流体问题中“柱状模型”的建构实例

张祖志

(北京交通大学附属中学)

一、背景介绍

流体是由大量的、不断地做热运动而且无固定平衡位置的分子构成的,它的基本特征是没有一定的形状并且具有流动性。流体有一定的可压缩性,液体可压缩性很小,而气体的可压缩性较大,在流体的形状改变时,流体各层之间也存在一定的运动阻力(即黏滞性)。当流体的黏滞性和可压缩性很小时,可近似看作是理想流体,它是人们为研究流体的运动和状态而引入的一个理想模型,是液压传动和气压传动的介质。

二、典例与评析

【典型示例1】如图1所示高压水枪喷口半径为R,水速为v,水平地打在竖直煤壁上后形成半顶角为45°的锥面反溅,速度变为原来的三分之二。试求高速水流对煤壁的冲击力。

图1

图2

【点评】这是一道涉及速度分解的二维动量定理的情境问题,如何建立起柱状流体模型是解决这道题目的关键。

图3

常见的流体问题还有电子流、光子流等粒子流组成的大量粒子的定向运动问题,下面以光子流的定向移动作为练习。

图4

【点评】流体问题之所以难是因为研究对象不太明晰,先通过对均匀流体构建“柱状模型”作为研究对象,使研究对象变得具体化,利用动量定理等规律使解决问题的过程变得程序化,从而有利于问题的快速准确解决。

流体问题研究对象一般为气体或液体。这类问题的解决过程中常常涉及动量定理、动能定理,它需要学生利用微元思想通过受力分析和过程分析列出方程求解问题。但学生在尝试一题多解的过程中,使用动量定理、动能定理求解同一题目,却得出了不同的结果。其根本原因是对物理定律的适用条件和研究对象的范围界定不够准确造成的。下面采用流体力学的分析方法,选取研究对象,分别使用动量方程和能量方程得出相同的结果.通过对流体速度和压强的分析,明确流体问题中的两个典型误区避免教学疏漏。

【典型示例2】如图5所示,水上飞人娱乐活动是大家喜欢的一个项目,工作人员操控的喷射式悬浮飞行器将水向下喷出,可以使活动参与者悬停在空中。已知工作人员和参与者以及装备总质量为M,喷嘴的面积为S,求喷嘴处水流的速度v。

图5

【点评】两种解题方法所得结果完全一致,但在使用解法二时,我们把水流喷出过程看作是初速度为零的匀加速直线运动的过程模型,才得出平均速度等于末速度的一半,如果没有考虑到这一点,解法二容易出错误。

【变式练习2】小明在学习完动量定理后,想通过建构模型的方式加深对动量定理的理解和应用,他在家里制作了一个竖直向上的喷水的水柱,在水柱上方放置一质量为M的玩具,玩具稳定后悬停在空中,如图6所示。水柱喷口横截面积为S0,水从管口喷出瞬间速度为v0,水和玩具接触部分可近似看作是平面且面积大小近似为S,水柱和玩具接触后竖直方向速度减小为0,已知水的密度为ρ0,重力加速度为g,求:

(1)水柱口单位时间内喷出的水的质量;

(2)水柱和玩具接触前瞬间的速度;

(3)玩具在空中悬停时小球下方距离地面的高度是多大?

图6

【点评】在中学物理范围内动量定理的适用对象是质点模型,流体问题中的研究对象往往不能看作质点。