主对角子群对σ-幂零群的影响

马小箭，毛月梅

（山西大同大学 数学与统计学院，山西 大同 037009）

0 引言

作为Sylow 定理、可解群的Hall 定理和π-分离群的Chunhkin 定理等的进一步发展，Skiba和郭文彬于2015 年提出了σ-群理论：如σ-次正规子群、σ-置换子群、σ-可解群和σ-幂零群等［1］。应用这些新的理论，人们将可解群中许多经典的理论进行推广和发展。比如，将Sylow 系推广到完备Hallσ-集后，Hall-定理被推广［2］；将幂零群推广到σ-幂零群后，幂零群中子群的次正规性推广为σ-次正规性［1］、幂零群的群结构推广为Hallσi-子群的乘积［1］；类似于次正规子群的情形，所有σ-次正规子群组成的集合在一定条件下能成为一个模［3］。除此之外，还有许多利用σ-置换子群和Hallσ-子群得出的群结构的成果［1-9］。

2016 年，文献［10］讨论了群G×G的主对角子群的s-置换性、Z-置换性及s-置换嵌入性，将之前人们主要针对群G的研究推广到G×G中，同时给出群G是幂零群的充要条件。因为s-置换性［11-12］、Z-置换性［13］以及s-置换嵌入性［14-15］主要对Sylow 子群和Sylow 系进行讨论，所以当Sylow 子群和Sylow 系分别推广为Hallσi-子群和完备Hallσ-集后，自然地，s-置换性、Z-置换性及s-置换嵌入性也分别推广为σ- 置换性［1］、H- 置换性［16］及σ- 置换嵌入性［17］。因此本文将文献［10］研究群G×G中主对角子群的s-置换性、Z-置换性及s-置换嵌入性和文献［1，16-17］研究群G中子群的σ-置换性、H-置换性及σ-置换嵌入性进行综合推广，研究了群G×G中主对角子群的σ-置换性、H-置换性以及σ-置换嵌入性，给出群G是σ-幂零群的充分条件，既将文献［1，16-17］中的研究对象群G的子群推广为G×G的主对角子群，又将文献［10］中所讨论的s-置换性、Z-置换性及s-置换嵌入性推广为σ-置换性、H-置换性及σ-置换嵌入性，同时将文献［10］中幂零群的成果推广到σ-幂零群。本文所讨论的群均是有限群，未交代的概念和符号参见文献［18-20］。

1 预备知识

首先介绍关于主对角子群的一些符号和概念［10］。设G是群，记G*=G×G，称D={(g，g)|g∈G}为G*的主对角子群。另记G1={(g，1) |g∈G}，G2={|(1，g)g∈G}。显然，G*=G×G=G1×G2=G1D=G2D，D≅G1≅G2，D∩G1=D∩G2=1，并且G1和G2都是G*的正规子群。设M≤G，记D(M)={(m，m) |m∈M}，那么D(M)是D的子群。设A，B≤G，为了便于计算，习惯用有序元素对(A，B)表示A×B，D·(A，B)表示D与(A，B)的乘积。

以下介绍σ-可解群理论中的一些基本概念和符号［1-3］。设σ={σi|i∈I}是所有素数集合P的一个划分，符号Π 表示σ的任一非空子集。设G是一个群，通常记σ(G)=σ(|G|)={σi|σi∩π(G)≠ϕ｝。如果G=1 或|σ(G)|=1，则称G是σ-准素的。如果G的每个主因子H/K是σ-准素的，则称G是σ-可解群；若主因子H/K满足(H/K)⋊(G/CG(H/K)) 是σ-准素的，则称G是σ-幂零的。设H≤G，如果|H|是一个Π-数，则称H是G的Π-子群；如果H是G的一个Π-子群且|G：H|是一个Π'-数，其中Π'=σΠ，则称H是G的Hall Π-子群。设H 是群G的子群集满足1 ∈H，如果对于某个σi∈Π，H中的每个元素都是G的一个Hallσi-子群，并且对于每一个σi∈Π ∩σ(G)，H 包含且只包含G的一个Hallσi-子群，则称H 为G的完备Hall Π-集。特别地，如果Π=σ，则称H 是G的一个完备Hallσ-集；如果对任意的g∈G，Hi∈H，都有HHig=HigH，则称H是σ-置换的；如果存在G的子群链H=H0≤H1≤…≤Hn=G，满足或是σ-准素的，其中i=0，1，2，…，n，则称H是G的σ-次正规子群。如果G有一个完备的Hallσ-集，则称G是完全群；如果G的每个子群都是Dσi- 群，其中σi∈Π ∩σ(G)，则称G是具有Sylow 型的σ-完全群。设L 是由G的子群构成的一个非空子集，称G的子群A为L-置换的［1］，如果对于L 中的每个子群H都有AH=HA；称G的子群A为LG-置换的［1］，如果对于L 中的每个子群H和G中的每个元素x都有AHx=HxA。文中应用符号GNσ表示G的σ-幂零上根。下面介绍文章中用到的一些引理。

