《线性代数》的教学反思与实践探索

余跃玉,唐海军

（四川文理学院数学学院,四川达州635000）

线性代数作为经典的数学课程之一,既是多个理工学科专业后继知识学习的基础课程,更是自然科学和社会科学的基本语言.其理论的高度抽象性、逻辑的严谨性以及解题方法的灵活多变性等特点,彰显了线性代数在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和实际应用能力等方面具有不可替代的作用.［1-3］在学科发展的新挑战下,如何打造《线性代数》一流课程,提高学生在教学中的参与度,改进和丰富学生的思维能力,激励并调动学生的学习兴趣,成了高等教育教师必须亟待认真思考和探索解决的问题.本文将通过对传统教学的问题分析,探讨线性代数的教改理念及具体的改革措施,并通过实践教学验证教学改革的新成效,提出后期完善改革举措的一些思考.

1 线性代数教学中的存在的普遍问题

线性代数作为大学数学中的一门重要课程,由于高度的抽象性和解题思路的灵活性,容易挫败学生的学习自信心,如果不进行教学改革,学生会感觉课程内容枯燥,教师会深感教学任务繁重,难以完成教学任务.具体体现在以下五个方面:

1.1 教学是对教师工作时间安排的新挑战

我国高校线性代数课程主要有包括行列式、矩阵、线性方程组、二次型和线性空间五部分,存在的主要问题是内容枯燥陈旧、缺乏深度和挑战度.如向量组的线性相关性及其极大线性无关组的问题,从学生角度来看,他们往往不知道相关性有何意义,对概念的掌握只停留在表皮,难以达到灵活运用的目标；从高校教师的角度来看,要想达到教学目标,不仅要重视基本概念的讲解,更有注重知识的应用引导.这要求教师不断学习补充新知,进行自我塑造、自我提升并超越教材,在课程内容上下功夫,对教学内容做出高度的聚焦、凝练、挖掘,精心选择不同的教学方法和模式组织教学.教师应集“编、导、演”于一身,在丰富的教学实践中有效落实知识传授、能力培养和价值塑造“三位一体”育人理念.［4］

然而,教师们为了职称能上一个新台阶,不得不加重科研精力的投入,削减教学时间的倾注,按单一的教学模式,只注重对知识点的呈现,而忽略了对知识凝结过程、科学发现过程的探究,无法在课堂上将学科发展前沿与学生共享.为此,大家普遍认为教学改革改到深处是“课程”,改到痛处是“教师”.［5］

1.2 过程管理无法满足时代发展的要求

线性代数课程研究对象是客观世界的自然规律,它超越语言障碍和文化环境,具有通适性以及高度的抽象性.线性代数的教学要求准确、客观、严谨.传统的教学过程管理中,课程教学一方面必须严格按照教学大纲、人才培养方案,完成线性代数的基本概念和理论、运算方法和技巧的教学内容；另一方面,很多高校为了增加实践教育和创新创业教育的比重,对线性代数等基础课程的教学时长进行了缩减.面对教学中的这种矛盾问题,如果不对教学课程进行改革,教师的教学将只能搁浅在完成基本概念、定理和性质的传授层面,学生的学习最多也只能停留在对基础知识的认知层面,难以达成学生自主学习和创新能力的培养目标.［6］

1.3 教学方式缺乏吸引力,学生学习投入度低

由于线性代数具有高度抽象性和思维的多元化的特点,如果教师采用传统课堂教学,按部就班地讲解定义、证明性质定理、传授计算方法等基本知识点,而忽视定义、定理的来源分析,学生将不知为何要学；不去理清课本各个内容之间的基本脉络,不去提炼出隐藏在背后的数学思想方法,［7］学生将难以理解矩阵与行列式、矩阵与线性方程组、矩阵与二次型及矩阵与变换之间的联系,难以灵活应用这些联系解决综合问题.部分学生会感觉线性代数内容庞杂,知识点分散,基本概念和主要定理难以理解,代数问题的矩阵呈现神秘莫测,会使大量学生认为线性代数听起来简单,但做题就难,学习的吃力与练习中的挫败会使学生逐步失去学习的兴趣,自然而然的会减少对学习的投入.

