凸显数学本质 形成整体结构——以“反比例函数”教学为例*

刘志昂

(江苏省苏州高新区第五初级中学校 215151)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自江苏省普通初中,生源处于中等水平,有函数学习经验,具备一定的数学观察力、思维力和表达力等数学学习力．

1.2 教材分析

所用教材为江苏凤凰科技版《义务教育教科书·数学(八年级下册)》.“反比例函数”是第11章第1节内容,它是在反比例关系、函数、一次函数和正比例函数的基础上,学生学习的又一类函数．教材从生活问题入手,依据诸多例证,结合函数的概念和两个变量间的反比例关系,抽象出反比例函数的概念,并得出它的一般形式．在反比例函数概念同化的过程中,强化代数推理,凸显反比例函数的数学本质．在与一次函数学习的类比中,进一步感悟函数学习的一般观念,体会函数的整体结构,为后续学习二次函数以及高中阶段学习幂函数、指数函数等知识积累宝贵的基本活动经验．

教学目标 (1)能理解反比例函数的概念,能判断一个给定函数是否为反比例函数,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式;(2)经历反比例函数概念的习得过程,感悟函数概念学习的一般观念和一般策略,形成和完善函数的整体结构;(3)在反比例函数的学习过程中,体会数学建模、数学抽象、代数推理、类比与化归等数学思想方法,发展数学观察力、思维力和表达力等数学学习力．

教学重点 反比例函数概念的习得与理解．

教学难点 理解反比例函数概念的数学本质,感悟数学概念学习的一般观念．

2 教学过程

2.1 创设情境引入概念,构建概念类比学习

活动1 南京与上海相距300 km,一辆汽车从南京出发,以100 km/h的速度匀速行驶．

问题1在这个问题中,有哪几个量?它们分别是什么样的量?它们之间有什么样的数量关系?

生:汽车行驶的路程s(km)、汽车行驶的速度v(100 km/h)、汽车行驶的时间t(h),其中速度v是常量,路程s与时间t是变量,它们之间的数量关系是s=100t．

问题2在上述的数量关系中,变量路程s与时间t之间是函数关系吗?是哪种函数关系?为什么?

生:在这个变化过程中,路程s随着时间t的变化而变化,并且对于t的每一个值,s都有唯一的值与它对应,所以s是t的函数．又因为s与t的商是定值,所以s与t是正比例关系,故s是t的正比例函数．

问题3南京与上海相距300 km这个量有什么作用?除了正比例函数,我们还学习了什么函数?它们之间有什么关系?

生:300 km这个量决定了自变量t的取值范围(0≤t≤3)．我们还学习了一次函数,正比例函数是特殊的一次函数．

问题4对于一次函数,我们学习了哪些内容?

生:我们学习了一次函数的概念,一次函数的图象和性质,用一次函数解决问题,一次函数与二元一次方程的关系,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系等．

活动2 南京与上海相距300 km,一辆汽车从南京出发,以速度v(km/h)开往上海,全程所用时间为t(h)．

问题5根据在活动1的学习中积累的经验,你能提出什么问题?可以得出什么结论?

2.2 借助典型具体例证,进行概念属性归纳

活动3 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系:

(1)计划修建一条长为500 km的高速公路,完成该项目的天数y随日完成量x(km)的变化而变化;

(2)一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款,该厂的平均还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化;

(3)游泳池的容积为5 000 m3,向池内注水,注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化;

(4)实数m与n的积为-200,m随n的变化而变化．

生:在这些函数表达式中,等号右边都是关于自变量的分式,并且分母均是关于自变量的一次单项式．

2.3 抽象概念共同属性,形成概念明确表示

活动4 反比例函数的概念．

问题7你能类比正比例函数的定义,归纳出反比例函数的定义吗?

问题8你能说一说反比例函数表达式中k的取值范围吗?

