核心素养视角下浅谈平面向量在高中数学中的应用

王岳玲

(北京师范大学银川学校,宁夏 银川 750004)

《高中数学课程》指出:教师在教授平面向量及其应用时,要从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则,引导学生运用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性和差异[1].

1 平面向量在高中数学的应用

在高中数学的学习中,教师要时刻渗透数学思想方法,助力学生理性思维能力的提升,从而培养学生的数学六大核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.下面就数学核心素养的培养谈谈平面向量在数学中的应用.

1.1 平面向量在三角函数中的应用

平面向量在推导两角差的余弦公式中起着很重要的作用,利用平面向量法对公式进行探究,重视公式的生成过程,更易于学生理解和接受相关知识.通过学习平面向量的性质以及坐标运算在三角函数中的应用,让学生进行再发现和再创造的讨论探究,推导出两角差的余弦公式,为同学们以后学习两角和的余弦公式打好了基石.

下面用导学案的方式给出:如何用α,β的正弦、余弦来表示cos(α-β)?学生通过课前预习,在自学中通过发现问题-思考问题-产生疑问-再次思考-解决问题,以达到自学能力的培养.

图1 角的终边示意图(a) 图2 角的终边示意图2(b)

首先,利用构造法构造向量

一方面,由平面向量的坐标运算得

①

②

(4)找出上面两个图中α,β的关系α=β+θ+2kπ,k∈Z,(如图1),α=β-θ+2kπ,k∈Z,(如图2)则α-β=±θ+2kπ,k∈Z,由诱导公式, cos(α-β)=cosθ③

由①②③可得两角差的余弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

近年来,高考更注重考查学生对数学中的公式以及定理的推导证明,通过死记硬背方式来学习并不符合新课标的要求.这要求我们在数学学习中,应该用逻辑性强的导学案一步一步引领学生深度思考,激发学生的创造力,助力学生数学核心素养的提高.

两角差的余弦公式是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的根基,起着至关重要的作用.在利用平面向量这个工具时,要充分发挥数形结合的思想,通过构造向量,利用任意角三角函数的定义、数量积公式、角α与角β的关系,再结合诱导公式,得到两角差的余弦公式.通过运用构造向量法、数形结合法、分类讨论法和方程思想等,可以使学生的思维得到升华,培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.

1.2 平面向量在平面几何中的应用

1.2.1用基底表示向量

图3 例1题图

1.2.2建系(几何问题代数化)

用平面向量法解决平面几何问题的“三部曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

图4 例2题图 图5 例2建系图

由△ABC的面积为1,|BC|=2,可知A点到底边BC的距离为1,可引导学生画出图形,深度思考的学生会发现点A可以在图4的虚线上运动,在此,可以设置自主探究环节,让学生自主探究5分钟,进一步分析问题、解决问题,培养学生直观想象、逻辑推理等核心素养.

例3已知四边形ABCD是边长为6的正方形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积．

1.3 平面向量在复数中的应用

方法一(待定系数法):设z1=a+bi,z2=c+di,由|z1|=|z1|=2可知

a2+b2=4

①

c2+d2=4

②

则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,因为|z1+z1|=2,则

(a+c)2+(b+d)2=4

③

由①②③可知2ac+2bd=-4

④

方法二(平面向量法)

1.4 平面向量在不等式中的应用(推导柯西不等式的平面向量)

定理1(柯西不等式的向量形式)设a,b是两个向量,则|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当两个向量共线时,等号成立.

定理2(二维形式的柯西不等式)若a,b,c,d都是实数,则

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

当且仅当ad=bc时等号成立.

1.5 平面向量在解三角形中的应用

1.5.1利用平面向量判断三角形的四心问题

1.5.2利用平面向量判断三角形的四形状问题

可知O是△ABC的外心.

2 总结与反思

高考在不断改革,原有的死记硬背、生搬硬套的模式已经不能适应改革的要求.因此,在教学过程中,不论是新课讲授,还是习题讲练,都应该重视学生的核心素养的培养.在学生学习过程中,注重培养学生分析问题和解决问题的能力,激发学生的创造性思维.

同时,所有的自主探究、合作探究都应建立在学生的基础之上.在教学中,要注重单元教学或者模块教学,让学生时刻认识到知识是连续贯通的,从而使学生进行有条理的深度思考,这样有助于学生学会学习数学,掌握数学方法,抓住数学的本质.

本文通过探讨平面向量在高中数学中的简单应用,帮助学生认识到数学课程内容结构的完整性和数学知识的连贯性.在教学中,通过数学思想方法的渗透,让学生自主学习、自主探究和合作探究,从而达到培养学生数学核心素养的目的.