1.4 教学评价重知识记忆,轻能力与素养

学分制教学改革中,线性代数教学时数被大量压缩,有的专业每周只有2节,总课时不超过32学时,但在减少课程总学时数的同时,却未对教学内容做大的删减,导致教师不敢增加课程的挑战度,无法利用有限的课堂时间进行学情测试,唯有通过期末闭卷考试来考查学生对基本概念、性质定理及基本计算的掌握情况,很难综合评价学生的数学思维的创新情况以及运用线性代数解决问题的真实能力.

1.5 缺乏跨课程设计,对后继课程支撑度低

线性代数传统课程教学中,教师们倾向于围绕线性代数的内在逻辑,在课程教学领域内画地为牢.责任心强的老师表现出精心的设计教学活动,耐心的开展课后辅导,认真的批改作业,一门心思教授学生行列式、矩阵、线性方程组等知识.但他们却很少有人立足于专业培养的目标上,思考如何兼顾或整合其他课程内容,如何将线性代数的知识贯穿到学生的专业学习中,如何将其他课程的思想方法运用到线性代数的学习中.缺乏跨课程设计将导致学生在完成学业后根本无法将所学知识点串联在一起,直接影响学生对后继课程的进一步探索.

2 线性代数教学改革的理念

针对线性代数课程教育教学中存在的问题,项目组将从知识和理解、技能和技巧、创新和发展等三个方面出发,建构以培养学生数学素养为目标的《线性代数》课程新理念,具体体现如下:

2.1 打造以学生为本,知识、能力、素质协调发展的理念

线性代数课程分理工类、经管类、文科类等,针对不同学科不同专业的具体人才培养方案与培养目标,其专业需求不同,教学重心也会有所不同.为了打造一流课程,教师必须坚持以学生为中心,以需求为导向,分门别类的进行课程教学设计,建立以立德树人为根本任务的教学目标.教学理念应注重基本概念、性质定理、计算方法和技巧的传授；注重数学思想、数学方法的融入,培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力,及分析解决问题的综合能力；引领学生开展课程思政、创新创业活动,塑造学生正确的价值观和优秀的科学素养.

2.2 理论教学、实验教学、实践应用相结合

线性代数教学改革需要大力调整优化课程的教学计划,科学构建在线开放课程与课堂教学相结合,理论教学、实验教学、实践应用相结合的课程体系.课堂理论教学讲解传授线性代数的基础知识,有利于提高教学效率,减少学生在自主探究学习时走弯路的时间成本,体现了教师在教学中的主导性.但线性代数从行列式、矩阵线性方程组到特征值等问题,单一的PPT 加板书的教学方法,更多的是突出了计算技巧、方法应用的讲解以及学生的练习巩固,易造成课堂知识容纳量有限且效率低下,难以实现所有的教学目标,难以满足所有学生的个性化学习需求,难以多维度启发学生的创新思维.计算机与网络高度发展的今天,如果教师在教学过程中借助各种数学软件,让学生亲手操作复杂问题的数学实验,或者通过多媒体实验视频的直观展示,构建“理论+实验+实践”的教学设计形式,将可让重复冗杂的计算变得快速高效,抽象复杂的理论变得直观简单,有效提高学生的学习探究效率.

2.3 以专业发展为导向,将科技前沿成果引入课程教学

建设一流课程必须提高认识,高等教育的课程教学应该根据不同专业的人才培养方案,及其毕业生的未来走向,超越教材、超越大纲,以相应专业的学术前沿为标杆,敏锐捕捉相关专业前沿的科技成果信息,深入挖掘线性代数知识点本身与这些科技发展前沿成果的结合点,鼓励、引导学生自己去发现问题,并以“问题”激发学生的求知欲望,点燃学生的学术理想,将学生的课程学习真正引入深度学习的层次.

