一种新型趋近律的PMSM 模糊自适应终端滑模控制*

2024-01-15冯琪茗董秀成

电气工程学报 2023年4期

冯琪茗董秀成, 刘元

(1.西华大学电气与电子信息学院成都 610039；2.四川大学锦江学院电气与电子信息工程学院眉山 620860)

1 引言

永磁同步电机(Permanent magnet synchronous motor，PMSM)由于效率高、转矩能力大、构造简易、功率密度高等优点，通常用于高性能应用中[1]。因此，为了在设计过程和实施中提高效率，需要对PMSM 进行速度控制。在电机控制领域中，PI 控制器一直因其结构简单、调节方便而备受青睐，但是，传统PI 控制器仍然存在大量的问题，在现实控制中，大多数系统都是非线性系统，而PI 控制器属于线性控制器，用线性控制非线性，会导致精度降低。而且在实际控制中，传统PI 控制器无法应对系统参数变化带来的问题。在高精度控制场景下，PI 控制器已经无法胜任[2]。

随着现代控制理论的发展，为解决传统PI 控制器的不足，大量学者开始结合现代控制理论研究新的控制器，如神经网络控制、预测控制、模糊控制、滑模控制(Sliding mode control，SMC)等[3-6]；从首次提出到现在，经过长期的发展，SMC 一直是控制领域无法绕开的话题。SMC 也被称为变结构控制，因其对系统自身参数变化和外部扰动不敏感，具有响应快速、鲁棒性强和容易实现的优点，广泛应用于PMSM 控制系统中，而且其控制的优越性也得到了证实[7]。但是传统SMC 仍然存在问题，一是在满足稳定性条件下，必须使滑模切换增益大于系统不确定项的上界，这样会造成SMC 产生严重的抖动[8]。二是由于传统SMC 采取的滑模面是线性的，所以会存在收敛速度慢的问题，只有在时间趋于无穷时，误差才会收敛到零[9-10]。

在解决传统SMC 问题的研究过程中，国内外学术专家付诸了很多的努力，也取得了诸多的研究成果。针对滑模抖振问题，研究发现是由于系统状态轨迹在滑模面上做高频切换运动而产生的，为了抑制因抖振产生的影响，文献[11]提出了一种基于新型变速趋近律的滑模控制器，选取变带宽的趋近方式，能够很好地抑制稳态转矩脉动。文献[12]提出采用可变边界层的饱和函数取代传统的符号函数来抑制抖振，虽然抖振在一定程度上能够得到抑制，但系统的响应速度比较慢。文献[13]提出采用分数阶终端滑模控制，并设计基于半正定屏障函数的自适应控制，对不确定扰动的上界进行估计来削弱不确定性因素对系统的影响，可以保证跟踪误差在有限时间得到收敛，避免过高的控制增益估计且削弱了系统抖振。文献[14]提出一种新型的模糊滑模速度控制器，通过系统状态量到达滑模面的距离和滑模增益来设定模糊规则，使得滑模趋近速度可以进行动态调整，然后选取连续的sigmoid 函数取代不连续的符号函数，让系统可以进行平滑切换，提高了控制系统的响应速度并且增强了控制系统的抗干扰能力。

目前，无传感器策略是一种可测量变量技术，对消除布线和降低信号噪声起到了较大的作用[15-16]。国内外的学者们在对无传感器控制技术的研究过程中，也取得了诸多的研究成果。例如，文献[17]提出一种新型指数型函数，该方法可以降低滑模函数带来的抖振。文献[18]提出一种新型方波注入法，该方法可以降低高频电压矢量信号畸变，提高观测器估计角度的精度。文献[19]提出了改进型滑模观测器，该观测器在抑制抖振的同时，也能提高算法的估计精度。

本文在模糊滑模控制的基础上，提出了一种改进的算法。一是在全局快速终端滑模控制的基础上，根据文献[20]所提趋近律，设计了一种新的复合趋近律，很大程度上提高了系统的收敛速度，为抑制抖振问题，采用将饱和函数放入幂次项中，实现了和幂次趋近律相同的性质，抖振也能得到很好的抑制。二是根据线性化反馈技术，以误差函数导数的绝对值为补偿构建了自适应干扰估计项，并将估计结果作为补偿传递到速度控制器，避免开关增益的使用，试验仿真表明，本文所设计速度控制器能使电机转动抖振得到有效削弱，电机控制系统的动态响应能力和稳定性得到提高。

2 PMSM 数学模型

三相永磁同步电机是一种非线性、强耦合的多变量系统，并且结构较为复杂，为了便于分析，常常将三相PMSM 看为理想型电机，同时满足理想条件。为了方便控制器的设计，需要选取合适的坐标变换对三相PMSM 的数学模型进行解耦和降阶变换，本文采取同步旋转坐标系对其进行解耦与降阶，故PMSM 的数学模型在d-q旋转坐标系下可以表示为

式中，ud与uq分别表示对应的d轴、q轴电压，id与iq分别表示对应的d轴、q轴电流，ωm表示机械角速度，ψf表示永磁体磁链，pn表示极对数，Rs表示定子电阻，Ls表示定子电感，J表示转动惯量，TL表示负载转矩。

