立足四基四能 聚焦核心素养 彰显育人价值——2023年福建省中考数学试卷评析

蓝文英

(福建省厦门市海沧中学 361028)

2023年福建省数学中考是在实施“双减”政策的社会大背景下,《义务教育数学课程标准(2022年版)》颁布后的第二次中考,社会关注度高.2023年福建省中考数学试卷(以下简称“福建数学卷”)以新课标为依据,坚持以立德树人为导向,侧重考查“四基四能”[1],凸显了“一核三层三翼”[2],试卷整体难度适宜,考查要求配比科学.与往年相比,试题结构特征基本一致,总题量25题,只有一点与以往不同,即2023年福建数学卷的第24题考查抛物线、第25题为几何压轴题,这两题的顺序和往年相反.试题情境创设“五育”融合,整体布局稳中有新,不仅体现了“两考合一”的考试性质,而且很好地实现了“有利学生发展”的育人目标.

1 立足四基四能,凸显试卷水平和选拔功能

福建数学卷关注必备知识、核心要点,注重考查数学基础知识、基本技能、基本活动经验、基本数学思想方法,以及发现、提出、分析和解决问题的能力.在考查学生素养能力的过程中,独立考查必备知识要点,能确保发挥试卷的水平性功能.

1.1 必备知识要点独立考查

例1(第8题)为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求,学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位:分钟),并制作了如图1所示的统计图．

根据统计图,下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述,正确的是( )

A.平均数为70分钟 .众数为67分钟

C.中位数为67分钟 D.方差为0

图1

评析本题以五育并举中的“强化体育锻炼”为背景,设置关于一周校外锻炼时间的折线图,不仅考查了四个必备统计量,还考查学生观察图表、分析统计图中的数据、做出决策的能力.

例2(第14题)某公司欲招聘一名职员．对甲、乙、丙三名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达三方面测试,他们的各项成绩(单位:分)如表1所示.

表1

如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按5∶2∶3的比例计算其总成绩,并录用总成绩最高的应聘者,则被录用的是．

评析本题创设了真实的问题情境,贴近实际生活,重点考查核心概念“加权平均数”,考查方式精准有效.母题来源于人教版八年级下册第20章第1节“平均数”.学生看到熟悉的背景,倍感亲切.试题不仅充满了人文关怀,也能让学生感受到数学的应用价值.从试卷水平性功能这一维度看,福建中考卷延续6年省考一贯的方式,善于整合教材资源并进行一定的拓展,部分试题是对当前福建各地市中学使用的三版教材的典型例习题、数学阅读与思考、数学活动等的改编.这对引导教师回归教材、研读课标具有一定的指向作用.

1.2 核心思维方法重点考查

福建数学卷重视对核心思维方法的考查,以四能为抓手,落实核心素养,较为全面地考查了分类讨论思想、函数与方程、化归与转化、数形结合、数学建模等核心思想方法.

例3(第16题)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y1

评析本题与2022年第16题一脉相承,主要考查了二次函数的性质.题目未给出图象,需要学生动手画草图,借助抛物线示意图,联结已知条件直观分析,通过分类讨论(①点A在对称轴左侧,②点B在对称轴左侧)达到问题解决.不仅要求学生具备画图、识图能力,更突出考查数形结合思想、分类讨论思想及逻辑推理能力.

例4(第24题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点,记AB中点为E,直线AD,BC的交点为P．

(1)求抛物线的函数表达式.

(3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由．

评析此前6年省考的第25题均以抛物线为压轴题,2023年数学卷将第24题调为抛物线压轴题.本题设置三个小问,考查目标清晰,题目梯度合理,由易到难逐层深入.第(1)问门槛低,侧重学业水平考试的基础性;第(2)问入口宽、方法多,需要对问题进行适当的转化,需要具备较高的逻辑推理能力和运算能力,属于中等稍难题.要证明三点共线,既能转化为证明平角,也可以借助一次函数的性质解决,如先求出直线CE的解析式,利用点在线上获得点D坐标,从而证明C,D,E在同一条直线上.第(3)问则比较难,是函数与几何的叠加,在C,D,P均为动点的同时又满足C,D,E共线,要找出面积为定值的三角形,需从动态的角度探寻特殊位置,再推广到一般.这给不同思维层次的学生提供可发挥的空间,对代数运算能力、几何直观以及逻辑推理能力提出较高要求.