3 探索线性代数的教学改革策略

为实现培养学生数学素养的教学改革理念,项目组提出了如下三个方面的教学改革策略:

3.1 培养学生对线性代数的好奇心和兴趣

为了培养学生对线性代数的学习兴趣,教师可以利用课堂介绍线性代数中的知识点的来龙去脉,了解各个知识点之间的联系,如行列式的教学中引入行列式的发展史,不仅能让学生了解行列式在线性方程组的求解中起着重要的作用,而且能让学生在学习范德蒙行列式、克拉默法则时会有一种亲切感,课后再让学生探讨二阶、三阶、n 阶行列式的几何性质,使学生从感官上进一步感受到行列式的魅力所在.又如复杂且抽象的特征值问题,可以让学生观看视频,了解人脸识别技术的实质就是矩阵的特征问题,手机照相的美图功能.此外,战争年代的信息加密与解密问题等实际上都可归结于矩阵的变换问题.这些能让学生感觉到线性代数的理论并不那么神秘,线性代数的应用已广泛地分布在大家的生活之中.这些有趣的案例将有利于激发学生的学习好奇心,提升学习线性代数的兴趣,这将是线性代数教学工作的一个重要目标.

3.2 合理分配教学时间,积极改进教学方法

为了解决线性代数课时少、任务重的矛盾,一流课程建设中必须合理分配教学时间,大胆压缩内容枯燥,方法单一的灌输式教学时长,每节课预留10分钟时间来让学生进行讨论,每周设计一些问题（也鼓励学生提供一些相关问题）供学生思考和研究,充分信任学生的独立思考和交流互动的能力,积极引进形式多样的教学模式,改变学生学习的依赖性,提升学生的探索知识和独立解决问题的能力.下面,给出三种实用可行的教学方法:

3.2.1 研究性教与学

大学教育的目的是培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.开展研究性的教与学,目的就是要充分发挥教师的主导作用和学生的主体能动性.这需要教师熟练掌握教学内容,精心设计布局,激励学生发现问题,引导学生利用线性代数基础理论去分析问题,并最终解决问题,也可让学生加入教师的研究工作中,增进师生互动,共同营造和谐、轻松的教与学的环境,以激发学生的学习兴趣和主动探索意识.

让学生带着问题去预习新知识,以问题启发学生分析、研究矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系,思考探索初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法,并把这种方法运用到系数矩阵可逆的线性方程组的求解、部分矩阵方程的求解问题上.有了这种研究式教与学的过程,有限时长的课堂教学将变得轻松从容,教师只需在课堂上随机抽样检查一下学生的预习效果,根据学生自学中存在着比较集中的问题,进行详细的讲解分析,做好课程辅导和答疑工作；给出一些有关初等变换与初等矩阵乘积关系的实例,引导学生选择分析其中的矩阵变换过程、顺序及其与初等矩阵的乘积的正确表达方式；鼓励学生走上讲台,讲解教材作业等.

通过循序渐进的提出问题,分析问题,解决问题的过程,教会学生学习知识、研究问题的办法,不仅能够吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣和求知欲,更能增强学生学习的自信心和成就感,提高学生独立思考和自主学习的能力,提升学生数学思维能力和基本的数学素养.

3.2.2 合作性学与探

传统的线性代数教学重理论轻应用,过分追求知识的系统性与严密性,忽略学生的理解力这一重要因素,导致学生的问题越积越多,学习兴趣渐渐丧失,课程考试通过率降低等现象.如何增强学生的理解力,提高学习的效率呢？

从认知发展理论上看,学生要想真正理解线性代数,除了认真听课,积极思考以外,更重要的是学生内化吸收的过程,这就需要学生花更多的时间去思考、讨论、巩固和拓展.学生的内化吸收是一个反复的过程,每个人内化吸收的速度和方式也是不同的,所以教师在讲授与小组合作学习之间要留出充足的时间,让学生消化和吸收当堂课程知识.为此,教师可以将教学班级的学生分成几个学习小组,每周给学习小组安排一些讨论课题,或者其他合作学习的任务,让学生利用课外共同学习或相互讨论,相互评判,取长补短,可以使大家的学习效果大幅度的提升.通过小组集体对这些案例的讨论分析,给出唯一或者无穷多种解决问题的方案,加上课堂中的适当引导,学生会自然地归结出线性相关的性质及相关性的判别方法,这不仅让抽象的难题变得触手可及,同时也使学生亲历了实际问题的发现、分析和解决过程,让他们在今后的工作中临危不惧.

