线性相关模糊数空间中的模糊Laplace变换
2024-01-17郭元伟邵亚斌
郭元伟，邵亚斌
（1.太原学院 数学系，山西 太原 030032；2.重庆邮电大学 理学院，重庆 400065）
0 引言
众所周知，模糊微分方程在不确定或不完全动力系统中发挥了重要作用。Kaleva［1］于1987 年给出了H 差的定义，讨论了模糊微分方程的初值问题，然而H 差需要满足模糊值函数的支撑集长度是单调非减，这一条件极大地限制了模糊值函数的可导性，直到2005 年Bede 等［2-3］引入了模糊值函数强广义导数的概念，这一问题才得到解决。Stefanini［4］于2010 年定义的模糊数gH 差是一种更广范围的模糊数H 差，同时基于gH 差的模糊微分进一步完善了Hukuhara 微分，相关内容也可参考文献［5-8］。除此以外，利用Zadeh 扩展原理来求相应分明集值微分方程解的微分包含也是一种研究微分方程解的重要方法，文献［9-12］较系统地介绍了微分包含的基本步骤、讨论了解的唯一性等问题。同实值Laplace 变换一样，模糊Laplace 变换在研究模糊微分方程中起着重要作用，2010年，Allahviranloo 等［13］首次给出了模糊Laplace 变换的定义，并将所得结果应用到常系数线性模糊微分方程中，Shen 等［14］借助于模糊Laplace 变换研究了分数阶微分方程Ulam 稳定性问题，Gong等［15-16］基于Henstock 积分讨论了模糊Laplace 变换存在的充要条件和卷积定理，并利用相应结果讨论了几类不连续模糊系统。
2018 年，Barros［17］、Esmi 等［18］通过从二维欧氏空间向线性相关模糊数空间中引入算子ΦA，讨论了线性相关模糊数值函数的Fréchet 导数，Pedro 等［19］于2020 年推广了相应模糊数值函数的计算方法及对应的Fréchet 导数和Riemann 积分。事实上，如果模糊数A是非对称模糊数，则该空间是线性空间；如果模糊数A是对称模糊数，则该空间不是线性空间。为了解决这一局限性，Shen［20-21］借助于R2上的等价关系≡A给出了线性相关模糊数空间中LC 差的定义，并给出了对应的数值计算。值得一提的是，无论模糊数A是对称的还是非对称的，LC 差都是合理的，而且这种模糊数的差总是存在于线性相关模糊数空间中。Pedro 等［22］在非对称模糊数导出的线性相关模糊数空间中定义了Laplace 变换，并讨论了相关的性质，然而文献［22］并未给出相应的卷积定理，而且文献［22］中的所有结果均限于非对称模糊数导出的线性相关模糊数空间，这些结论在对称模糊数导出的线性相关模糊数空间中未必成立。基于以上考虑，本文分别研究了非对称模糊数和对称模糊导出的线性相关模糊数空间中Laplace 变换的性质，得到了模糊值函数关于实值函数的卷积定理，讨论了模糊Volterra 积分方程和一阶线性微分方程的解。
1 定义及说明
文中用RF来表示定义在实数集R 上的全体模糊数空间。模糊数A∈RF：R →[0，1]满足正规的、凸的、上半连续的，且支撑集紧［1-2］。任意A，B∈RF，k∈R，在模糊数空间RF中加法以及数乘运算A⊕B，k⊙A分别定义为：∀α∈[0，1]，有
特别地，把三角模糊数A简记为A=(a；b；c)，有[A]α=[a+(b-a)α，c+(b-c)α]。模糊数A是对称模糊数是指［18］：存在对称点x*∈R 使得A的隶属度满足A(x*+x)=A(x*-x)，∀x∈R。易证，当A是对称模糊数时，有。
令A∈RF，定义ΦA(q，r)=qA⊕χ{r}，其中(q，r)∈R2。显然，算子ΦA将二维数组(q，r)∈R2映射到模糊数ΦA(q，r)∈RF，为简化计算将qA⊕χ{r}简记为qA+r。由Zadeh 表示定理，得[ΦA(q，r)]α={qx+r：x∈[A]α}=q[A]α+r。
定义1［20］设A，B∈RF，若存在二元数组(q，r)∈R2满足B=qA+r，则称B是A线性相关模糊数，进而把RF(A)={qA+r|(q，r)∈R2}称为线性相关模糊数空间。