引理1［1］设H是G的一个σi-子群，那么H是σ-置换得当且仅当Oσi(G)≤NG(H)。

引理2［1］两个σ-幂零群的直积仍是σ-幂零群。

引理3［1］设H是G的一个Π-子群，H 是G的一个完备Hall Π-集。如果H是HD-置换的，其中D=GNσ，那么H是G的σ-次正规子群。

引理4设H是G的σ-幂零子群，Hi是H的Hallσi-子群，其中σi∈σ(H)。如果H在G中是σ-置换的，那么Hi在G中也是σ-置换的。

证明因为H是σ-幂零子群，故，又由引理3 知H在G中是σ-次正规的，所以Hi也是G的σ-次正规子群。设Gj是G的任一Hallσj-子群，其中σj∈σ(G)，并且i≠j，那么由假设知HGj成群。易见，Hi是HGj的Hallσi-子群，又知Hi也是HGj的σ-次正规子群，从而有，即Gj≤NG(Hi)。由σj的任意性知，Oσi(G)≤NG(Hi)，因此由引理1 知Hi在G中也是σ-置换的。

引 理 5［1-2］设H，K≤G，NG，H={H1，H2，…，Ht}是G的一个完备Hallσ-集。记L=HK，假定H在G中是L-置换的。

（1） 如果H≤E≤G，那么H是L*-置换的，其中L*={H1∩E，…，Ht∩E}K∩E。特别地，如果G是一个Sylow 型的σ-完全群，并且H在G中是σ-置换的，那么H在E中也是σ-置换的。

（2）HN/N是L**- 置换的，其中。

（3） 如果G是一个Sylow 型的σ-完全群，并且K/N是σ-置换的，那么K在G中是σ-置换的。

（4） 如果K是L-置换的，那么是L-置换的。特别的，HσG是G的σ-置换子群。另外，如果G是一个具有Sylow 型的σ-完全群，那么HσG是G的σ-次正规子群。

引理6［1］设G是一个具有Sylow 型的σ-完全群，H，K≤G。若H是G的σ-置换子群，那么H∩K是K的σ-置换子群。

引理7［1］设K≤G，NG，A是G的σ-次正规子群。

（1）K∩A是K的σ-次正规子群。

（2） 如果K≤A，并且A是σ-幂零的，那么K是G的σ-次正规子群。

（3） 如果G是σ-完全群，A是一个σi-群（或σi- 幂零群），那么A≤Oσi(G)（或A≤Fσ(G)）。

类似于文献［13］中所定义的Z-置换的概念，在σ-可解群理论中，可以定义子群的H-置换的概念［16］，设H={H1，H2，…，Ht}是G的Hallσ-完全集，G的子群H称为H-置换的，如果H与H-中的每个元素是可置换的。同理，类似于文献［14］中所定义的s-置换嵌入的概念，可以定义σ-置换嵌入的概念，群G的H称为σ-置换嵌入的［17］，如果对于每个σi∈σ(H)，H的每个Hallσi-子群也是G的某个σ-置换子群的Hallσi-子群。下面就σ-置换嵌入子群给出一些基本的结论。

引理8设G是一个具有Sylow 型的σ-完全群，NG，H是G的σ-置换嵌入子群，那么：

（1）HN/N在G/N中是σ-置换嵌入的。

（2）H∩N在N中是σ-置换嵌入的。

（3）H的每个Hallσi-子群在G中是σ-置换嵌入的。

证明（1） 设σi∈σ(HN/N)，并且K/N是HN/N的Hallσi-子群。因为G是一个具有Sylow 型的σ-完全群，所以存在H的Hallσi-子群Hi使得K=HiN，因H在G中是σ-置换嵌入的，故存在G的σ-置换子群U，使得Hi是U的Hallσi-子群。又由引理5 知UN/N是G/N的σ-置换子群，并且