3.2.3 项目式学与研

项目式教学是指在教师的引导下,把教学过程分解为一个个具体的工程或事件,设计出一个个项目教学方案,按项目要求设计教学思路.如,在教师的教学科研项目研究中,可以将学生作为项目成员,将其中与课程有关的项目交与学生自己去处理,在问题解决过程中包括信息的收集整理、研究方案的设计、项目的实施和评价都由学生自己负责,提高学生学习和研讨的积极性.当然,教师也可以参与指导学生项目,教会学生利用数学建模的方法,将实际问题通过一些必要的简化假设,转化为数学模型,如果该模型是非线性的,学生可以试着对它进行线性化,然后利用线性代数的知识去分析求解,最后将所得结果加以实验验证,得出项目结论的有效性的评价,并作出相应的改进与优化.项目教学法的显著特点是以项目为主线,学生为主体,教师为引导,师生共同完成,共同取得进步的教学方法.［8-9］这种教学法周期短见效快,目标明确,具有可控性,可以最大限度地调动学生探究真理和寻求方法的积极性,有利于加强学生的自学能力的提高,创新能力的培养.

3.3 合理完善的考核评价体系

学期考评是检验学生对该门课程掌握程度、以及利用该课程的理论解决实际问题能力的一个重要方法,合理完善的考核评价体系应当以学生为中心,从学习动机、学习态度、学习时间投入、学习能力等主观因素,以及教师的教学水平、学校的学习条件、环境、管理和服务等客观因素去设立标准,［8］不仅要对学生所获知识和技能等显性能力进行评价,更要对学习的态度、习惯、方法和能力等隐性因素进行评估.

合理完善的考核评价体系应该是多元化的,可以依据学生对学习的投入度、教师对学生的影响度、学校对学生的支持度和学生自身的学习获得度等四个维度去设定.在线性代数教学中,教师可以从课堂出勤、课堂表现、课后作业、课外主题讨论成果和期末考试等方面,全方位评价学生的学习态度与能力,可以适当改变考试考核评价体系,加大平时成绩占比,特别是要突出研究性合作学习的分值,能极大地调动学生参与教学的积极性,激活学生的内在综合能力,培养他们综合运用所学知识分析和解决问题的能力,从而实现线性代数课程的教学目标.

4 成果与展望

通过问卷调查和期末考试成绩两个方面,项目组对比了教学改革前后两个年级的同一专业学生的线性代数学习效果表明:改革后的教学模式明显提高了学生上课时的抬头率,独立完成作业及不断修改完善作业的积极性明显高涨,激发了学生合作学习、研究讨论的激情.新的教学模式在课堂教学效果、学习兴趣、学习目标培养等方面都更有优势,期末考试平均成绩也较改革前有了大幅度的提高,进一步印证了教学改革的有效性.

线性代数教学改革取得的成效是显著的,但改革的过程中也出现了一些新的问题需要研究者继续思考,不断完善.如随着学生对线性代数学习的积极性的提高,学生提出的问题也越来越多,为了及时解答学生的疑问,教师们需要付出更多的时间和精力.为此,项目组将同一专业不同年级的学生以QQ 群聚合在一起,学生与学生之间进行传帮带,高年级的学生通过帮扶师弟师妹的同时,也可提升自己对知识的深加工,有效的提高了学生合作学习的效果.再如,由于学生学习兴趣的高涨,大量学生对自己在作业、测试中出现的错误都积极主动地提出了打回重做的申请,通过教师的多次辅导和学生自己的持续改进,大部分同学都能达到优良等级的成绩,导致学生的最终成绩整体区分度不够明显.

线性代数的教学改革是一项长期的、艰巨的工程,这需要教师持之以恒的投入改革的热情、敏锐的洞察力和创造力,不断的反思教改过程中出现的新问题,挑战课程改革的新高度,精心打造高水平的一流课程；还需教师团队紧跟科研动态,持续关注线性代数知识在各行各业知识的应用,并充分利用网络资源持续性探索更好的教学改革途径,为培养创新型人才打下一定的数学基础.