浅谈初中数学教学中的反证法在解题中的应用

李庆芳

【摘要】本文以初中数学教学中的反证法应用为研究对象，通过具体的例子，阐述了反证法在初中数学教学中的应用.通过本文的研究，可以帮助教师更好地运用反证法来引导学生思考和解决数学问题，提高学生的数学思维能力和证明能力.

【关键词】初中数学；反证法；教学方法

初中数学教学中，反证法是一种常用的证明方法.它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出与已知事实或已证明命题矛盾的结论，从而证明所要证明的命题为真.反证法在数学教学中的应用可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力，帮助学生更好地理解和应用数学定理和公式.

1  反证法在初中数学教学中的具体应用

1.1  基本命题即学科中的起始性命题

使用反证法进行证明的关键是要找到一个合适的假设，使得通过推导可以得到矛盾的结论.这通常需要一些洞察力和创造力.一旦找到了这个假设，就可以按照推理规则逐步推导，直到得到矛盾的结论.

例1  证明“两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行”.

已知：AB∥EF，CD∥EF，

求证：AB∥CD.

证明  假设AB与CD不平行，

则AB与CD相交于点P，

因为AB∥EF，即AP∥EF、CD∥EF即CP∥EF，

这与“过线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”的定理矛盾.

所以假设AB与CD不平行不成立，即AB与CD平行.

分析  根据平行公理，如果两条直线均与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的.因此，根据已知条件，EF与AB平行，EF与CD平行，那么根据平行公理，AB与CD也应该是平行的.然而，根据题目的描述，过P点有两条不一样的直线与EF平行，这与AB与CD平行的结论相矛盾.因此，假设AB与CD不平行是不成立的.根据这个结论，可以得出以下推论：如果两条直线与同一条直线平行，那么这两条直线也是平行的.这个推论可以被看作是平行公理的一个特例，即当两条直线与同一条直线平行时，它们也是平行的.综上所述，可以得出结论：AB与CD不平行不成立.故AB∥CD.

小结  让学生知道这种类型的题目是不能直接通过证明来得出结论的，需要从问题的反面出发，证明假设是错误的.

1.2  采取否定形式的命题

结论里有“不是”“没有”“不存在”“不可能”等这样否定形式的字眼的命题出现.

例2  证明2不是有理数，即2是无理数.

证明  假设2是有理数，那我们能找到自然数a和b，使得2=ab，

这里的a和b是互质的整数，对上式两边进行平方，得到a2=2b2，

因此，a2为偶数，所以，a也一定是偶数.于是，存在一个自然数c，

使得a=2c，则a2=4c2，则2c2=b2，

从而b2是偶数，因此b也是偶数.

由上得出a，b均为偶数与a，b互质矛盾，

所以我们一开始的假设是错误的，故2是无理数.

分析  在证明是无理数的时候，直接证明2是无理数会让人手足无措，于是，可以从假设根号2是有理数出发进行证明，结果肯定与原结论是矛盾的.

小结  通过使用反证法，我们可以简化解题过程，特别是在证明一个命题的否定形式时.在初中数学中，经常使用反证法证明一些关于整数的性质，这样的证明过程可以帮助学生深入理解相关数学概念和性质，还可以帮助学生培养批判性思维和解决问题的能力.

1.3  有关个数的命题

例3  已知a，b，c都是正实数，求证：下列三个式子中至少有一个不小于2：

a+1c，c+1a.

证明  不妨设三個式子a+1c，c+1a全部都小于2，

即a+1b<2，b+1c<2，c+1a<2

由于a，b，c是任意的正实数，

可以令a=b=c=5，

则有：a+1c=c+1a=5.2，显然矛盾.

所以，假设不成立，故原命题成立，

即a+1c，c+1a中至少有一个不小于2.

分析  “三个式子中至少有一个不小于2”共有七种情况，虽然结论很显然，但是证明起来困难又繁杂，而它的反面是“全都小于2”只有一种情况，因此可以选择从反面进行证明，假设三个式子全都小于2，再来证明假设是错误的，原结论才得以成立.

小结  由上述例题可以知道当遇到结论里包含“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等这样的词语命题时，可以从反面进行思考并分析问题，看看能不能使用反证法证题，这样会简便很多.

1.4  有关角度的命题

例4  在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°.

证明  假设三角形三个内角都小于60°，则它们的和小于180°.但是根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和必须等于180°，这与我们的假设相矛盾.因此，我们的假设是错误的.

根据反证法的结论，我们可以得出原命题“在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°”是正确的.

分析  这个案例中，反证法的应用非常明显.首先，我们假设了一个与已知条件相矛盾的结论（即三角形三个内角都小于60°）.然后，我们通过推理得出了矛盾的结果（即三角形内角和定理与假设相矛盾）.最后，我们得出了与假设相反的结论，从而证明了原命题的正确性.

小结  反证法可以帮助我们更快地找到解题方法，提高解题效率和准确性.同时，反证法也是一种常用的数学证明方法，可以帮助我们培养逻辑思维能力和创造性思维能力.

2  结语

反证法是数学推理中常用的一种方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真.通过反证法，可以培养学生的逻辑思维能力，提高问题解决能力.在初中数学学习中，反证法可以用来证明一些关于方程和几何图形的性质.此外，反证法还可以帮助学生发现和解决一些难题.因此，在初中数学教学中，我们应该充分利用反证法这一有效的推理方法，帮助学生提高数学思维能力，培养解决问题的能力.

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