Korobov空间的指数收敛-（t1，t2）-弱可处理性

燕慧超，陈佳

（1.山西大同大学 计算机与网络工程学院，山西 大同 037009；2.山西大同大学 数学与统计学院，山西 大同 037009）

0 引言

多元逼近问题是定义在s个变量的函数类上的算子的逼近问题，特别是当s特别大时。本文利用连续线性泛函构成的算子来逼近该多元问题。信息复杂性n(ε，s)是指使得这些算法与多元逼近问题的误差不超过ε的信息运算的最少个数。多元问题的可处理性主要研究信息复杂性n(ε，s)与误差ε及变量个数s之间的依赖关系。有两种可处理性，基于多项式收敛的代数可处理性，基于指数收敛的指数收敛可处理性。代数可处理性主要研究信息复杂性n(ε，s)与s和ε-1的依赖关系；指数收敛可处理性主要研究信息复杂性n(ε，s) 与s和ln(ε-1) 的依赖关系［1-3］。

多元逼近问题的可处理性已成为当今的热门话题，主要结论在数据与信号处理，压缩感知，函数学习理论，统计学等若干领域发挥重要作用。在最坏框架下，文献［4-7］讨论了解析的Korobov 空间的指数收敛可处理性，文献［8］讨论了最坏框架下带权重的Korobov 空间的代数收敛可处理性。特别地，陈佳讨论了最坏框架下Korobov 空间中一类具有权重的张量积问题的指数收敛可处理性［9］。本文将进一步研究最坏框架下Korobov 空间中一类具有双权重的张量积问题的指数收敛-(t1，t2)-弱可处理性。

设权重序列g={gk}和r={rk}分别满足：

设

考虑定义在[0，1]s上的带双权重的Korobov 空间Hs，g，r，其重构核Ks，g，r(x，y) 是张量积形式，满足

其中

显然

其中

空间Hs，g，r的内积定义为

本文考虑多元逼近问题APPs：Hs，g，r→L2([0，1]s)，满足APPs(f)=f，f∈Hs，g，r。

定理1多元逼近问题APP={APPs}是指数收敛-(t1，1)-弱可处理（简称EC-（t1，1）-WT），t1＜1 的充分必要条件是。

注1文献［9］得到了当r*=r1=r2=…时，上述多元逼近问题APP={APPs}是指数收敛-（t1，1）-弱可处理，t1＜1 的充分必要条件是。

1 预备知识

考虑上述多元逼近问题APPs：Hs，g，r→L2([0，1]s)。对任意f∈Hs，g，r用算法逼近多元问题APPs，其中h1，h2，…，hn∈L2([0，1]s)，T1，T2，…，Tn是Hs，g，r上的连续线性泛函。在最坏框架下APPs与算法An，s的误差［1］定义为

n次最小最坏误差

特别地，当n=0 时，

对任意ε∈(0，1)，s∈N+，信息复杂性［1］定义为

设

(λs，j，ηs，j)是Ws的特征对序列，即Wsηs，j=λs，jηs，j，j∈N+，满足λs，1≥λs，2≥…≥0 且。

由文献［1］和［10］知，多元逼近问题APPs的n次最小最坏误差

因此APPs的信息复杂性为

其中 |· |代表个数。由参考文献［1］第215 页知，Ws的所有特征值为ℜs，g，r(k)，k∈Zs。所以

因此当s≥2 时，由（1）和（2）式有

定义1称多元问题APP={APPs}是指数收 敛 -(t1，t2)- 弱可处理（简称EC-(t1，t2)-WT）［8-10］的是指

2 主要结果的证明

3 结论

本文研究了最坏框架下Korobov 空间中一类具有双权重的张量积问题的指数收敛可处理性问题，并得到了该多元问题是EC-(t1，1)-WT，t1＜1 的充分且必要条件。上述张量积问题的其他指数收敛可处理性有待进一步研究。