一般地，若B∈RF(A)，则存在(q，r)∈R2满足B=ΦA(q，r)=qA+r，即B是一个A线性相关模糊数。事实上，A线性相关模糊数空间RF(A)与A是否是对称模糊数有密切关系。一方面，当A是非对称模糊数时，ΦA是R2到RF(A)上的双射，借助于ΦA的性质，给出如下定义［21］：∀B，C∈RF(A)，λ∈R，
容易证明
另一方面，当A∈RFR 是关于x*的对称模糊数时，若B=ΦA(q，r)，则ΦA(-q，2qx*+r)=B，也即，可见ΦA并不是R2到RF上的双射。为解决这个问题，文献［20-21］给出了定义在R2上的等价关系≡A，即(q，r)≡A(p，u)当且仅当(q，r)=(p，u)或(q，r)=(-p，2px*+u)，简记为[(q，r)]≡A={(q，r)，(-q，2qx*+r)}，同时用R2/≡A={[(q，r)]≡A|(q，r)∈R2}表示R2上的商集。
定义2［20-21］若[(q，r)]≡A，[(p，u)]≡A∈R2/≡A，∀λ∈R，p≥0，q≥0，有
例1设A=(-1； 0； 1)表示三角模糊数，可得A的对称点为x*=0，任取[(2，-3)]≡A∈R2/≡A，[(3，5)]≡A∈R2/≡A，根据定义2 得
定义3［20-21］设A∈RFR 是关于x*的对称模糊数，B，C∈RF(A)，且有B=A([(q，r)]≡A)，C=A([(p，u)]≡A)，记
根据以上定义，以下事实成立：
定义4［20］若A∈RF，B，C∈RF(A)满足B=ΦA(q，r)，C=ΦA(p，u)，
1） 当A是非对称模糊数时，记B⊖C=ΦA(q-p，r-u)；
2） 当A是关于x*的对称模糊数时，记B⊖C=A([(q，r)]≡A[(p，u)]≡A)；
其中
定义5［20-21］设A∈RFR 是关于x*对称模糊数，若f(t)=q(t)A+r(t)是线性相关模糊值函数，记f(t)的统一形式为f(t)=q0(t)A+r0(t)，其中
定义6［19-20］设A∈RF是非对称模糊数，f：[a，b]→RF(A)是线性相关模糊值函数，且f(t)=q(t)A+r(t)。若q(t)，r(t)是Riemann 可积的，则f的Riemann 积分定义为
定义7［20］设A∈RFR 是关于x*的对称模糊数，f：[a，b]→RF(A)是线性相关模糊值函数，且f(t)=q(t)A+r(t)，q0(t)，r0(t)与定义5 中的一致。若q0(t)，r0(t)是Riemann 可积的，则f的Riemann 积分定义为
假设f：[a，+∞)→RF(A)，且f(t)=q(t)A+r(t)。当A∈RF是非对称模糊数，将f在[a，+∞)上的积分定义为［22］：
容易验证
当A∈RFR 是关于x*的对称模糊数，q0(t)，r0(t)与定义5 中的一致。若q0(t)，r0(t)是Riemann可积的，且存在，易证存在，且有
从而可得
2 模糊Laplace变换
定义8设f： [0，+∞)→RF(A)是线性相关模糊值函数，若对任意s∈R 存在。则称之为f(t)在s处的模糊Laplace 变换，记作
下文中只讨论s＞0 的情况，不做特殊说明总假设s＞0。
引理1设A∈RFR 是关于x*的对称模糊数，f(t)=q(t)A+r(t)，q0(t)，r0(t)与定义5 中一致。若L[q(t)]和L[r(t)]存在，则L[q0(t)]和L[r0(t)]存在，且[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A。
证明由实值函数积分性质，易证若L[q(t)]和L[r(t)]存在，则L[q0(t)]和L[r0(t)]存在。现证[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A，
由定义2 可得
也即[(L[p0(t)]，L[r0(t)])]≡A=[(-L[p0(t)]，2x*L[p0(t)]+L[r0(t)])]≡A。
定理1设A∈RF，f(t)=ΦA(q(t)，r(t))，则如下事实成立：