显然,不同的方法显示了不同的能力水平和思维层次,这也能更好地展现试题的选拔功能.本题重点监测三角形面积、一次函数与二次函数的图象与性质、一元二次方程与二元一次方程组等基本知识,以及几何直观和空间观念、运算和推理、创新意识、特殊与一般、数形结合等能力与思想.以上内容均凸显了数学学科的育人价值与导向——促进学生的思维发展.

本题启发教师在中学数学教学过程中,要留给学生更多的探究时间与空间,让学生亲历数学知识的探索、发现和形成过程,在推敲题干、理解题意、探寻解题思路的过程中积累数学经验,感悟数学方法,养成爱思考、善于思考的习惯.

2 依托学科本质,彰显育人功能与导向

福建数学卷立足数学学科特色,强调推理的逻辑性、运算的合理性、思维的严谨性,很好地发挥了学生思维培养的学科教学指向作用.如第10题选材合适,能让人感受到古人的智慧,弘扬了数学文化,增强民族自信心和社会责任感.如第23题以综合实践为背景,渗透“五育并举”,提升学生的动手实践能力,彰显学科的育人功能.

2.1 紧贴时代脉搏,弘扬数学文化

图2

评析本题素材出自《九章算术注》.割圆术是一种古老的数学方法,极具文化传承与数学应用价值.本题以“割圆术”为背景创设问题情境,考查圆内接正多边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积公式等基本知识.试题巧妙地融入了中华优秀传统文化,能增强学生的民族自豪感和自信心,体现了爱国主义教育的渗透和德育熏陶,同时也让学生感受到“用数学的眼光观察世界”的美妙,符合立德树人的教育价值导向.

2.2 精心创设情境,关注应用意识

例6(第23题)阅读下列材料,回答问题.

任务 测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图①.工具 一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度).测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图③.小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB,其测量及求解过程如下:测量过程 (1)在小水池外选点C,如图④,测得AC=a m,BC=b m;(2)分别在AC,BC上测得CM=a3m,CN=b3m;测得MN=c m.求解过程 由测量知,AC=a,BC=b,CM=a3,CN=b3,∴CMCA=CNCB=13.又∵① ,∴△CMN∽△CAB,∴MNAB=13.又∵MN=c,∴AB=② (m),故小水池的最大宽度为 m.

(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容.

(2)小明求得AB用到的几何知识是.

(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程．

要求:测量得到的长度用字母a,b,c…表示,角度用α,β,γ…表示;测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB,且测量的次数最少,才能得满分)．

评析本题是以“综合实践活动”为背景的数学阅读题,文字多、信息量大,以两点间距离的概念及其度量、角度概念及其度量、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等基础知识为载体,监测了学生获取信息,读懂数学文字语言、符号语言、图形语言的数学阅读能力以及利用数学知识解决问题的综合实践能力,考查了几何直观、数形结合、模型观念、应用意识和创新意识等数学素养.本题前两问比较基础,第3问方法诸多,给定测量次数的上限,在获得正确结果的同时比较测量次数,从而选拔出思维品质优秀的学生.在解决本问题的过程中,学生不仅要流畅地阅读,还需结合生活实践灵活运用几何知识．本题着眼于活动情境下数学知识的应用,可谓是“做中学,学中用”;同时,对数学综合实践活动的教学具有正向引领作用,能使学生体会数学的应用价值,达到过程育人的目标.