生:我们小学学过反比例关系,是指两个相关联的量,如果它们的乘积等于一个非零的定值,那么它们成反比例关系．所以反比例函数中的比例系数k的值不等于零．

问题9你能说一说上述反比例函数表达式中自变量x和函数值y的取值范围吗?

2.4 抓住概念数学本质,开展概念明晰辨析

活动5 下列函数表达式中,哪些y是关于x的反比例函数?

(7)y=3x-1;(8)y=200x2-250x．

问题10(3)(4)(5)(6)(8)中的y为什么不是关于x的反比例函数?

生:(3)和(5)中的y是关于x的一次函数,(4)没有规定a≠0,(8)中的y是关于x的二次函数,(6)中的表达式可以化为y(x+1)=1,即xy+y=1,这里y与x不是反比例关系,所以y不是关于x的反比例函数．

问题11(1)(2)(7)中的y为什么是关于x的反比例函数?其中的比例系数k分别是什么?

问题12你认为判定一个函数是不是反比例函数的一般方法是什么?

生:将函数表达式进行变形和化简,如果能化为xy≠k(k≠0)的形式就是反比例函数,否则就不是反比例函数．

2.5 设置开放问题事例,强化概念巩固应用

活动6 写出下列问题中两个变量之间的函数表达式,并判断它们是否为反比例函数:

(1)面积是50(cm2)的矩形,一边长y(cm)随另一边长x(cm)的变化而变化;

(2)体积是100(cm3)的圆锥,高h(cm)随底面面积S(cm2)的变化而变化．

问题13解决这类问题的一般思路和方法是什么?

活动7 请写出一个反比例函数表达式,并赋予它实际意义．

问题14通过这个开放性的问题,你有哪些感悟和体会?

生:同一个反比例函数表达式,可以表示不同的实际问题．

2.6 建立相关概念联系,形成概念视域体系

活动8 课堂回顾与总结．

问题15根据今天的学习,你能说一说反比例函数与正比例函数的联系与区别吗?

生:它们都是描述现实生活的数学模型,都是反映两个变量之间的对应关系,即函数关系;两者的函数值与对应的自变量之间的关系不一样(正比例关系与反比例关系),图象和性质也应该有不同的地方,可以用它们解决不同的数学问题与生活问题等．

问题16你还想研究反比例函数的哪些内容?

生:反比例函数的图象与性质,用反比例函数解决问题……

问题17你觉得学习函数的一般观念和方法是什么?

生:从生活实际问题出发,归纳出函数的概念,然后画图象找性质,再运用函数的图象与性质去解决问题．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

本着“事实—概念—关系—结构—应用”的学习路径,遵循数学概念学习的一般观念与一般规程,在函数概念体系中去学习反比例函数．通过对生活中成反比例关系的两个变量函数关系的认知、对诸多反比例关系例证的数学抽象,概括归纳出反比例函数的定义,并将之符号化．教学中努力揭示反比例函数概念的数学本质,探寻其与一次函数及其他函数的关系,进而丰富学生认知结构中的函数概念域与概念系,形成整体结构．

3.2 教学反思

(1)在函数概念教学中凸显数学本质

数学概念是具体性与抽象性的辩证统一,是一类事物的空间形式和数量关系的关键属性的抽象,且往往用形式化语言来表达,因而它是高度抽象的[1]．

函数揭示的是两个变量在某一变化过程中的对应关系,而反比例函数首先是函数,其次其函数值与自变量成反比例关系．如活动2中时间t与速度v既是函数关系又是反比例关系,所以时间t是速度v的反比例函数,活动3中的5个问题亦是如此．活动5中,从对y是关于x的反比例函数的判断,总结出判断的依据是“xy=k(k≠0)”,这便是反比例函数的数学本质．如上的设计凸显了反比例函数的数学本质,也加深了学生对反比例函数本质属性的认识,促进了学生对反比例函数及函数的深度理解．