是σi'-数，故K/N是UN/N的Hallσi-子群，因此HN/N在G/N中是σ-置换嵌入的。

（2） 设σi∈σ(H)并且K是H∩N的Hallσi-子群。因为G是具有Sylow 型的σ-完全群，所以存在H的Hallσi-子群Hi和N的Hallσi-子群Ni使得K≤Hi∩N≤Hi∩Ni≤K，从而有K=Hi∩N=Hi∩Ni。又由引理假设知存在G的σ-置换子群U，使得Hi是U的Hallσi-子群。由引理6 知U∩N是N的σ-置换子群。因为U∩NU，所以K=Hi∩N=(U∩N)∩Hi是U∩N的Hallσi-子群，这就表明H∩N是N的σ-置换嵌入子群。

（3） 根据σ-置换嵌入的定义，这是显然的。

引理9［10］设G*=G×G=G1×G2，NG。记N*=N1×N2=N×N，其 中N1={(n，1)|n∈N}，N2={(1，n)|n∈N}，那 么G*/N*=(G1N*)/N*×(G2N*)/N*=G/N×G/N，(DN*)/N*={(gN*，gN*) |g∈G}。

引理10［1］假设G是σ-幂零群，则以下条件成立：

（1）G有完备Hallσi-集H={H1，H2，…，Ht}满足G=H1×H2×…×Ht；

（2）G的每个子群都σ-次正规于G。

2 主要结果

命题1［10］设W是G一个非空子集，D是G*=G×G的主对角子群。

（1） 若D·(1，W) 是G×G的子群，那么WG。

（2） 设A1，A2≤G，若D·(A1，A2)≤G×G，那 么D·(A1，A2)=D·(1，A1A2)，特 别 地，A1A2G。

命题2如果D在G×G中是σ-置换的，那么G是σ-幂零的。

证明设Hi是G的任一Hallσi-子群，其中σi∈σ(G)，那么显然，(Hi，Hi) 是G×G的Hallσi-子群，从而由假设知D·(Hi，Hi)是G×G的子群，因此由命题1 知，HiG，故G是σ-幂零的。

推论1设H≤G，若D(H)在G×G是σ-置换的，那么H≤Fσ(G)。

证明由引理5 知，D(H)在H×H是σ-置换的，所以由命题2 知，H是σ-幂零的，即D(H)也是σ-幂零的。又由引理3 知，D(H)在G×G是σ- 次正规的，所以由引理7 知D(H)≤Fσ(G)，又 显 然Fσ(D)≤Fσ(G)×Fσ(G)，因此易得H≤Fσ(G)。

推论2设H≤G，若H≤Fσ(G)，那么D(H)在G×G是σ-次正规的。

证明由引理2 知Fσ(G)×Fσ(G)是σ-幂零群，并且Fσ(G)×Fσ(G)是G×G的正规子群，所 以Fσ(G)×Fσ(G)≤Fσ(G×G)，从而有D(H)≤H×H≤Fσ(G)×Fσ(G)≤Fσ(G×G)。由引理10 知D(H)是Fσ(G×G)的σ-次正规子群，所以D(H)在G×G也是σ-次正规的。

定理1假定G是一个具有Sylow 型的σ-完全群，H≤G。对任意的σi∈σ(H)，设Hi是H的Hallσi-子群，那么D(H)在G×G是σ-置换的当且仅当Oσi(G)≤CG(Hi)。

证明首先假定D(H)在G×G是σ-置换的，那么由引理5 知D(H)在H×H是σ-置换的，从而由命题2 知H是σ-幂零的，故D(H)也是σ-幂零的，又由引理3 知，D(H)在G×G是σ-次正规的，所以D(H)在D中是σ-次正规的，并由此由引理7 知，D(H)≤Fσ(D)。由Hi是H的Hallσi-子群易知，D(Hi)是D(H)的Hallσi-子群。因为D(H)是G×G的一个σ-幂零的σ-置换子群，因此由引理4 知，D(Hi)在G×G也是σ-置换的。现设对任意的σj∈σ(G)，Gj是G的Hallσj-子群，其中i≠j。显然，(Gj，Gj)是G×G的Hallσj-子群，所以D(Hi)·(Gj，Gj)成群。容易看到，D(Hi) 也是D(Hi)·(Gj，Gj) 的Hallσi-子群。因为D(Hi)在G×G也是σ-置换的，故由引理3 和引理4 知，D(Hi)是D(Hi)·(Gj，Gj)的σ-次正规子群，所以D(Hi)D(Hi)·(Gj，Gj)，这表明(1，Gj)≤NG*(D(Hi))，并且D(Hi)·(1，Gj)成群，从而推得Gj中心化Hi，由σj的任意性知Oσi(G)≤CG(Hi)。