3 新型复合趋近律的设计与分析

3.1 传统滑模趋近律

一般来说，传统滑模控制器的设计主要有两个部分，一是滑模面的选取，二是趋近律的选择，前者保证系统误差的收敛，而后者则保证滑模趋近运动的动态品质。传统滑模趋近律通常选择高为炳院士提出的指数趋近律，如下所示

式中，ε、q为任意正实数，sgn(⋅)代表符号函数。

假设系统状态在t时刻到达滑模面，对式(2)在0 到t进行积分可得到达时间t为

式中，s(0) 为t=0 时刻滑模面的初始位置。

由式(3)可知，若要减小到达滑模面的时间，则需要增大ε，但过大的ε值又会使系统产生剧烈的抖振现象，使系统的抗干扰能力降低。

3.2 新型复合趋近律

基于上述指数趋近律的缺点，本文提出了一种新型复合趋近律

式中，a>0 ，0<α<1 ，00 ，β>0 ，x为系统状态，δ为可变项系数，sat(s) 为饱和函数，表达式为

相比于符号函数，采用饱和函数可以保证在边界层里面使用线性控制，在边界层外面使用切换控制，从而可以抑制由于滑模面切换运动所带来的抖动。

由式(4)可知，新型复合趋近律由三部分构成，当系统状态远离滑模面时， -a|s|αsat(|s|-1)s起主要作用，即当|s|> 1时，趋近律约等于 -a|s|αs，故状态变量能很快地收敛到滑模面，从而保证系统有更短的到达时间，增强了系统的动态响应性能。而当系统状态趋近滑模面时，f(x,s) ≈kg(|x|)，故趋近律约等于kg(|x|)，在控制律的作用下，|x|将会逐渐趋近于零，所以趋近速度也会逐渐趋近于零，能有效解决因固定增益带来的抖振问题。

为验证所提趋近率的效果，在Simulink 中进行仿真，不同趋近率下滑模函数的收敛过程如图1 所示。

图1 不同趋近律下s 变化曲线

由图1 可知，与传统指数趋近律相比，新型复合趋近律的趋近速度和响应速度有明显的提升。

4 自适应全局快速终端模糊滑模控制器的设计与分析

4.1 传统滑模控制器

定义电机系统的状态变量为

式中，reω表示电机的参考转速，mω表示电机的实际转速。

根据式(1)和式(6)可知

传统滑模控制一般选取滑模面为

式中，c> 0。

选取指数趋近率使PMSM 驱动系统具有较好的动态品质，故控制器的表达式为

式中，ε、q>0。

q轴参考电流可由传统的滑模控制器获得

由滑模到达条件ss˙<0，可以很容易验证在式(11)的作用下，控制系统是渐进稳定的。

4.2 全局快速终端滑模控制器

由于传统滑模控制器通常使用线性超平面，误差无法快速收敛至零界点。基于线性滑模表面和快速终端吸引子设计全局快速终端滑模控制器，以保证控制系统在有限时间内从任意初始状态迅速达到平衡状态。

定义全局快速终端滑模面函数为

式中，α> 0，β> 0，为正奇数且q

在系统状态趋近于平衡点的情况下，收敛时间的确定由x˙ =-αx占主导地位；在系统状态离开平衡点的情况下，收敛时间由占主导地位，故有

联立式(7)、式(12)和式(13)可得全局快速终端滑模控制器(Global fast terminal sliding mode controller，GFTSMC)的表达式为

GFTSMC 采取转速误差为状态变量构建滑模面，当转速误差沿滑模面运动到平衡点时，可以得到q轴参考电流。

加入新型复合趋近率得到速度控制器表达式为

4.3 稳定性证明

构建李雅普诺夫函数

故有

根据李亚普洛夫稳定性定理，全局快速终端滑模控制器是稳定的。

4.4 自适应扰动估计

由于在电机运转过程中，伴随着不确定项，除了外部负载带来的扰动之外，还有自身内部参数的变化带来的扰动，为了便于分析，用d(t)来表示包含负载转矩TL的一切扰动，即

式中，d(t)是有界的，且具有某一上界k(t)，使d(t) ≤k(t)。

考虑扰动之后，根据式(15)设计滑模控制器为

由式(19)可知，将扰动当作已知量反馈到控制率中，当出现外部扰动时，控制器可以及时响应扰动的变化。

由于扰动d(t)时变不确定，为保证系统的稳定性，当d(t)较大时，扰动上界k(t)也要足够大，但过大的上界会造成系统的抖振，针对这一问题，将采用模糊理论的模糊推理来解决。

为消除系统抖振，k(t)应随着扰动d(t)的变化而变化，且k(t)必须时刻大于扰动d(t)。为保证估计扰动处处大于实际扰动，设计一种自适应扰动估计办法，首先采用李亚普诺夫函数的导数作为系统的输入，系统的输出为 Δk(t)，其次采用模糊系统将切换项导数的绝对值作为优化项，进而使得出的估计值更加接近真实的扰动值，减小系统抖振。

