关于有限循环群的一个注记

蒋琴会,于云清

（1.南京邮电大学理学院,江苏 南京 210023；2.山东潍坊第七中学,山东 潍坊 261000）

引 言

我们所涉及的群均指有限群.循环子群是有限群中一类非常重要的子群, 它是可以由一个元素生成的特殊的交换子群.文献［1］定理6.8 指出: 设G 是n 阶群,如果（n,Φ（n））=1,则G 循环,这里Φ（n）是正整数n 的欧拉函数.文献［2,3］习题1.4.3有下述结论: 设G 是有限群,假设|{x∈G|xn=1}|≤n,∀n∈N,那么G 是循环群.在［1］中,史江涛等证明了下面的定理1:

定理1 设G 为有限群,若G 的每个循环子群H 都满足: 对任意x∈GH 都有o（x）不整除｜H｜, 则G是循环群.

本文我们给出它的另一个较为初等、简洁的证明.应用我们的方法我们还可以证明定理2:

定理2 设G 为有限群, 对于任意正整数n‖G｜,G只有一个n阶子群,则G循环.

由定理2, 我们可以证明:

定理3 设G 是有限群,如果对于任意的正整数n‖G｜有｜{x∈G｜xn=1}｜= n 成立,则G 是循环群.

1 定理1的证明

证明 任取一｜G｜的素因子P, 设P 为G的一个Sylow P-子群.

第一步.P循环.

令x 为P 的一个最高阶元.假设P 非循环,则P ＞〈x〉.取y∈P 〈x〉,由假设o（y）不整除｜〈x〉｜=o（x）.由于x 是最高阶元,故o（y）整除o（x）, 矛盾.因此P =〈x〉是一个循环群.

第二步.P正规于G.

对于任意的g∈G,我们证明g-1Pg = P.假设存在d∈G使得d-1Pd≠P.令P =〈x〉.

则d-1xd∈GP.由假设o（d -1xd）=o（x）不整除｜P｜=｜〈x〉｜= o（x）,矛盾.由正规子群的定义,P正规于G.

第三步.G循环.

若G 是一个P群, 则G 循环.下设G 不是一个P 群.设Pi,i=1,2,...,n 是｜G｜的全部素因子, Pi 是G 的一个Sylow Pi-子群.设Pi=〈xi〉.易知,Pi⌒Pj=1,i≠j.由于Pi 是G 的正规子群,我们有xi-1xj-1xixj∈Pi⌒Pj=1.所以,xixj = xjxi.由i,j的任意性,我们有G=P1...Pn=〈x1...xn〉.因此G是一个循环群.

2 定理2的证明

证明 任取一G 的素因子P, 设P 为G 的一个Sylow P-子群.取P 的最高阶元x.任意取y∈P, 则o（y）｜o（x）.由假设y∈〈x〉.由此得P=〈x〉循环.由于G 只有一个Sylow P-子群, 有P正规于G.同定理1的证明可得,G循环.

3 定理3的证明

证明我们分3步证明该定理.

3.1 每个循环群H,群G只有唯一的｜H｜阶子群

设H是一个循环子群且｜H｜=m.由于｜{x∈G｜xm=1}｜=m ,所以.这说明G 中的m 阶子群只有一个:H.因此,H正规于G.

3.2 G的Sylow子群循环

设P 是群G 阶的任意素因子,P 是G 的一个Sylowp-子群.取x为P的一个最高阶元.则对于任意的y∈P,有o（y）｜o（x）.令o（x）=m,于是我们有｜{x∈P｜xm=1}｜≦｜{x∈G｜xm=1} ｜≤m,因此｜{x∈P｜xm=1}｜= m, 这说明〈x〉={x∈P｜xm=1}.于是y ∈〈x〉.进而P =〈x〉循环.

3.3 G循环

由1,2,知G 的每个Sylow 子群正规于G 且循环,所以G循环.