一个三角形不等式的进一步探究

朱凌云 邹守文

安徽省南陵县家发中学 (241300)；安徽省南陵县城东实验学校 (241300)

题目(《数学教学》2022年第10期问题1162)在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,求证:

2(a2cosA+b2cosB+c2cosC)≤ab+bc+ca(1).

本文给出(2)式的一个加强,结论如下:

为了证明上述结论,先给出如下引理.

引理[3] .在△ABC中,有S2≤

定理的证明：在△ABC中,有恒等式∑ab=S2+4Rr+r2,∑a2=2(S2-4Rr-r2),∑a3=

-(4R3+6R2r+5Rr2+6r3)2≥0