微积分在物理学中的应用

宋书宇

(淮南第四中学,安徽 淮南 232001)

数学和物理学是相通的,很多的数学问题具有物理背景,而很多的物理问题也需要数学工具来解决.文章利用微积分对物理学中一些经典问题进行探究,不仅是从高观点来理解物理,同时也是在探索物理中的数学方法.

1 做功问题

例1 把质量为m的物体从地球(其半径为R)表面抬升到高度为h的地方,需要对它做多少功? 若物体远离至无穷远处, 则功等于多少?

解法1如图1所示,取地球中心为原点,取Ox轴垂直向上.设物体当前的位置为x,考虑将其从高度x提升到x+dx时需要做的功.

图1 例1题图

这个答案在h≪R时也就与mgh差不多.

对于h为无穷远的情况,只要令h→+∞取极限,就得到将物体抛至无穷远处所需要做的功为mgR.

而当h→+∞时则可直接计算广义积分如下:

称为(常)微分方程.若后一式的右边不出现y,则就是求不定积分.它是最简单的微分方程, 本题就是如此.从不定积分知道,其中出现待定常数. 如解法1所示,根据条件W(R)=0可以求出这个常数,从而得到完全确定的解.这在微分方程理论中称为初始条件[1].

2 压力问题

例2求水对坚直放置的半圆形挡板的压力, 该挡板的半径为a,而水面位于挡板顶部直径的位置.

解法1如图2所示,将原点置于水面,Ox轴垂直于水面指向下方.

图2 解法1示意图 图3 解法2示意图

解法2 如图3所示,考虑挡板在角φ到φ+dφ之间的扇形部分.可以将它近似地看成为一个三角形,它的质心离开原点的距离为2a/3.水对这个扇形的压力等于扇形面积乘以水在质心处的压强. 这就是

注这里需要解释一下, 在解法2中,作用在一个小扇形上的水压力为什么等于其面积乘以在其质心处的压强.为此只要注意水的压强值(在忽略常数因子后)等于深度x,也就是到Oy轴的距离.因此解法2的做法是合理的[2].

3 动能问题

例3半径为R而密度为δ的均质球体以角速度ω绕其直径旋转,求此球的动能.

其中M(2)是质点系的转动惯量.对质量为连续分布的系统,只要将上述mi用微分代替,将求和改为求积分即可得到.

4 吸引力问题

例4线密度μ0为常数的无穷直线以怎样的力吸引距此直线距离为a而质量为m的质点?

解如图4所示,将该直线(棒)置于Ox轴上,考虑微元dx对点(0,a)处的质点的引力.

图4 例4题图

这样就列出积分公式如下:

作代换x=atant, 就得到

5 容器形状的确定问题

例5 旋转体容器应该具有什么形状,才能使液体从容器底部流出时,液体上表面的下降是均匀的?

解如图5所示为容器的一个截面.设想该容器是用xOz平面内的曲线z=z(x)围绕Oz轴旋转得到,其中设z(0)=0,曲线在第一象限中.

图5 例5题图

如图5所示,液体水平面的高度是时间的函数,记为z(t),则在时间dt内z(t)下降dz时容器内减少的液体体积就等于流出的液体量.

也就是微分方程

对于物理问题的理解和解决,可以从微积分的视角来分析,这样才能看清问题的本质.在日常教学中,也可以给学生渗透微积分的知识与方法,如在变力做功或者变速运动的问题中.这样,可以帮助学生建立完整的知识框架和认知结构,对激发学生学习物理的兴趣以及学生今后物理学习的潜能是非常有帮助的.