2.3 聚焦关键能力,回归核心素养

例7(第25题)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O,交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD的延长线与CA的延长线相交于点M．

图3

(1)求证:△ADE∽△FMC;

(2)求∠ABF的度数;

(3)若N是AF的中点,如图4,求证:ND=NO．

评析本题作为2023年几何压轴题,以等腰直角三角形为载体,条件清晰,入口宽,图形结构丰富,能启发学生从多种角度进行思考.以线段旋转为起点,蕴含等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行线、全等三角形的判定与性质、三角形内角和等核心知识,考查学生的直观想象、推理与运算、数学建模、化归与转化、创新意识等素养.第(1)问立足基础,第(2)问稍难,可用的方法较多,主要方法有:①设BC,DF交于点G,通过证明△BGD∽△CGF和△BGF∽△DGC得到∠FBC=90°,∠ABF=135°;②证明B,D,C,F四点共圆;③过点F作FG⊥AB,构造“一线三垂直”结构完成证明;④过点D作DG=DB,再证明△DBF≌△DGC.第(3)问较难,对学生的几何识图和演绎推理能力、模型思想等要求较高,符合压轴题的选拔要求,能够很好地检测考生是否具有后续学习与探究所必备的优秀思维品质.此外,要顺利解出本题,学生需要具备扎实的数学基本功和高阶思维力,要能够冷静地分析题目信息,不畏艰难、敢于直面困难,这也是中考考查的一个目标．整体而言,本题全方位考查学生的思维品质和数学素养,是不可多得的好题.

3 落实双减政策,引领命题方向与教改

“双减”要求数学教育教学应遵循学生的认知发展规律,依标教学,摆脱“题海战术”“机械刷题”“学习套路化”,加强知识的应用性,建构良好的教育生态,促进学生健康发展.福建数学卷的命题出发点很好地遵循这一理念,注重真实问题情境中解决问题能力的考查,重点考查数学思维、学科素养,以达到减负不减质的目标.

3.1 巧设真实情境,在问题解决中促进能力提升

例8(第6题)根据福建省统计局数据,福建省2020年的地区生产总值为43 903.89亿元,2022年的地区生产总值为53 109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x,根据题意可列方程( ).

A.43 903.89(1+x)=53 109.85

B.43 903.89(1+x)2=53 109.85

C.43 903.89x2=53 109.85

D.43 903.89(1+x2)=53 109.85

评析本题数据来自福建省统计局,将2020年至2022年省GDP总值与“增长率”问题有机结合,情境真实,让考生感受数学来源于生活又服务于生活,促使学生更加关心现实生产生活．试题选材接地气,从真实、直观的数据中能强烈地感受到祖国的强大和福建经济发展之快,民族自豪感、家乡自信等家国情怀油然而生,充分展现了中考关注理论联系实际、加强学生与实际生产生活联系的命题理念．

3.2 基于情境任务,通过任务驱动获得素养形成

例9(第22题)为促进消费,助力经济发展,某商场决定“让利酬宾”,于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定:凡在商场消费一定金额的顾客,均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下:从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中随机摸出1个球,若摸得红球,则中奖,可获得奖品;若摸得黄球,则不中奖．同时,还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中,并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小、质地与原来的4个球完全相同),然后从中随机摸出1个球,记下颜色后不放回,再从袋中随机摸出1个球,若摸得的两球颜色相同,则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．

(1)求该顾客首次摸球中奖的概率;

(2)假如该顾客首次摸球未中奖,为了有更大机会获得精美礼品,他应往袋中加入哪种颜色的球?说明你的理由．

评析本题以疫情放开后“刺激消费,拉动内需”这一时政热点为背景,依托简单随机事件的概率等基础知识,考查了运算能力、抽象能力、统计与概率思想、模型观念、应用与创新意识以及数学阅读能力等素养,有助于学生感受社会发展的脉搏,关注国计民生,加强学习与现实世界的联系,在问题解决的过程中感受数学的应用价值,锻炼实践能力,通过数据分析与计算进行科学的决策,体会数学的育人价值.

4 结语

2023年福建中考数学卷坚持以“立德树人”为导向,渗透“关键能力”的教学方向,突出“学科素养育人”的教学改革理念,充分发挥数学学科的育人功能;坚持以素养立意、以学定考、有利发展为命题出发点,有利于学生“跳出题海”,有利于教师更新教学思想和方法,有利于“双减”背景下初中数学教学“提质增效”,助力学生持续发展.