(2)在函数概念教学中感悟一般观念

反比例函数概念学习,既是概念形成也是概念同化．根据函数形成的心理过程分析,曹一鸣教授认为数学概念形成的教学模式一般包括以下 4个步骤[2]:①对同一个数学对象的不同例子的外部特征的辨认;②抽象出各个例子的共同的本质属性;③将概括出的本质属性与原有的概念联系起来,扩大或者重建原有的数学知识结构;④将本质属性推广到同类数学对象中去,明确新概念的内涵和外延．

根据函数同化的心理过程分析,曹一鸣教授认为数学概念同化的教学模式一般包括以下5个步骤:①揭示数学的关键属性,给出定义、名称及符号;②通过对数学概念特例的讨论分析,突出概念的本质属性;③使新的数学概念与已有数学认知结构中的概念建立联系,把新的数学概念纳入到已有数学概念体系中去,同化新的数学概念;④通过正、反例的辨认,使新的数学概念与已有数学认知结构中的数学概念分化;⑤把新的数学概念纳入到相应的数学概念体系中去,使数学概念融会贯通,形成一个整体．

据此,本课例的反比例函数概念学习设计为如图1所示的过程．本课例的设计中,活动2～4是以学生认知结构中的两个变量间的反比例关系、函数关系和一次函数(含正比例函数)关系等直接经验为基础,用归纳的方式抽取出这类事物的共同属性,从而达到概念的理解;活动5和活动6则是以学生间接经验为基础,以数学语言为工具,依靠新旧概念的相互作用去理解概念[3]．

图1

(3)在函数概念教学中形成整体结构

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(下称《标准2022》)指出:在教学中要重视对教学内容的整体分析,帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系．[4]我们在教学中应该跳出细节,也即各个具体的学习内容和每一节课,从更大的范围进行分析思考．我们应当帮助学生由局部性的认识,逐渐过渡到整体性、结构性的问题．[5]

本课例的设计中,蕴含了如下几个整体结构方面的思考:

·数学学习的整体结构 事实—概念—关系—结构—应用．即从数学研究的对象出发抽象出数学概念,探究发现数学概念之间的关系从而形成数学结构,再运用如上的数学概念、知识和结构来解决问题．

·函数学习的整体结构 概念—图象—性质—应用．

·函数概念的分类与代数式的关系 如图2所示．

图2

(4)在函数概念教学中强化代数推理

初中代数的教学中,普遍存在重运算轻推理的现象．《标准2022》中新增了“了解代数推理”的要求,同时指出“要关注基于代数的逻辑推理”．这充分表明,初中数学应加强代数推理．代数推理就是通过简单的归纳类比得到初步的结论后,通过法则的运用,感悟从一般到特殊的推理过程．[6]在“数与代数”的学习中,运算是学习的重心,依据公式、法则、运算律等进行运算,其本质就是一种代数推理;用代数式、方程、不等式、函数探究数量关系也是代数推理活动[7]．

(5)在函数概念教学中启迪理性思维

喻平教授从概念学习的心理过程划分,把数学概念学习分为概念获得、概念在知觉水平的应用、概念表征、概念在思维水平的应用等四个阶段[8],其认知模式如图3所示．

图3

抽象在概念的形成过程中起了关键的作用．从诸多生活问题中列出函数表达式,并抽象出反比例函数概念,其中对于诸多例证共同属性的归纳,既是数学观察力的表现,也反映了思维的概括性特征:在大量感性材料的基础上,把一类事物的共同特征和规律抽取出来,加以概括[9]．活动7中开放性问题的设计,鼓励学生沿着不同的方向思考,重新组织当前的信息和记忆系统中存储的信息,产生大量独特的新思想．教学中鼓励学生用自己的语言叙述反比例函数概念,以及用符号语言描述反比例函数的概念,是数学表达力的体现．如上的设计,促进了学生数学观察力、思维力和表达力等数学学习力的发展．