一道北大保送题的证法探究、背景分析及推广

2024-01-09廖献文

数理化解题研究 2023年36期

廖献文

(福建省永春美岭中学,福建永定 362618)

勃罗卡点(Brocard point)问题自1875年由勃罗卡提出之后,已经有148年之久.在这段历史中,不断有人重新发现并研究它.时至今日,人们围绕勃罗卡点得到了很多结论,丰富了这个问题法的研究成果,使其成为三角形几何学中的一个亮点.2011年北京大学保送生数学考试试题第2题就是以勃罗卡点为背景来进行命制的.笔者经过探究,给出试题的四种证明方法,并将试题进行推广.

1 试题呈现

2011年北京大学保送生数学考试试题第2题如下:

如图1所示,已知△ABC中,∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO.求证:△ABC三边成等比数列.

图1 试题题图

分析本题实际上是当点O是(正)勃罗卡点时, 依定义,∠OAB=∠OBC=OCA=θ, 同时又满足∠OAC=θ, 表明OA又是角A的平分线. 实际上, 就是当点O是勃罗卡点时, 又增加了一个条件, 就预示着△ABC满足某些条件.

2 勃罗卡点与勃罗卡角的定义

如图2所示,设点P是△ABC内一点,满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,称点P为△ABC的正勃罗卡点,角θ为△ABC的勃罗卡角.

图2 正勃罗卡点(角) 图3 负勃罗卡点(角)

如图3所示,设点P′是△ABC内一点,满足∠P′BA=∠P′CB=∠P′AC=θ,称点P′为△ABC的负勃罗卡点,角θ为△ABC的勃罗卡角[1].

注若三角形给定,则三角形的勃罗卡点是勃罗卡角是存在的.所以,一个三角形有两个勃罗卡点,分别叫做正勃罗卡点和负勃罗卡点,对应的也有两个勃罗卡角. 可以证明,这两个勃罗卡角的大小是相等的,而通常情况下,两个勃罗卡点是不重合的.

3 证法探究

证法1如图4所示, 设∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 延长AO交△BOC的外接圆O1于点D.由于∠OBC=∠OCA, 因此AC为外接圆O1的切线,C为切点, 所以∠ODC=∠ACO=θ, 故AC=CD.

在△BCD与△ABC中,

∠BCD=∠BOD=∠OAB+∠OBA=∠OBC+∠OBA=∠ABC,

即∠BCD=∠ABC.

图4 证法1图

又因为cos2θ=cosA=-cos(B+C), 所以1+cos(B+C)-cos(B-C)=cos4θ, 展开得1-2sinBsinC=cos4θ, 即2sin22θ=2sinBsinB, 亦即sin2A=sinBsinC.再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比数列.

证法3 如图5所示, 对于任意△ABC, 过点A作BC的平行线AD, 作∠ACD=∠ABC, 连接BD, 在BD上取点O, 使得∠OCA=∠ODA=θ.

因为AD∥BC, 所以∠OBC=∠ODA=θ=∠OCA, 则A,D,C,O四点共圆, 所以∠OAC=∠ODC, 而∠BAC=∠ADC, 所以∠OAB=∠ODA=θ, 点O是△ABC的(正)勃罗卡点.

图5 证法3图图6 证法3图

在图5的基础上,过D,A作BC(延长线)的垂线, 垂足分别为E,F, 得到图6,在△BDE,△ABF,△ACF,△DCE中, 易得

=cotB+cotC+cotA,

即cotθ=cotA+cotB+cotC.

⟺sin2A=sinBsinC.

再由正弦定理得BC2=AB·AC, 即AB,BC,CA成等比数列.

证法4如图1所示, 在△AOC中,∠AOC=π-θ-θ=π-2θ.

①

在△BOC中,∠BOC=π-C,

由正弦定理得

②

在△AOC中OA=OC.

结合式①、式②得

为了确保抛光过程覆盖的均匀性，Rososhansky等[39]在光栅轨迹规划方法当中引入柔性抛光头与工件的弹性接触变化。文献[40] 中针对光栅轨迹抛光引入行距适应算法，将该方法应用于自由曲面加工中，提高了抛光轨迹覆盖的均匀性。

即AB,BC,CA成等比数列.

4 试题推广

实际上, 我们得出下列结论:

结论1 已知△ABC中(见图1),∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ, 则A=2θ⟺OA=OC⟺a2=bc.

我们知道, 一个三角形有两个勃罗卡点. 在本题中,O是正勃罗卡点, 且满足条件∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=θ.如图7所示, 若引人O′是负勃罗卡点, 即满足条件∠O′BA=∠O′CB=∠O′AB=∠O′AC=θ′. 利用证法 3 中同样的方法, 对负勃罗卡角θ′, 同样可得cotθ′=cotA+cotB+cotC, 所以cotθ=cotθ′, 即θ=θ′, 则AO,AO′都是A的内角平分线, 即A,O,O′三点共线, 且O′A=O′B.于是得到结论2.