反之，假定Oσi(G)≤CG(Hi)，即对G的任意Hallσj-子群Gj均中心化Hi，其中i≠j。因为G是具有Sylow 型的σ-完全群，所以H的任一Hallσj-子群Hj包含于G的某个Hallσj-子群中，从而得Hj中心化Hi，这就推得H是σ-幂零的。因Oσi(G)≤CG(Hi)≤NG(Hi)，所以由引理1 知Hi是G的σ-置换子群，从而由引理3 知Hi也是G的σ-次正规子群，所以由引理7 知Hi≤Oσi(G)，从而D(Hi)≤D(Oσi(G))。又由Oσi(G)≤CG(Hi) 易得D(Hi) 与G×G的每一个Hallσj-子群是可置换的，这就表明D(Hi)与G×G的每一个Hallσi-子群和Hallσj-子群都是可置换的，因此D(Hi)在G×G中是σ-置换的。由D(H)≤H×H知D(H)是σ-幂零的，所以由引理10 知D(H)可以写成它所有Hallσi-子群的直积，其中每个Hallσi-子群都是σ-置换的。所以由引理5（3）知D(H)也是σ-置换的，定理得证。

下面应用G×G中主对角子群D的H-置换性和σ-置换嵌入性来刻画σ-幂零群。

定理2设G是一个具有Sylow 型的σ-完全群，H={H1，H2，…，Ht}是G的Hallσ-完全集，并且每个Hi是幂零的。若G满足以下条件之一，则G是σ-幂零群。

（1）D在G×G中是σ-置换的；

（2）D在G×G中是H-置换的；

（3）D在G×G中是σ-置换嵌入的。

证明（1） 命题2 已证。

（2） 假定D在G×G中是H-置换的，并设σi∈σ(G)，那么由定理假设知存在G的两个Hallσi-子群Hi和H'i，使得Hi×H'i是G×G的Hallσi-子群，并且D与Hi×H'i是可置换的，即D·(Hi，H'i) 是G×G的子群。因为G是具有Sylow 型的σ-完全群，从而由文献［18，VI，Theorem 4.6］知存在G的Hallσi-子群Li，使得D(Li)·(Hi，H'i) 是D·(Hi，H'i) 的Hallσi-子群。又显然(Hi，H'i) 也是D·(Hi，H'i) 的Hallσi-子群，所 以 有 (Hi，H'i)=D(Li)·(Hi，H'i)，即D(Li)≤(Hi，H'i)，这就进一步推出Hi=H'i=Li，因此有D·(Hi，H'i)=D·(Li，Li)=D·(1，Li)，所以由命题1 知LiG，又由σi的任意性知G是σ-幂零群。

（3） 假设定理不成立，对G用极小阶反例。按照以下步骤继续完成定理的证明：

（i）G不是一个非交换单群。

假设G是一个非交换单群，那么G*的σ-置换子群只能是1，G1，G2，G*。设σi∈σ(D)，并且Hi是G的Hallσi-子群，那么D(Hi)是D的Hallσi-子群，由定理假设和σ-置换嵌入的概念知，D(Hi)可能是G1，G2或G*的Hallσi-子群。若D(Hi) 是G1或G2的Hallσi-子群，那么易得Hi=1，这是不可能的。因此假定D(Hi)是G*的Hallσi-子群，由于对G的任意Hallσi-子群Ki，Hi×Ki也是G*的Hallσi-子群，又因G是一个具有 Sylow 型的σ- 完全群，从而有D(Hi)(g1，g2)=Hi×Ki，其中(g1，g2)∈G*，这就迫使Hi=Ki，即G有唯一的Hallσi-子群Hi，那么HiG，这与G是非交换单群矛盾。