设基础的模糊系统由IF-THEN 形式的模糊规则构成 R(j)：IFx1isA1jand ··· andxnisA1jTHENyisBj。

选取乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为

引入模糊向量ξ(x)，式(20)变为

式中，θ=(y1,…,ym)T，ξ(x) = (ξ1(x) , … ,ξm(x))T。

根据线性化反馈技术，并且采用模糊系统逼近，本文使用积分的方法对k(t)进行估计，则

在估计值的基础上加一个很小的常数η(η> 0)得到扰动估计值，确保处稍大于实际扰动d(t)，如下所示

根据模糊逼近理论，自适应模糊系统可以实现使逼近误差非常小。因此≤ 0。

基于模糊理论设计如下系统。

根据模糊规则，以V˙为输入，Δk为输出，模糊集设置如下

式中，NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB 分别对应的是负大、负中、负小、零、正小、正中、正大，隶属度函数图像如图2 所示。

图2 隶属度函数

为了使估计值更靠近真实值，设计如下的模糊规则，如表1 所示。为了使PMSM 系统迅速调节到稳定状态，应该快速增大，也就意味着Δk迅速增大，故当为PM 和PB 时，Δk为PB。而当为PS 时，Δk可保持不变。相应地，为使抖振得到快速削弱，Δk应迅速减小，故当为NM 和NB 时，Δk为NB。同理，当为其他值时，Δk可保持跟随。

表1 永磁同步电机参数

综上所述，自适应全局快速终端模糊滑模控制器(Adaptive global fast terminal fuzzy sliding mode controller，AGFTFSMC)结构图如图3 所示。

图3 控制器结构框图

5 超螺旋滑模观测器的设计

由于传统滑模观测器观测的反电动势带有不连续的高频信号，这些高频信号的滤除过程会影响观测精度[21]，故本文采用超螺旋滑模观测器代替传统滑模观测器。

超螺旋算法的数学表达式如下

式中，k1、k2表示滑模增益，ρ1(x1,t)、ρ2(x2,t)表示外部扰动项。式(27)中扰动项满足

式中，σ1表示任意正常数，式(27)中的增益满足

式(27)所述系统中，由于原点是一个平衡点，所以该点在全局上具有逐渐趋近稳定的特性，故系统经过一段时间后，其状态变量的值将会趋向于零，并最终稳定在原点处。系统状态的稳定性可以通过控制系统的设计和参数调整来实现。

超螺旋滑模观测器设计如下所示

当超螺旋滑模观测器的估计误差到达滑模面时，可以得出估计值约等于真实值，即=0，故可以根据滑模控制的等效原理得到反电动势值，即

本文采用反正切函数来获得转子位置。永磁同步电机整体控制框图如图4 所示。

图4 系统控制框图

6 试验仿真及结果分析

6.1 仿真验证

在Matlab/Simulink 中进行仿真研究，以验证本文所提改进算法的有效性，下面对SMC、GFTSMC、AGFTFSMC 三种控制方式进行仿真对比试验，仿真中均采用超螺旋滑模观测器来获得转速和转子位置信息。

试验仿真中采用固定步长ode3 算法，且固定步长时间设定为2×10-7s，仿真时间设定为1 s，永磁同步电机参数如表2 所示。

表2 永磁同步电机参数

(1) 工况一(空载工况)。仿真过程中，在电机空载起动后转速从0 升至1 000 r/min，图5、图6 对比了三种控制方式的性能，可以看出采用SMC 控制方式虽然响应速度较快，但出现了明显的超调，而且调节时间较长，采用全局快速终端滑模控制器虽然可以很好地抑制超调，但响应速度却降低了，而本文所提方法不仅能抑制超调，而且相比传统控制方法，响应速度也得到了提高，电磁转矩脉动也得到了抑制。

图5 三种方法转速曲线对比

图6 三种方法电磁转矩曲线对比

(2) 工况二(负载工况)。仿真过程中，在电机空载起动后转速从0 升至1 000 r/min，并且在0.2 s时负载转矩从0 突增至5 N ⋅ m。三种控制方式的性能对比如图7、图8 所示，可以看出，在突加负载后，传统SMC 方法转速波动最为明显，转速下降了73 r/min，而且再次到达给定转速时间较长，采用GFTSMC 方法转速波动次之，下降了18 r/min，再次达到稳定转速时间明显提高，相比之下，本文所提AGFTFSMC 方法转速波动明显减小，且再次回到给定转速时间进一步缩短，达到稳定控制的效果，抗扰性能更优。

图7 三种方法转速曲线对比

(3) 工况三(变转速工况)。仿真过程中，在电机空载起动后转速从0 升至600 r/min，在0.1 s 时转速升至1 000 r/min ，在0.3 s 时转速再次降至600 r/min。三种控制方式的性能对比如图9、图10所示，可以看出，在变转速状况下，采用传统SMC控制器依然存在较大的超调，抗扰性能明显不足，GFTSMC 方法响应速度最慢，响应性能不足，抗干扰能力稍差，而本文所提AGFTFSMC 方法响应依然更快且没有超调，能很好地适应各种工况，抗干扰性能优。通过仿真最终验证了本文所提方法具有更优的动态性能。