1） 当A∈RF是非对称模糊数时，则L[f(t)]存在的充要条件是L[q(t)]和L[r(t)]存在，且L[f(t)]=ΦA(L[q(t)]，L[r(t)])。
2） 当A∈RFR 是关于x*的对称模糊数时，则L[f(t)]存在的充要条件是L[q(t)]和L[r(t)]存在，且L[f(t)]=A([(L[q0(t)]，L[r0(t)])]≡A)。
证明1）当A∈RF是非对称模糊数时，有
得
2） 当A∈RFR 是对称模糊数时，由于e-st＞0，由定义3 可得
注1定理1 表明无论A是非对称模糊数还是对称模糊数其对应的模糊Laplace 变换都有类似的结论，若A是非对称模糊数该结论与文献［22］中定理11 一致，若A是对称模糊数，借助于相应等价类的Laplace 变换可得线性相关模糊值函数的模糊Laplace 变换。
推论1设A∈RF，f(t)=ΦA(q(t)，r(t))，则如下事实成立：
1） 当A∈RF是非对称模糊数时，若L[f(t)]存在，则L[f(t)]=L[q(t)]A+L[r(t)]；
2） 当A∈RFR 是关于x*的对称模糊数时，若L[f(t)]存在，则
定理2设A∈RF。若f(t)=ΦA(q(t)，r(t))，g(t)=ΦA(p(t)，u(t))的模糊Laplace 变换存在，则对任意α∈R，β∈R，有
证明下面分别对A是非对称模糊数和对称模糊数进行讨论。
当A∈RF是非对称模糊数时，有
由定理1 可得
当A∈RF是关于x*对称模糊数时，根据定义3 和定义4
以下只讨论α≥0，β＜0，其他情况的证明与之类似。根据定义2 有
从而
结合引理1 和定理1 得
结论得证。
注2由定理2 的证明，A是非对称模糊数或对称模糊数上述结论均成立，因此文献［22］中性质12 为定理2的特殊情况。
3 实值函数与模糊值函数的卷积及其性质
定义9设A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)为实值函数，记f(t)与g(t)的卷积为。
若t＜0 时，f(t)=χ{0}，g(t)=0，则根据模糊积分区间的可加性，有
由于Laplace 变换只需要被变换函数在自变量大于等于零时有定义，所以下文中若无特别说明都假定参与卷积运算的函数t＜0 时恒为零。
引理2设A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)为非负或非正实值函数，以下事实成立：
1） 若f(t)*g(t)存在，则f(t)*g(t)=ΦA(q(t)*g(t)，r(t)*g(t))；
2） 若g(t)*f(t)存在，则g(t)*f(t)=ΦA(g(t)*q(t)，g(t)*r(t))。
证明不失一般性只证1）式。
当A∈RF为非对称模糊数时，由卷积的定义得
当A∈RFR 是关于x*的对称模糊数时，下面只证明g(t)≤0 的情况，
也即
从而
定理3设A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)为非负或非正实值函数。若f(t)*g(t)存在，则g(t)*f(t)也存在，且f(t)*g(t)=g(t)*f(t)。
证明由引理2 易证结论成立。
定理4设A∈RF，f(t)，h(t)是线性相关模糊值函数，g(t)为实值函数，则
1） (α⊙f)*g(t)=f*(αg(t))；
2） (h⊕f)*g(t)=h*g(t)⊕f*g(t)。
定理5设A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)，g(t)为非负或非正实值函数。若f(t)，g(t)及f(t)*g(t)的Laplace 变换存在，则
证明由定理1 和引理2 可证。
4 模糊Laplace变换的应用
当A是非对称模糊数时，记，其中B∈RF(A)，||·||∞表示R2上的无穷范数。对任意模糊数B，C∈RF(A)，记d(B，C)=||B⊖C||ΦA，有
当A是关于x*的对称模糊数时，记，其中是R2/≡A上的无穷范数，也即对任意[(q，r)]≡A∈R2/≡A有