（ii）G有唯一极小正规子群N满足G/N是σ- 幂零的，并且N是交换p- 群，不妨设N≤H1，其中p∈π(H1)。另外，Φ(G)=1。

设N是G的极小正规子群，那么N1=(N，1)和N2=(1，N)分别是G1和G2的极小正规子群。记N*=N×N=N1×N2，那么由假设和引理9 知(DN*)/N*是σ- 置换嵌入于G*/N*，这就表明G*/N*满足定理的条件，所以由归纳假设知G*/N*是σ-幂零的，从而知(DN*)/N*和G/N都是σ-幂零的，由此得G有唯一极小正规子群N，并且Φ(G)=1。显然，D∩N*≠D，若否，则有D≤N*=N×N，从而得G=N，因为G是非单的，所以由假设G=N=N1×N2×…×Nk，其 中k＞2，并 且Ni(i=1，2，…，i)为相互同构的单群，这与G有唯一极小正规子群矛盾，因此D∩N*≠D。由引理8（2）知，D(N)=D∩N*是σ-置换嵌入于N*，因此由归纳假设知N*是σ-幂零群，从而知G*是σ-可解群，即G也是σ-可解的，因而N是σ-准素的。不失一般性，可以假定N≤H1，又因H1是幂零群，故N是交换p- 群，其中p∈π(G)。

（iii）G的Hallσ'1-子群H'1是一个素数阶群，假定|H'1|=q，其中p≠q∈π(G)。

由（ii） 知，存在G的极大子群M使得G=N⋊M。因为G/N是σ-幂零的，并且N≤H1，所以，故H1G。又显然H2，H3，…，Ht≤M，并且M≅G/N是σ-幂零的，所以由引理10 知M=H2×H3×…×Ht，其中M1是M的Hallσi-子群。因为每一个Hi都是幂零的，所以M是幂零群。这就推得G为可解群。显然，H'1=M'1=H2H3…Ht是G的Hallσ'1-子群。设L是H'1的任一极大子群，那么LH'1，记K=H1L。容易证明，KG。由引理8（2）知D(K)是σ-置换嵌入于K×K，所以由归纳假设知K是σ-幂零群，从而有LK，进而有LG，那么由N的唯一性知N≤L，但这是不可能的，这就表明H'1是一个素数阶群，不妨设|H'1|=q，其中p≠q∈π(G)。

（iv） 得出最后的矛盾

因为D(H1)是D的Hallσ1-子群，故由引理8（3）知D(H1)是σ-置换嵌入于G×G的，因此在G×G中存在σ-置换子群T使得D(H1)是T的Hallσ1-子群。显然，G×G=(H1⋊H'1)×(H1⋊H'1)，从而G×G=(H1×H1)⋊(H'1⋊H'1)，故T=D(H1)⋊T'1。因为H'1是q阶循环群，所以H'1=T'1。现任取(t1，t2)∈H'1，那么对任意的h∈H1，有(h，h)(t1，t2)∈D(H1)，故ht1=ht2，这就推得。如果t1≠t2，那么仍是G的Hallσ'1-子群，并且中心化H1，这表明G是σ-幂零群，与假设矛盾。因此假定t1=t2，那么H'1≤D，从而得T≤D。因为D(H1)≤T≤D，所以T=D(H1)或T=D。如果T=D，那么D是σ-置换于G，所以由命题2 知G是σ-幂零的。若T=D(H1)，那么D(H1) 是σ-置换于G×G，所以D(H1)·(H'1，H'1)是G×G的子群。由引理3 知D(H1)·(H'1，H'1)是G×G的σ-次正规子群，又显然D(H1) 是D(H1)·(H'1，H'1) 的Hallσ1-子群，所以D(H1)D(H1)·(H'1×H'1)，故D(H1)·(1，H'1)成群，因此H'1中心化H1，这就推得G是σ-幂零的，与假设矛盾。定理得证。

3 结论

文章在假定G是Sylow 型的σ-完全群的条件下，主要给出以下两个结论：

（1） 若H≤G，并设Hi是H的Hallσi-子群，其中σi∈σ(H)，那么D(H)在G×G是σ-置换的当且仅当Oσi(G)≤CG(Hi)。这一结论推广了文献［10］中D(H)在G×G是s-置换的当且仅当Oσi(G)≤CG(Hp)的结论，其中Hp是H的Sylowp-子群。

（2） 设H={H1，H2，…，Ht}是G的Hallσ-完全集，并且每个Hi是幂零的。若G的主对角子群D在G×G中是σ-置换的（或者是H-置换的，或者是σ-置换嵌入的），则G是σ-幂零群。这一结论将文献［10］中定理3.12 的主对角子群D的s-置换（或者是Z-置换，或者是s-置换嵌入）加以推广，得到了σ-幂零群新的刻画。

以上通过主对角子群的σ-置换性研究了有限群的结构，这一结果可以作为应用主对角子群的性质来研究幂零类对σ-幂零群的影响这一类型问题的参考。