选考内容,而新高考又将其重新列入高考的必考内容,其重要性再次凸显。简谐运动很好地体现了力和运动的关系,是高中物理的重要内容,是高中物理中最典型、最特殊的运动模型之一,而关于简谐运动的证明及其周期的推导等都是高考的热点和难点,因此有必要将该内容进行拓展和研究。

一、从简谐运动的基本问题说起

1.教材对简谐运动的定义

(1)运动学定义,如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即位移—时间图像x-t是一条正弦曲线,满足关系式x=Asin(ωt+φ0)。

(2)动力学定义,如果质点的回复力F与位移x的大小成正比,方向总是指向平衡位置,即满足关系F=-kx,其中“-”表示回复力与位移的方向相反,k为回复力系数,对于某一简谐运动k为常数。

2.关于简谐运动的证明

按照简谐运动的定义,要证明简谐运动即证明x=Asin(ωt+φ0)或F=-kx,更多的情况下,一般采用F=-kx的方法。

如图1所示的弹簧振子,满足简谐运动,对于其周期,我们采取两种方法进行研究。

图1

方法1:动力学法

方法2:运动学法

图2

值得注意的是,对于任一简谐运动,周期公式中的k为恢复系数,但不一定为弹簧的劲度系数。

4.简谐运动的其他特征

(1)对称性:位移、速度、加速度等都关于O点具有对称性;

图3

(1)选择物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动;

(2)弹簧的最大伸长量;

(3)为使斜面体始终保持静止状态,μ满足的条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)。

(3)方法一:设物块位移为正,斜面体受力情况如图4所示,在水平方向上有f+FN1sinα-Fcosα=0,在竖直方向上有FN2-Mg-FN1cosα-Fsinα=0,又FN1=mgcosα,F=k(Δx+x),联立可得f=kxcosα,FN2=Mg+mg+kxsinα。

图4

定义1 复杂情境 协同过滤推荐系统中用户情感、社交圈、用户位置、基础设施和物理条件等信息的集合，用向量表示为

二、常见的简谐运动——单摆运动

图5

三、非常见的简谐运动模型

1.匀速圆周运动径向方向上的简谐运动

如图6甲所示,质量为m可以看作质点的小球围绕O点以角速度ω、半径为r做匀速圆周运动。

以O点建立平面坐标系xOy,从小球过y轴开始计时,由向心力公式,有F=mω2r,将F沿x轴方向进行分解,有Fx=Fsinφ=mω2rsinφ=mω2·x,方向与x轴方向相反,即Fx=-mω2·x=-kx,因此小球在x轴方向做简谐运动。

当然,也可以利用位移时间关系进行证明。如图6乙所示,小球在x轴方向的投影为x=rsinφ=rsinωt,亦可证明小球在x轴方向做简谐运动。

甲

如图7所示,空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E、方向沿y轴正方向,磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向。现有一质量为m、电荷量为+q的带电粒子(不计重力),从坐标原点O处由静止开始运动。

图7

图8

【例2】如图9甲所示,在x>0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O处以初速度v0沿x轴正方向射入,粒子的运动轨迹如图9甲所示,不计粒子的重力。现只改变入射粒子初速度的大小,发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹不同,但具有相同的空间周期性,如图9乙所示。

(1)求粒子在一个周期T内沿x轴方向前进的距离s;

(2)当入射粒子的初速度大小为v0时,其y-t图像如图9丙所示,写出y-t的函数表达式。

甲

(2)在y方向上,由图9丙可以看出旋轮线向上偏,说明Δv=v0-v1>0。

3.含理想自感线圈电磁感应电路中的简谐运动

图10

4.液体中的简谐运动

图11

【例3】海上浮桶式波浪发电灯塔的原理如图12甲所示。浮桶内的磁体固定在暗礁上。密闭浮桶的内置线圈与浮筒保持相对静止,随着波浪上下起伏,线圈相对于磁体在竖直方向上运动,且始终处于磁场中。浮桶下部始终浸没在海水中,上部始终没有进入海水中,其外侧圆周的横截面积为S,如图12乙所示中阴影部分,忽略阻力的作用。

图12

(1)证明浮桶的振动是简谐运动;

(2)若某次振动的振幅为0.6 m,周期为6 s,且t=0时,浮桶位于振动的最低点,以向上为正方向,写出这次振动的方程;

(3)已知海浪的周期始终为T=3.0 s,海水的密度为ρ=1.0×103kg/m3,横截面积S=0.20 m2。该线圈与阻值R=15 Ω的灯泡相连,线圈的匝数N=200匝,直径D=0.40 m,总电阻r=1.0 Ω,固定磁体在线圈所处位置产生的辐向磁场的磁感应强度大小为B=0.20 T,浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动。g=10 m/s2,且π2=10。

①当浮桶及线圈的总质量m为多大时,该浮桶式波浪发电机的发电功率达到最高?

解：(1)设浮桶及线圈的总质量为M,由平衡条件,有ρgx0S=Mg,振动时有F=-ρg(x+x0)S+Mg,可得F=-ρgS·x=-kx,所以浮桶做简谐运动。

5.地球隧道中的简谐运动

图13

6.电场中的简谐运动

图14

【例4】如图15所示,电荷量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上B的右边套一带电荷量为-q的小环C,小环C恰好处于平衡状态,将小环向右拉离平衡位置一小位移x(x≪d)后静止释放,证明小环C将做简谐运动并推导其周期。

图15

五、结束语

简谐运动的证明和周期的推导是简谐运动中最基本的问题,也是最重要的问题,这也是研究简谐运动的入口,沿着这个入口,会通往崭新的一页,可以感悟到简谐运动之美,体会“简谐”真正的含义。