同样把模糊数B，C∈RF(A)之间的距离记为。
定义10［21］设A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)是线性相关模糊值函数，若对任意t0存在，称f是可导的。
引理3［19-20］设A∈RF是非对称模糊数，f(t)=q(t)A+r(t)是线性相关模糊值函数，f是可导的当且仅当q(t)和r(t)可导，且f'(t)=q'(t)A+r'(t)。
引理4［20-21］设A∈RFR 是关于x*对称模糊数，f(t)=q(t)A+r(t)是线性相关模糊值函数，f是可导的当且仅当q(t)和r(t)可导，且f'(t)=q1(t)A+r1(t)，其中
4.1 模糊卷积在模糊Volterra积分方程的应用
下面讨论模糊Laplace 变换的卷积定理在如下Volterra 积分方程的应用：
其中f(t)=q(t)A+r(t)为未知模糊值函数，g(t)=p(t)A+u(t)为已知模糊值函数，k(t)为非负或非正的实值函数，L[f(t)]，L[g(t)]，L[k(t)]存在。下面对以上模糊积分方程的解进行讨论。
对（1）式两端作Laplace 变换，得L[k(t)]⊙L[f(t)]=L[g(t)]，由定理5 可得方程（1）的解等价于：
当A是非对称模糊数时，（2）式变形为
从而得方程（2）的解满足
从而得方程（1）的解为
当A是关于x*的对称模糊数时，
1） 若k(t)≥0，由Laplace 变换的定义易知L[k(t)]≥0，（2）式等价于
也即
从而得方程（1）的解为
2） 若k(t)＜0，由Laplace 变换的定义易知L[k(t)]＜0，（2）式等价于
从而得方程（1）的解为
例2考虑模糊积分方程
其中A是非对称模糊数，f(t)=q(t)A+r(t)。两端作Laplace 变换，可得
也即
两边作Laplace 逆变换得
综上可得f(t)=(1-sint-cost)A+1+e2t。
4.2 模糊Laplace变换在一阶线性微分方程中的应用
定理6设A∈RF，f(t)=q(t)A+r(t)。若f'(t)，L[f(t)]，L[f'(t)]存在，则
1） 当A∈RF是非对称模糊数时，有L[f'(t)]=s⊙L[f(t)]⊖f(0)；
2） 当A∈RFR 是关于x*的对称模糊数时，且q(t)q'(t)≥0 时，有L[f'(t)]=s⊙L[f(t)]⊖f(0)。
证明下面分别对A是非对称模糊数和对称模糊数进行讨论。
当A∈RF是非对称模糊数时，因为f'(t)存在，由引理3 可得f'(t)=ΦA(q'(t)，r'(t))。根据定理1 有
当A∈RFR 是关于x*对称模糊数时，若q'(t)≥0 且q(t)≥0，由引理4 可得
根据定理1 有
若q'(t)≤0 且q(t)＜0，由引理4 可得f'(t)=A([(-q'(t)，2x*q'(t)+r'(t))]≡A)，从而
结论得证。
例3 讨论如下一阶线性微分方程的解
其中A是非对称模糊数，且f(t)=q(t)A+r(t)。两边作Laplace 变换，由定理6 可得
即
解得
从而
综上可得
例4讨论如下一阶线性微分方程的解
其中A是关于x*的对称模糊数，且f(t)=q(t)A+r(t)。两边作Laplace 变换，由定理6 可得
即
若q'(t)≥0 且q(t)≥0，则（6）式等价于
解得
从而q(t)=t，。
若q'(t)≤0 且q(t)＜0，则（6）式等价于
解得
从而q(t)=-t，。综上可得，
5 结论
本文借助于线性相关模糊数空间中的积分与微分性质，首先给出了模糊Laplace 变换的定义，研究了模糊Laplace 变换存在的充要条件，并对其性质进行了讨论。其次，利用模糊Laplace 变换得到了线性相关模糊数空间中实值函数与模糊值函数的卷积定理。最后，借助于卷积定理和模糊Laplace 变换分别对模糊Volterra 积分方程和一阶线性模糊微分方程的解进行了讨论，并给出了算例。本文中的结果仍需进一步讨论，今后将对模糊微分方程解的存在性、稳定性等性质进行深入研究。